各種圓定理總結(jié)[包括托勒密定理、塞瓦定理、西姆松定理、梅涅勞斯定理、圓冪定理和四點(diǎn)共圓](編輯修改稿)
2024-07-13 07:37 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 可以從逆時(shí)針來(lái)看，從第一個(gè)頂點(diǎn)到逆時(shí)針的第一個(gè)交點(diǎn)比上到下一個(gè)頂點(diǎn)的距離，以此類推，可得到三個(gè)比例，它們的乘積為1. 現(xiàn)在是否可以說(shuō)，我們對(duì)梅涅勞斯定理有了更深刻的了解呢。那些復(fù)雜的相除相乘的關(guān)系式，不會(huì)再寫錯(cuò)或是記不住吧。西姆松定理 西姆松定理圖示西姆松定理是一個(gè)幾何定理。表述為：過(guò)三角形外接圓上異于三角形頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)作三邊的垂線，則三垂足共線。（此線常稱為西姆松線）。西姆松定理的逆定理為：若一點(diǎn)在三角形三邊所在直線上的射影共線，則該點(diǎn)在此三角形的外接圓上。 西姆松定理說(shuō)明 相關(guān)的結(jié)果有： ?。?）稱三角形的垂心為H。西姆松線和PH的交點(diǎn)為線段PH的中點(diǎn)，且這點(diǎn)在九點(diǎn)圓上。 ?。?）兩點(diǎn)的西姆松線的交角等于該兩點(diǎn)的圓周角。 ?。?）若兩個(gè)三角形的外接圓相同，這外接圓上的一點(diǎn)P對(duì)應(yīng)兩者的西姆松線的交角，跟P的位置無(wú)關(guān)。 ?。?）從一點(diǎn)向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點(diǎn)落在三角形的外接圓上。 證明 證明一： △ABC外接圓上有點(diǎn)P，且PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，PD⊥BC于D，分別連DE、DF. 易證P、B、F、D及P、D、C、E和A、B、P、C分別共圓，于是∠FDP=∠ACP ①，（∵都是∠ABP的補(bǔ)角） 且∠PDE=∠PCE ?、?而∠ACP+∠PCE=180176。 ?、?∴∠FDP+∠PDE=180176。 ?、?即F、D、E共線. 反之，當(dāng)F、D、E共線時(shí)，由④→②→③→①可見(jiàn)A、B、P、C共圓. 證明二： 如圖，若L、M、N三點(diǎn)共線，連結(jié)BP，CP，則因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和 M、P、L、C分別四點(diǎn)共圓，有 ∠PBN = ∠PLN = ∠PLM = ∠PCM. 故A、B、P、C四點(diǎn)共圓。 若A、B、P、C四點(diǎn)共圓，則∠PBN = ∠PCM。因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和M、P、L、C四點(diǎn)共圓，有 ∠PBN =∠PLN =∠PCM=∠PLM. 故L、M、N三點(diǎn)共線。 相關(guān)性質(zhì)的證明 連AH延長(zhǎng)線交圓于G, 連PG交西姆松線與R,BC于Q 如圖連其他相關(guān)線段 AH⊥BC,PF⊥BC==AG//PF==∠1=∠2 ==∠2=∠3 PE⊥AC,PF⊥BC====∠3=∠4 ==∠1=∠4 PF⊥BC ==PR=RQ BH⊥AC,AH⊥BC==∠5=∠6 ==∠6=∠7 ==∠5=∠7 AG⊥BC==BC垂直平分GH ==∠8=∠2=∠4 ∠8+∠9=90,∠10+∠4=90==∠9=∠10 ==HQ//DF ==PM=MH 第二個(gè)問(wèn)，平分點(diǎn)在九點(diǎn)圓上，如圖：設(shè)O,G,H 分別為三角形ABC的外心，重心和垂心。 則O是,確定九點(diǎn)圓的中點(diǎn)三角形XYZ的垂心，而G還是它的重心。 那么三角形XYZ的外心 O1， 也在同一直線上，并且 HG/GO=GO/GO1=2，所以O(shè)1是OH的中點(diǎn)。 三角形ABC和三角形XYZ位似，那么它們的外接圓也位似。兩個(gè)圓的圓心都在OH上，并且兩圓半徑比為1:2 所以G是三角形ABC外接圓和三角形XYZ外接圓(九點(diǎn)圓)的反位似中心(相似點(diǎn)在位似中心的兩邊),H 是正位似中心(相似點(diǎn)在位似中心的同一邊)... 所以H到三角形ABC的外接圓上的連線中點(diǎn)必在三角形DEF的外接圓上.... 圓冪定理 圓冪定理圓冪定理是對(duì)相交弦定理、切割線定理及割線定理（切割線定理推論）以及它們推論統(tǒng)一歸納的結(jié)果。 1. 問(wèn)題1 2. 問(wèn)題2 3. 問(wèn)題3 4. 問(wèn)題4 定義 圓冪=PO^2R^2| 所以圓內(nèi)的點(diǎn)的冪為負(fù)數(shù)，圓外的點(diǎn)的冪為正數(shù)，圓上的點(diǎn)的冪為零。 相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等。 切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)。 割線定理：從圓外一點(diǎn)P引兩條割線與圓分別交于A、B；C、D，則有 PAPB=PCPD。 統(tǒng)一歸納：過(guò)任意不在圓上的一點(diǎn)P引兩條直線LL2，L1與圓交于A、B（可重合，即切線），L2與圓交于C、D（可重合），則有PAPB=PCPD。 進(jìn)一步升華（推論） 過(guò)任意在圓O外的一點(diǎn)P引一條直線L1與一條過(guò)圓心的直線L2，L1與圓交于A、B（可重合，即切線），L2與圓交于C、D。則PAPB=PCPD。若圓半徑為r，則PCPD=(POr)(PO+r)=PO^2r^2=|PO^2r^2| （要加絕對(duì)值，原因見(jiàn)下）為定值。這個(gè)值稱為點(diǎn)P到圓O的冪。（事實(shí)上所有的過(guò)P點(diǎn)與圓相交的直線都滿足這個(gè)值） 若點(diǎn)P在圓內(nèi)，類似可得定值為r^2PO^2=|PO^2r^2| 故平面上任意一點(diǎn)對(duì)于圓的冪為這個(gè)點(diǎn)到圓心的距離與圓的半徑的平方差，而過(guò)這一點(diǎn)引任意直線交圓于A、B，那么PAPB等于圓冪的絕對(duì)值。（這就是“圓冪”的由來(lái)） 證明 圓冪定理（相交弦定理、切割線定理及其推論(割線定理)統(tǒng)一歸納為圓冪定理） 問(wèn)題1 相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦,被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的乘積相等。 證明：連結(jié)AC，BD，由圓周角定理的推論，得∠A=∠D，∠C=∠B。 ∴△PAC∽△PDB，∴PA:PD=PC:PB，PAPB=PCPD 問(wèn)題2 割線定理： 則有 PAPB=PCPD，當(dāng)PA=PB，即直線AB重合，即PA切線時(shí)得到切線定理PA^2=PCPD 證明：（令A(yù)在P、B之間，C在P、D之間）因?yàn)锳BCD為圓內(nèi)接四邊形，所以角CAB+角CDB=180度，又角CAB+角PAC=180度，所以角PAC=角CDB，又角APC公共，所以三角形APC與三角形DPB相似，所以PA/PD=PC/PB,所以PA*PB=PC*PD 切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng) 幾何語(yǔ)言：∵PT切⊙O于點(diǎn)T，PBA是⊙O的割線 ∴PT^2=PAPB（切割線定理） 推論 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等 幾何語(yǔ)言：∵PBA、PDC是⊙O的割線 ∴PDPC=PAPB（切割線定理推論） 問(wèn)題3 過(guò)點(diǎn)P任作直線交定圓于兩點(diǎn)A、B，證
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