各種圓定理總結[包括托勒密定理、塞瓦定理、西姆松定理、梅涅勞斯定理、圓冪定理和四點共圓](編輯修改稿)
2024-07-13 07:37 本頁面
【文章內容簡介】 可以從逆時針來看，從第一個頂點到逆時針的第一個交點比上到下一個頂點的距離，以此類推，可得到三個比例，它們的乘積為1. 現在是否可以說，我們對梅涅勞斯定理有了更深刻的了解呢。那些復雜的相除相乘的關系式，不會再寫錯或是記不住吧。西姆松定理 西姆松定理圖示西姆松定理是一個幾何定理。表述為：過三角形外接圓上異于三角形頂點的任意一點作三邊的垂線，則三垂足共線。（此線常稱為西姆松線）。西姆松定理的逆定理為：若一點在三角形三邊所在直線上的射影共線，則該點在此三角形的外接圓上。 西姆松定理說明 相關的結果有： （1）稱三角形的垂心為H。西姆松線和PH的交點為線段PH的中點，且這點在九點圓上。 ?。?）兩點的西姆松線的交角等于該兩點的圓周角。 ?。?）若兩個三角形的外接圓相同，這外接圓上的一點P對應兩者的西姆松線的交角，跟P的位置無關。 ?。?）從一點向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點落在三角形的外接圓上。 證明 證明一： △ABC外接圓上有點P，且PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，PD⊥BC于D，分別連DE、DF. 易證P、B、F、D及P、D、C、E和A、B、P、C分別共圓，于是∠FDP=∠ACP ①，（∵都是∠ABP的補角） 且∠PDE=∠PCE ?、?而∠ACP+∠PCE=180176。 ?、?∴∠FDP+∠PDE=180176。 ?、?即F、D、E共線. 反之，當F、D、E共線時，由④→②→③→①可見A、B、P、C共圓. 證明二： 如圖，若L、M、N三點共線，連結BP，CP，則因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和 M、P、L、C分別四點共圓，有 ∠PBN = ∠PLN = ∠PLM = ∠PCM. 故A、B、P、C四點共圓。 若A、B、P、C四點共圓，則∠PBN = ∠PCM。因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和M、P、L、C四點共圓，有 ∠PBN =∠PLN =∠PCM=∠PLM. 故L、M、N三點共線。 相關性質的證明 連AH延長線交圓于G, 連PG交西姆松線與R,BC于Q 如圖連其他相關線段 AH⊥BC,PF⊥BC==AG//PF==∠1=∠2 ==∠2=∠3 PE⊥AC,PF⊥BC====∠3=∠4 ==∠1=∠4 PF⊥BC ==PR=RQ BH⊥AC,AH⊥BC==∠5=∠6 ==∠6=∠7 ==∠5=∠7 AG⊥BC==BC垂直平分GH ==∠8=∠2=∠4 ∠8+∠9=90,∠10+∠4=90==∠9=∠10 ==HQ//DF ==PM=MH 第二個問，平分點在九點圓上，如圖：設O,G,H 分別為三角形ABC的外心，重心和垂心。 則O是,確定九點圓的中點三角形XYZ的垂心，而G還是它的重心。 那么三角形XYZ的外心 O1， 也在同一直線上，并且 HG/GO=GO/GO1=2，所以O1是OH的中點。 三角形ABC和三角形XYZ位似，那么它們的外接圓也位似。兩個圓的圓心都在OH上，并且兩圓半徑比為1:2 所以G是三角形ABC外接圓和三角形XYZ外接圓(九點圓)的反位似中心(相似點在位似中心的兩邊),H 是正位似中心(相似點在位似中心的同一邊)... 所以H到三角形ABC的外接圓上的連線中點必在三角形DEF的外接圓上.... 圓冪定理 圓冪定理圓冪定理是對相交弦定理、切割線定理及割線定理（切割線定理推論）以及它們推論統(tǒng)一歸納的結果。 1. 問題1 2. 問題2 3. 問題3 4. 問題4 定義 圓冪=PO^2R^2| 所以圓內的點的冪為負數，圓外的點的冪為正數，圓上的點的冪為零。 相交弦定理：圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。 切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。 割線定理：從圓外一點P引兩條割線與圓分別交于A、B；C、D，則有 PAPB=PCPD。 統(tǒng)一歸納：過任意不在圓上的一點P引兩條直線LL2，L1與圓交于A、B（可重合，即切線），L2與圓交于C、D（可重合），則有PAPB=PCPD。 進一步升華（推論） 過任意在圓O外的一點P引一條直線L1與一條過圓心的直線L2，L1與圓交于A、B（可重合，即切線），L2與圓交于C、D。則PAPB=PCPD。若圓半徑為r，則PCPD=(POr)(PO+r)=PO^2r^2=|PO^2r^2| （要加絕對值，原因見下）為定值。這個值稱為點P到圓O的冪。（事實上所有的過P點與圓相交的直線都滿足這個值） 若點P在圓內，類似可得定值為r^2PO^2=|PO^2r^2| 故平面上任意一點對于圓的冪為這個點到圓心的距離與圓的半徑的平方差，而過這一點引任意直線交圓于A、B，那么PAPB等于圓冪的絕對值。（這就是“圓冪”的由來） 證明 圓冪定理（相交弦定理、切割線定理及其推論(割線定理)統(tǒng)一歸納為圓冪定理） 問題1 相交弦定理：圓內的兩條相交弦,被交點分成的兩條線段長的乘積相等。 證明：連結AC，BD，由圓周角定理的推論，得∠A=∠D，∠C=∠B。 ∴△PAC∽△PDB，∴PA:PD=PC:PB，PAPB=PCPD 問題2 割線定理： 則有 PAPB=PCPD，當PA=PB，即直線AB重合，即PA切線時得到切線定理PA^2=PCPD 證明：（令A在P、B之間，C在P、D之間）因為ABCD為圓內接四邊形，所以角CAB+角CDB=180度，又角CAB+角PAC=180度，所以角PAC=角CDB，又角APC公共，所以三角形APC與三角形DPB相似，所以PA/PD=PC/PB,所以PA*PB=PC*PD 切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項 幾何語言：∵PT切⊙O于點T，PBA是⊙O的割線 ∴PT^2=PAPB（切割線定理） 推論 從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等 幾何語言：∵PBA、PDC是⊙O的割線 ∴PDPC=PAPB（切割線定理推論） 問題3 過點P任作直線交定圓于兩點A、B，證
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