各種圓定理總結(jié)[包括托勒密定理、塞瓦定理、西姆松定理、梅涅勞斯定理、圓冪定理和四點(diǎn)共圓]-免費(fèi)閱讀
【正文】 歲月是有情的，假如你奉獻(xiàn)給她的是一些色彩，它奉獻(xiàn)給你的也是一些色彩。1. 若不給自己設(shè)限，則人生中就沒(méi)有限制你發(fā)揮的藩籬。） 方法3 把被證共圓的四點(diǎn)連成四邊形，若能證明其對(duì)角互補(bǔ)或能證明其一個(gè)外角等于其鄰補(bǔ)角的內(nèi)對(duì)角時(shí)，即可肯定這四點(diǎn)共圓． 方法4 把被證共圓的四點(diǎn)兩兩連成相交的兩條線(xiàn)段，若能證明它們各自被交點(diǎn)分成的兩線(xiàn)段之積相等，即可肯定這四點(diǎn)共圓；或把被證共圓的四點(diǎn)兩兩連結(jié)并延長(zhǎng)相交的兩線(xiàn)段，若能證明自交點(diǎn)至一線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)所成的兩線(xiàn)段之積等于自交點(diǎn)至另一線(xiàn)段兩端點(diǎn)所成的兩線(xiàn)段之積，即可肯定這四點(diǎn)也共圓．(根據(jù)托勒密定理的逆定理) 方法5 證被證共圓的點(diǎn)到某一定點(diǎn)的距離都相等，從而確定它們共圓． 上述五種基本方法中的每一種的根據(jù)，就是產(chǎn)生四點(diǎn)共圓的一種原因，因此當(dāng)要求證四點(diǎn)共圓的問(wèn)題時(shí)，首先就要根據(jù)命題的條件，并結(jié)合圖形的特點(diǎn)，在這五種基本方法中選擇一種證法，給予證明． 判定與性質(zhì)： 圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角和為π,并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角。 在上面證明的過(guò)程中，我們以P為原點(diǎn)，這樣可以使問(wèn)題簡(jiǎn)化。PB為定值（圓冪定理）。PB=PCPD=(POr) 統(tǒng)一歸納：過(guò)任意不在圓上的一點(diǎn)P引兩條直線(xiàn)LL2，L1與圓交于A、B（可重合，即切線(xiàn)），L2與圓交于C、D（可重合），則有PA 說(shuō)明：?jiǎn)栴}4的解決借用了問(wèn)題3的方法，同時(shí)我們也看到了問(wèn)題4與問(wèn)題問(wèn)題2的內(nèi)在聯(lián)系。 圓①也可以寫(xiě)成 x^2+y^22xOx2yOy+xO^2+yO^2a=0①′ 其中a為圓的半徑的平方。PD 證明：（令A(yù)在P、B之間，C在P、D之間）因?yàn)锳BCD為圓內(nèi)接四邊形，所以角CAB+角CDB=180度，又角CAB+角PAC=180度，所以角PAC=角CDB，又角APC公共，所以三角形APC與三角形DPB相似，所以PA/PD=PC/PB,所以PA*PB=PC*PD 切割線(xiàn)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線(xiàn)和割線(xiàn)，切線(xiàn)長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線(xiàn)與圓交點(diǎn)的兩條線(xiàn)段長(zhǎng)的比例中項(xiàng) 幾何語(yǔ)言：∵PT切⊙O于點(diǎn)T，PBA是⊙O的割線(xiàn) ∴PT^2=PAPB等于圓冪的絕對(duì)值。則PA 切割線(xiàn)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線(xiàn)和割線(xiàn)，切線(xiàn)長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線(xiàn)與圓交點(diǎn)的兩條線(xiàn)段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)。因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和M、P、L、C四點(diǎn)共圓，有 ∠PBN =∠PLN =∠PCM=∠PLM. 故L、M、N三點(diǎn)共線(xiàn)。西姆松線(xiàn)和PH的交點(diǎn)為線(xiàn)段PH的中點(diǎn)，且這點(diǎn)在九點(diǎn)圓上。 不知道梅涅勞斯當(dāng)年是否也是這樣想的，只是列出了一兩個(gè)典型的公式給我們看看。 從A點(diǎn)出發(fā)的旅游方案還有： 方案 ② ——可以簡(jiǎn)記為：A→B→F→D→E→C→A，由此可寫(xiě)出以下公式： ?。ˋB：BF）*（FD：DE）*（EC：CA）=1。我們換乘汽車(chē)沿公路去每一個(gè)景點(diǎn)游玩，最后回到出發(fā)點(diǎn)，直升機(jī)就停在那里等待我們回去。（S△BEF：S△CEF）BE：EC=BB39。 或：設(shè)X、Y、Z分別在△ABC的BC、CA、AB所在直線(xiàn)上，則X、Y、Z共線(xiàn)的充要條件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)= 證明一： 過(guò)點(diǎn)A作AG∥BC交DF的延長(zhǎng)線(xiàn)于G, 則AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG。①:即得：(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 （Ⅱ）也可以利用面積關(guān)系證明 ∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABDS△BOD)/(S△ACDS△COD)=S△AOB/S△AOC ③ 同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤ ?、邰堍莸肂D/DC*CE/EA*AF/FB=1 利用塞瓦定理證明三角形三條高線(xiàn)必交于一點(diǎn): 設(shè)三邊AB、BC、AC的垂足分別為D、E、F， 根據(jù)塞瓦定理逆定理，因?yàn)?AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[(BF*ctgA)]=1，所以三條高CD、AE、BF交于一點(diǎn)。AD 注意： (ab)(cd)與(ad)(bc)的輻角相等，這與A、B、C、D四點(diǎn)共圓等價(jià)。BC． 推論 ，必有AC又∠ACB=∠DCP，∠5=∠6，∴△ACB∽△DCP．得AC：CD=AB：DP，ACDA。CD，且CK 四點(diǎn)不限于同一平面。AC=AB 從這個(gè)定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理實(shí)質(zhì)上是關(guān)于共圓性的基本性質(zhì)． 定理的提出 一般幾何教科書(shū)中的“托勒密定理”，實(shí)出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是從他的書(shū)中摘出。BC 又因?yàn)锽E+ED≥BD ?。▋H在四邊形ABCD是某圓的內(nèi)接四邊形時(shí)，等號(hào)成立，即“托勒密定理”） 所以命題得證 復(fù)數(shù)證明 用a、b、c、d分別表示四邊形頂點(diǎn)A、B、C、D的復(fù)數(shù)，則AB、CD、AD、BC、AC、BD的長(zhǎng)度分別是：(ab)、(cd)、(ad)、(bc)、(ac)、(bd)。 因此△ABK與△DBC相似，同理也有△ABD ~ △KBC。DA； 但AK+CK = AC，因此ACBC． 證明：如圖1，過(guò)C作CP交BD于P，使∠1=∠2，又∠3=∠4，∴△ACD∽△BCP．得AC：BC=AD：BP，ACBC．即AC 簡(jiǎn)單的證明：復(fù)數(shù)恒等式：(ab)(cd)+(ad)(bc)=(ac)(bd)，兩邊取模， 得不等式ACBD塞瓦定理簡(jiǎn)介 塞瓦（Giovanni Ceva，1648～1734）意大利水利工程師，數(shù)學(xué)家。 設(shè)三邊AB、BC、AC的垂足分別為D、E、F，根據(jù)塞瓦定理逆定 理，因?yàn)?AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[(AE*ctgB)]=1，所以三條高CD、AE、BF交于一點(diǎn)。CC39。 （AD：DB） 第一角元形式的梅涅勞斯定理 如圖：若E，F(xiàn)，D三點(diǎn)共線(xiàn)，則 (sin∠ACF/sin∠FCB)(sin∠BAD/sin∠DAC)(sin∠CBA/sin∠ABE)=1 即圖中的藍(lán)角正弦值之積等于紅角正弦值之積 該形式的梅涅勞斯定理也很實(shí)用 第二角元形式的梅涅勞斯定理 在平面上任取一點(diǎn)O，
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