【文章內(nèi)容簡介】 1兩個值，它的分布律是 P{X=k}= pk(1p)1 k , k=0,1 (0p1), 則稱 X服從 (01)分布。 (01)分布的分布率也可寫成 X 0 1 p 1 p p 所謂 (01),是非此即彼 ﹐ 如合格與不合格 ﹐ 正面與反面 (二 ) 貝努里試驗，二項分布 相互獨立的試驗 將試驗 E重復進行 n次，若各次試驗的結(jié)果互不影響，即每次試驗結(jié)果出現(xiàn)的概率都不依賴于其它各次試驗的結(jié)果，則稱這 n次試驗是相互獨立的。 貝努里試驗 設試驗 E只有兩個可能結(jié)果： A及A， P(A)=p , P(A)= 1 p=q (0p1).將試驗 E獨立地重復地進行 n次，則稱這一串重復的獨立試驗為 n重貝努里試驗 ,簡稱貝努里試驗 。 以 X表示 n重貝努里試驗中事件 A發(fā)生的次數(shù)，則 X是一個隨機變量。 X所有可能取的為 0,1,2,…,n. { } , k 0 , 1 , 2 , . . . , nk n knP X k p qk???? ? ?????顯然 P{X=k}? 0, k = 0, 1, 2, …, n 。 n0( ) (p q ) 1 nk n kknpqk??? ? ?? 我們稱隨機變量 X服從參數(shù)為 n,p的二項分布，記為 X~ B(n, p) 特別，當 n=1 時二項分布化為 P{X=k}= pkq1 k , k=0,1 這就是（ 01）分布。 例 1 按規(guī)定，某種型號電子元件的使用壽命超過 1500小時的為一級品。已知某一大批產(chǎn)品的一級品率為 ，現(xiàn)在從中隨機地抽查 20只。問 20件元件中恰有 k只一級品的概率是多少？ 解 以 X記 20只元件中一極品的只數(shù)，則 X是一隨機變量，且有 x~B(20,). 故有 202 0 { } ( 0 . 2 ) ( 0 . 8 ) , k 0 , 1 , 2 , . . . , 2 0kkP X kk???? ? ????? 我們將計算結(jié)果列表如下： P{X=0}= P{X=4}= P{X=8}= P{X=1}= P{X=5}= P{X=9}= P{X=2}= P{X=6}= P{X=10}= P{X=3}= P{X=7}= P{X=k}, 當 k?11 時 例 2 某人進行射擊，設每次射擊的命中率為 ，獨立射擊 400次，試求至少命中兩次的概率。 解 將每次射擊看成一次試驗。設擊中的次數(shù)為 X，則 X~b(400,).X的分布率為 400400 { } ( 2 ) ( 8 ) , k 0, 1 , ... , 400kkP X kk??????????于是所求概率為 P{X?2}=1 P{X=0} P{X=1} = 1 ()400 400()()399 泊松 (Poisson)定理 設 ?0是一常數(shù)， n是任意正整數(shù)，設 np= ? , 則對于任一固定的非負整數(shù) k，有 k l i m ( 1 )k !.k n knnnn eppk?? ???????????? np ( n n pnp??顯然定理的條件 常數(shù)）意味著當 很大時 必定很小。因此，上述定理表明當 很大 很小有以下近似式k ( ( 1 ) k ! .k n kn eppk?? ???? ?????? 例 3 現(xiàn)在我們利用上面的近似式來計算例 2中的概率 P{X?2}.因為 k { } ( 1 ) , n p 8k! k n kn eP X k p pk???????? ? ? ? ? ?????88 { 0 } , { 1 } 8P X e P X e??? ? ? ?于是因此 P{X≥ 2}≈ 19e8= (三 ) 泊松分布 (Poisson) 設 隨機變量 X所有可能取的值為 0,1,2,…, 而取各個值的概率為 k { } , k 0 , 1 , 2 , . . . ,k! eP X k?? ?? ? ?其中 ?0是常數(shù)，則稱 X服從參數(shù)為 ?的 泊松分布， 記為X~?(?). 易知， P{X=k} ?0,k=0,1,2,…, 且有 0 0 0 { } 1 !! kkk k keP X k e e ekk?? ? ????? ? ???? ? ?? ? ? ? ?? ? ? 例 1 某車間有 300臺設備，故障率 為 ，通常狀況下一臺設備的故障可由一個人來處理，問至少配備多少工人，才能保證當設備發(fā)生故障但不能及時維修的概率小于 . 解 設需配備 N人。記同一時刻發(fā)生故障的設備臺數(shù)為 X，則有 X~b(300,).故有 P{X? N} ? 由泊松定理 ( ?= np =3) !3 03????NKkke則查表可知，最小的 N為 8，即至少需配備 8名工人。 例 2 設有 80臺同類型設備 ,各臺工作是相互獨立的 ,故障率 為 ，且一臺設備的故障能由一個人來處理?？紤]配備工人的方法，其一是由 4人維護每人負責 20臺：其二由 3人共同維護 80臺，試比較這兩種方法在設備發(fā)生故障時不能及時維修的概率。 ????NKkke03!3 1 即 !313??????Nkkke 解 法 1) 以 X記第 1人維護的 20臺中同一時刻發(fā)生故障的臺數(shù)，以 Ai 表示事件“第 i人維護的 20臺中同一時刻發(fā)生故障不能及時維修”，則得 P(A1? A2? A3? A4)? P(A1)=P{X?2}. 而 X~b(20,),這里 ?= np =，故有 即有 P(A1? A2? A3? A4)? 法 2）以 Y記“ 80臺中同一時刻發(fā)生故障的臺數(shù)”，此時 Y~b(80,),這里 ?= np =，故有 ?????23! kkkk?? )2( XP?????4009 ! kkke?? )4( YP 三 、 連續(xù)型隨機變量的概率密度 （一） 概率密度 定義 如果對于隨機變量的分布函數(shù) F(x)，存在非負的函數(shù) f(x)，使對于任意的實數(shù)有 (1) )()( ???? x dttfxF則稱 X為連續(xù)型隨機變量，其中函數(shù) f(x)稱為 X的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度。 由（ 1）知連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)。 例 1 設隨機變量 X具有概率密度 ???????.0 ,