應(yīng)用概率統(tǒng)計(參考版)
2025-07-22 01:37本頁面
【正文】 2) 分布函數(shù)3)概率 P(1/2X1/2)=1/4 .返回 X的分布函數(shù)為 X的密度 f(X)滿足 f(x)=f(x),分布函數(shù) F(x)滿足（＋）返回8:設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為求：（ 1） A；（ 2） X的概率密度；（ 3） 。2) 分布函數(shù) 。f(x)x0 μ(2)在 x=μ點 f(x)取得最大值 :X ~N(μ,σ2)(3) 曲線 f(x)與 x軸之間的面積是 1.返回若 μ=0,σ2=1, 即標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 . X~N(0,1)x0注 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度曲線以 y軸為對稱軸 .返回x0注 (1) xx標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)2. 正態(tài)分布的分布函數(shù)及其計算(2) P(|X|a)= Φ(a) Φ(a) = Φ(a) – [1Φ(a)]= 2 Φ(a)1.返回正態(tài)分布的分布函數(shù)若 X~N(μ,σ2),則所以 ,若 X~N(μ,σ2),則對任意的 ab有返回離散型隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布 :例 23 設(shè)隨機(jī)變量 X的概率分布如下 ,Y=2X+1,Z=X2,求Y,Z的概率分布 . X 1 0 1 2P 解 (1)Y的對應(yīng)取值為 1,1,3,5,P(Y=1)=P(2X+1=1)=P(X=1)=P(Y=1)=P(X=0)=, P(Y=3)=P(X=1)=, P(Y=5)=P(X=2)=,所以 Y的概率分布為Y 1 1 3 5P (2)Z的取值為 0,1,4,P(Z=0)=P(X=0)=,P(Z=1)=P(X=1)+P(X=1)=,P(Z=4)=P(X=2)=Z 0 1 4P 所以 Z的概率分布為 :. 隨機(jī)變量函數(shù)的分布返回注意離散型隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布分以下兩步來求 :(1)由 y=g(x)計算出隨機(jī)變量 Y的所有取值 y1,y2,...,yn,...。P(X≥a)= P(Xa) =1P(Xa)=1F(a). 返回常見的連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度(1) 均勻分布稱 X服從 [a,b]上的均勻分布 .記為 X~U(a,b).0 a b xf(x)返回(2) 指數(shù)分布則稱 X服從參數(shù)為 λ的指數(shù)分布 ,記為 X~E(λ) (λ0).定義 若隨機(jī)變量 X的概率密度函數(shù)為注 指數(shù)分布具有 “永遠(yuǎn)年青 ”性。(2) f(x)=(5) 對任意 ab有 P(a≤X≤b)= P(a ≤ Xb)= P(aX≤b) = P(a Xb) =F(b)F(a)。 P(X≥a)=1P(Xa)=1F(a0). 對于 離散型隨機(jī)變量 X的分布函數(shù) 有返回對于 連續(xù)型隨機(jī)變量 X的分布函數(shù) 有(1) (3) F(x)是 (∞,+∞)上的連續(xù)函數(shù) 。 P(a ≤ Xb)=P(Xb)P(Xa)=F(b0)F(a0)。(2) 性質(zhì)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)返回隨機(jī)變量的分布函數(shù) 定義 設(shè) X是任意一個隨機(jī)變量 ,稱函數(shù) F(x)=P(X≤x), － ∞＜ x＜＋ ∞ 為隨機(jī)變量 X的 分布函數(shù) . (1) 0≤F(x)≤1, － ∞＜ x＜＋ ∞, (2)F(x)是 x的單調(diào)不減函數(shù) 。Φ()= .返回例 22 某地抽樣結(jié)果表明，考生的外語成績（百分制）近似 服從 正態(tài)分布，平均成績?yōu)? 72分， 96分以上的占考生總數(shù)的 %，試求考生的外語成績在 60分至 84分之間的概率。 Φ()= 。f(x)x0 μ(2)在 x=μ點 f(x)取得最大值 :X ~N(μ,σ2)(3) 曲線 f(x)與 x軸之間的面積是 1.返回特別若 μ=0,σ2=1,即則稱 X服從 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 .記為 X~N(0,1)x0注 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度曲線以 y軸為對稱軸 .返回x0注 (1) xx標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)2. 正態(tài)分布的分布函數(shù)及其計算(2) P(|X|a)= Φ(a) Φ(a) = Φ(a) – [1Φ(a)]= 2 Φ(a)1.返回正態(tài)分布的分布函數(shù)若 X~N(μ,σ2),則所以 ,若 X~N(μ,σ2),則對任意的 ab有返回例 20 設(shè) X~N(10,4),求 P(10X13), P(|X10|2).解 P(10X13)==Φ()Φ(0)= P(|X10|2)=P(8X12)=2Φ(1)1 ==Φ(1) Φ(1) =Φ(1) [1Φ(1)]返回例 21 設(shè) X~N(μ,σ2),P(X≤)=, P(X≤)=, 求 μ及 σ.解 P(X≤)=所以 :又 P(X≤)= 所以 :聯(lián)立解方程組得 : μ=3,σ=特別 Φ(0)= 。即例 19 設(shè)隨機(jī)變量 X～ E（ ） ,求 x2022的概率。 (2)F(x)為分段函數(shù)返回例 17 設(shè)隨機(jī)變量 X～ U(1,5),求返回例 18 設(shè)隨機(jī)變量 X服從 [2 ,5]上的均勻分布 .對 X進(jìn)行三次獨立觀測，試求至少有兩次觀測值大于 3的概率。 (2)P(1X1)。 (2)P(X)。(2)P(1/2X≤1/2)。(2)P(1/2X≤1/2)。 P(Xa)= P(X ≤ a)= F(a)。 (4) P(X=x)=F(x)F(x0)=0。(3)函數(shù)值跳躍高度是 X取值區(qū)間中新增加點的對應(yīng)概率值 .例 10 設(shè) X的分布函數(shù)為求 X的概率分布 .解 X的取值為 X 0 1
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