各種圓定理總結(jié)[包括托勒密定理、塞瓦定理、西姆松定理、梅涅勞斯定理、圓冪定理和四點共圓]-在線瀏覽
2024-07-27 07:37本頁面
【正文】 (BF*ctgA)]=1，所以三條高CD、AE、BF交于一點。 三角形三條中線交于一點（重心）:如圖5 D , E分別為BC , AC 中點 所以BD=DC AE=EC 所以BD/DC=1 CE/EA=1 且因為AF=BF 所以 AF/FB必等于1 所以AF=FB 所以三角形三條中線交于一點 此外，可用定比分點來定義塞瓦定理： 在△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線上分別取L、M、N三點，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。（注意與梅涅勞斯定理相區(qū)分，那里是λμν=1） 塞瓦定理推論 △ABD內(nèi)任意一點，AE、BE、DE分別交對邊于C、G、F，則(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1 因為(BC/CD)*(DG/GA)*(AF/FB)=1，（塞瓦定理）所以 (BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=K（K為未知參數(shù)）且(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=K（K為未知參數(shù)）又由梅涅勞斯定理得：(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=1 所以(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1 AD,BE,CF交于一點的充分必要條件是： (sin∠BAD/sin∠DAC)*(sin∠ACF/sin∠FCB)*(sin∠CBE/sin∠EBA)=1 由正弦定理及三角形面積公式易證 ，對于圓周上順次6點A,B,C,D,E,F，直線AD,BE,CF交于一點的充分必要條件是： (AB/BC)*(CD/DE)*(EF/FA)=1 由塞瓦定理的角元形式，正弦定理及圓弦長與所對圓周角關(guān)系易證。梅涅勞斯定理 梅涅勞斯定理證明梅涅勞斯（Menelaus）定理（簡稱梅氏定理）是由古希臘數(shù)學(xué)家梅涅勞斯首先證明的。 或：設(shè)X、Y、Z分別在△ABC的BC、CA、AB所在直線上，則X、Y、Z共線的充要條件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)= 證明一： 過點A作AG∥BC交DF的延長線于G, 則AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG。利用這個逆定理，可以判斷三點共線。BB39。 所以AD：DB=AA39。BE：EC=BB39。CF：FA=CC39。 所以(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1 證明四： 連接BF。（BE：EC）（S△BEF：S△CEF）（S△BDF：S△CDF）于是L、M、N三點共線的充要條件是λμν=1。(O不與點A、B、C重合) 記憶 ABC為三個頂點，DEF為三個分點 (AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1 ?。?shù)椒?分到頂）*（頂?shù)椒?分到頂）*（頂?shù)椒?分到頂）=1 空間感好的人可以這么記：（上1/下1）*（整/右）*（下2/上2）=1 實際應(yīng)用 為了說明問題，并給大家一個深刻印象，我們假定圖中的A、B、C、D、E、F是六個旅游景點，各景點之間有公路相連。我們換乘汽車沿公路去每一個景點游玩，最后回到出發(fā)點，直升機就停在那里等待我們回去。只“路過”而不停留觀賞的景點，不能算是“游歷”。 另外還有一個要求，就是同一直線上的三個景點，必須連續(xù)游過之后，才能變更到其它直線上的景點。 按照這個方案，可以寫出關(guān)系式： （AF：FB）*（BD：DC）*（CE：EA）=1。 從A點出發(fā)的旅游方案還有： 方案 ② ——可以簡記為：A→B→F→D→E→C→A，由此可寫出以下公式： （AB：BF）*（FD：DE）*（EC：CA）=1。 從A出發(fā)還有最后一個方案： 方案 ④ —— A→E→C→D→B→F→A，由此寫出公式： ?。ˋE：EC）*（CD：DB）*（BF：FA）=1。 值得注意的是，有些公式中包含了四項因式，而不是“梅涅勞斯定理”中的三項。而在C點和F點，既會有三項的公式，也會有四項的公式。 不知道梅涅勞斯當(dāng)年是否也是這樣想的，只是列出了一兩個典型的公式給我們看看。那些復(fù)雜的相除相乘的關(guān)系式，不會再寫錯或是記不住吧。表述為：過三角形外接圓上異于三角形頂點的任意一點作三邊的垂線，則三垂足共線。西姆松定理的逆定理為：若一點在三角形三邊所在直線上的射影共線，則該點在此三角形的外接圓上。西姆松線和PH的交點為線段PH的中點，且這點在九點圓上。 （3）若兩個三角形的外接圓相同，這外接圓上的一點P對應(yīng)兩者的西姆松線的交角，跟P的位置無關(guān)。 證明 證明一： △ABC外接圓上有點P，且PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，PD⊥BC于D，分別連DE、DF. 易證P、B、F、D及P、D、C、E和A、B、P、C分別共圓，于是∠FDP=∠ACP ①，（∵都是∠ABP的補角） 且∠PDE=∠PCE ② 而∠ACP+∠PCE=180176。 ④ 即F、D、E共線. 反之，當(dāng)F、D、E共線時，由④→②→③→①可見A、B、P、C共圓. 證明二： 如圖，若L、M、N三點共線，連結(jié)BP，CP，則因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和 M、P、L、C分別四點共圓，有 ∠PBN = ∠PLN = ∠PLM = ∠PCM. 故A、B、P、C四點共圓。因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和M、P、L、C四點共圓，有 ∠PBN =∠PLN =∠PCM=∠PLM. 故L、M、N三點共線。 則O是,確定九點圓的中點三角形XYZ的垂心，而G還是它的重心。 三角形ABC和三角形XYZ位似，那么它們的外接圓也位似。 1. 問題1 2. 問題2 3. 問題3 4. 問題4 定義 圓冪=PO^2R^2| 所以圓內(nèi)的點的冪為負(fù)數(shù)，圓外的點的冪為正數(shù)，圓上的點的冪為零。 切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。PB=PC 統(tǒng)一歸納：過任意不在圓上的一點P引兩條直線LL2，L1與圓交于A、B（可重合，即切線），L2與圓交于C、D（可重合），則有PAPD。則PAPD。PD=(POr)這個值稱為點P到圓O的冪。PB等于圓冪的絕對值。 證明：連結(jié)AC，BD，由圓周角定理的推論，得∠A=∠D，∠C=∠B。PB=PCPB=PCPD 證明：（令A(yù)在P、B之間，C在P、D之間）因為ABCD為圓內(nèi)接四邊形，所以角CAB+角CDB=180度，又角CAB+角PAC=180度，所以角PAC=角CDB，又角APC公共，所以三角形APC與三角形DPB
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