【文章內(nèi)容簡介】 所有可能取值為有限或可列多個，并且以確定的概率取各個不同數(shù)值，則稱 （ X,Y）為二元隨機變量。 56 三、獨立性 ? （一）事件的獨立性 ? （二）隨機變量的獨立性 57 （一）事件的獨立性 ? 事件的獨立性：如果事件 A發(fā)生的可能性不受事件B發(fā)生與否的的影響，即 P(A/B)=P(A)，則稱事件A對于事件 B獨立。 ? 顯然，若事件 A對于事件 B獨立，事件 B對于事件 A也一定獨立，我們稱事件 A與事件 B相互獨立。 ? A與 B獨立的充分必要條件是： P（ AB） =P（ A） P（ B） 58 （二）隨機變量的獨立性 ? 隨機變量相互獨立的定義： 對于任何實數(shù)x,y，如果二元隨機變量 (X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù) F(x,y)等于 X和 Y的邊際分布的乘積，即 F(x,y) = FX(x) . FY(y) ? 則稱 X與 Y相互獨立。 ? 邊際分布的定義：離散型二元隨機變量 (X,Y)中，分量 X（ 或 Y） 的概率分布稱為 (X,Y)的關(guān)于 X（或 Y）的邊際分布，邊際分布又稱邊緣分布。 59 研究數(shù)字特征的必要性 ? 總體就是一個隨機變量。對總體的描述就是對隨機變量的描述。但是，求出總體的分布往往不是一件容易的事情；在很多情況下，我們只需要了解總體的一些綜合指標。一般說來，常常需要了解總體的一般水平和它的離散程度；如果了解總體的一般水平和離散程度，就已經(jīng)對總體有了粗略的了解了； ? 在很多情況下，了解期望和方差這兩個數(shù)字特征是深入求出總體分布的基礎(chǔ)和關(guān)鍵。 ? 由此看來，研究隨機變量的數(shù)字特征是十分必要的。 第二節(jié) 隨機變量和概率分布 60 一、數(shù)學期望的定義 ? 離散型隨機變量數(shù)學期望的定義 ? 假定有一個離散型隨機變量 X有 n個不同的可能取值x1,x2,…… ,xn，而 p1,p2,…… ,pn是 X取這些值相應(yīng)的概率，則這個隨機變量 X的數(shù)學期望定義如下： ? 數(shù)學期望描述的是隨機變量（總體）的一般水平。 ? 連續(xù)型隨機變量數(shù)學期望的定義 ? ?? ? ? ? ? ? 的數(shù)學期望。稱為絕對收斂，則，若積分有分布密度函數(shù)若連續(xù)型隨機變量XdxxxxEdxxxxX?? ???????? ? ???? ?? ? 平均數(shù)。的所有可能取值的加權(quán)是隨機變量實際上， XXExEniiinn xpxpxpxp ???????12211 ?61 數(shù)學期望的性質(zhì) (P40) ? （ 1）如果 a、 b為常數(shù)，則 ? E(aX+b)=aE(X)+b ? （ 2）如果 X、 Y為兩個隨機變量，則 ? E(X+Y)=E(X)+E(Y) ? （ 3）如果 g(x)和 f(x)分別為 X的兩個函數(shù)，則 ? E[g(X)+f(X)]=E[g(X)]+E[f(X)] ? （ 4）如果 X、 Y是兩個獨立的隨機變量，則 ? E()=E(X).E(Y) ！ 62 二、方差 (P3940) ? 連續(xù)型隨機變量的方差 ? 記作 Var(x),或 D(x)。方差的算術(shù)平方根叫標準差。 ? ? ? ? ? ?? ? ? ??? xEExV a rxV xxExx ?? ???? 222? ? ? ?? ? ? ?dxxXVXXxEx ?? ?????? 2的方差以下式給出：為連續(xù)型隨機變量，則若63 方差的意義 ? （ 1）方差是用來描述離散程度的，即描述 X對于它的期望的偏離程度，這種偏差越大，表明變量的取值越分散。 ? （ 2）一般情況下，我們采用方差來描述離散程度。方差中由于有平方，從而消除了正負號的影響，并易于加總，也易于強調(diào)大的偏離程度的突出作用。 ！ 64 方差的性質(zhì) (P40) ? （ 1） Var(c )=0 ? （ 2） Var(c+x)=Var(x ) ? （ 3） Var(cx)=c2Var(x) ? （ 4） x,y為相互獨立的隨機變量，則 ? Var(x+y)=Var(x )+Var(y )=Var(xy) ? （ 5） Var(a+bx)=b2Var(x) ? （ 6） a,b為常數(shù)， x,y為兩個相互獨立的隨機變量，則 Var (ax+by)=a2Var(x)+b2Var(y) ? （ 7） Var(x)=E(x2)(E(x))2 ！ 65 三、數(shù)學期望與方差的圖示 ? 數(shù)學期望描述隨機變量的集中程度，方差描述隨機變量的分散程度。 ? 1方差同、期望變大 2期望同、方差變小 5 10 5 5 66 ? 定義 樣本方差和標準差的定義 ? ?? ?? ?? ???????????????????? ?? ?? ??????xxsxxxxxxxxsxxxnnniinsinniiniinininin2122212121212221111111,??。來描述樣本離散程度的樣本方差和標準差是用差。分別為樣本方差和標準以及，稱對于樣本67 ( , )( ) ( )XYC o v X YV a r X V a r Y? ?四、相關(guān)系數(shù) 變量 X、 Y的 總體相關(guān)系數(shù)為 變量 X、 Y的 樣本相關(guān)系數(shù)為 ? ?? ?? ? ?? ???????????222222 )()()()())((YYnXXnYXXYnYYXXYYXXrXY注意 ： 變量 X、 Y都是 隨機變量 ，且 相互對稱 ，所以 YXXY rr ? 相關(guān)系數(shù)只反映兩變量之間 線性相關(guān)的程度 ，不能說明其 非線性相關(guān)關(guān)系。 相關(guān)系數(shù)雖能度量變量的線性相關(guān)程度，但不能確定變量之間的因果關(guān)系，也不能說明它具體接近哪一條直線。 r ? 樣本相關(guān)系數(shù) 是總體相關(guān)系數(shù)的估計量，隨著取樣的不同，兩者之間有誤差，其統(tǒng)計顯著性有待檢驗。 68 （一）正態(tài)分布 ? 標準正態(tài)分布 ? ?? ?? ?? ?。服從正態(tài)分布，簡記為則稱為常數(shù)，、的概率密度為若連續(xù)型隨機變量?????????22,μ~0σμσ2122Nxx e ???????? 2, ?? V a rE 方差，正態(tài)分布的數(shù)學期望? ?? ? exxN222211,0~10???????? ?。密度函數(shù)為記作正態(tài)分布，的正態(tài)分布，稱為標準，當五、幾種重要的分布 69 正態(tài)分布的標準化 ? 定理 正態(tài)分布標準化 ? ?? ?布，即將其標準化。為標準正態(tài)分任何一個正態(tài)分布，化根據(jù)以上定理，可以將。，那么且如果1,0~,~2NN??????? ??? 正態(tài)分布的線性組合仍服從正態(tài)分布 正態(tài)分布的偏度為 0，峰度為 3，在判斷隨機變量的概率分布方面有重要作用（ P42） 70 標準正態(tài)分布的平方和服從 分布 2?n* 個相互獨立的標準正態(tài)分布 N（ 0， 1）的隨機變量，平方和記為 2?則 ?2? 22221 nxxx ??? ? )(~2 n?)1(~)1()(222222122 ?????????nnssnxxnii?????*若 是來自正態(tài)總體 的一個樣本，則樣本均值 nxxx 、 ?21 ），（ 2??N???niixnx11 與樣本修正方差 212 )(11 xxnsnii ??? ??? 相互獨立，則統(tǒng)計量 分布 2?（二） 71 且 X與 Y相互獨立，則 ）（ ntnYXt ~?），（ 10~ NX ，)(~ 2 nY ?nXX ,1 ? ),( 2??N??? 11i ixnx注：若 是來自正態(tài)總體 的一個樣本，其樣本均值為 ， 樣本的修正方差為 )1/()(122 ??? ??? nxxSi i則 ~1xt t nSn?????（ ）（三） t 分布 72 ），（ 2121 ~ nnFnYnXF ? 設(shè) X、 Y分別服從自由度為 的 分布，且 X、 Y相互獨立，則 2n 2?、1n),( 222 ??N),( 211 ??N），（ 11~//21222*2212*1 ??? nnFSSF??)1/()( 11 22*1 ??? ?? nXXS i i)1/()( 21 22*2 ??? ?? nYYS i i*有來自兩正態(tài)總體的獨立樣本： 1,1 nXX ?則 1,1 nXX ? 2,1 nYY ?2,1 nYY ?（四） F分布 73 正態(tài)分布和 t分布 概率密度 x 標準正態(tài)分布 t分布 0 74 ? 2 分布的圖象 N=7 N=11 概率 x N為自由度 75 F分布的圖象 x 概率密度 76 二、各種分布之間的聯(lián)系 ? 1. 一般正態(tài)分布與標準正態(tài)分布的關(guān)系 ? 如果 X~N（ ?， ?2），則（ X ?） / ?~N（ 0， 1） ? 2. 標準正態(tài)分布與 X2分布之間的關(guān)系 ? 如果 X~N（ 0， 1），則 X2~ X2 （ 1），即服從具有 1個自由度的分布。 ? 3. 標準正態(tài)分布與 t分布之間的關(guān)系 ? ? ? ?? ?。分布，即個自由度的服從具有則，相互獨立，且和設(shè)兩個隨機變量定理ntTtnnTnN~/~1,0~2?????? ??77 二、各種分布之間的聯(lián)系 ? 4. 標準正態(tài)分布（分布）與 F分布之間的關(guān)系 ? ? ?? ? ? ? ? ?。定義分布，其密度函數(shù)見的第二自由度為第一自由度為表示。其中則有，相互獨立，且和設(shè)兩個隨機變量定理,~,~~212121//222121212211FFFnnFnnnnnnnn?????????? ??