各種圓定理總結(jié)[包括托勒密定理、塞瓦定理、西姆松定理、梅涅勞斯定理、圓冪定理和四點共圓]-免費閱讀
【正文】 歲月是有情的，假如你奉獻給她的是一些色彩，它奉獻給你的也是一些色彩。1. 若不給自己設(shè)限，則人生中就沒有限制你發(fā)揮的藩籬。） 方法3 把被證共圓的四點連成四邊形，若能證明其對角互補或能證明其一個外角等于其鄰補角的內(nèi)對角時，即可肯定這四點共圓． 方法4 把被證共圓的四點兩兩連成相交的兩條線段，若能證明它們各自被交點分成的兩線段之積相等，即可肯定這四點共圓；或把被證共圓的四點兩兩連結(jié)并延長相交的兩線段，若能證明自交點至一線段兩個端點所成的兩線段之積等于自交點至另一線段兩端點所成的兩線段之積，即可肯定這四點也共圓．(根據(jù)托勒密定理的逆定理) 方法5 證被證共圓的點到某一定點的距離都相等，從而確定它們共圓． 上述五種基本方法中的每一種的根據(jù)，就是產(chǎn)生四點共圓的一種原因，因此當要求證四點共圓的問題時，首先就要根據(jù)命題的條件，并結(jié)合圖形的特點，在這五種基本方法中選擇一種證法，給予證明． 判定與性質(zhì)： 圓內(nèi)接四邊形的對角和為π,并且任何一個外角都等于它的內(nèi)對角。 在上面證明的過程中，我們以P為原點，這樣可以使問題簡化。PB為定值（圓冪定理）。PB=PCPD=(POr) 統(tǒng)一歸納：過任意不在圓上的一點P引兩條直線LL2，L1與圓交于A、B（可重合，即切線），L2與圓交于C、D（可重合），則有PA 說明：問題4的解決借用了問題3的方法，同時我們也看到了問題4與問題問題2的內(nèi)在聯(lián)系。 圓①也可以寫成 x^2+y^22xOx2yOy+xO^2+yO^2a=0①′ 其中a為圓的半徑的平方。PD 證明：（令A在P、B之間，C在P、D之間）因為ABCD為圓內(nèi)接四邊形，所以角CAB+角CDB=180度，又角CAB+角PAC=180度，所以角PAC=角CDB，又角APC公共，所以三角形APC與三角形DPB相似，所以PA/PD=PC/PB,所以PA*PB=PC*PD 切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項 幾何語言：∵PT切⊙O于點T，PBA是⊙O的割線 ∴PT^2=PAPB等于圓冪的絕對值。則PA 切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和M、P、L、C四點共圓，有 ∠PBN =∠PLN =∠PCM=∠PLM. 故L、M、N三點共線。西姆松線和PH的交點為線段PH的中點，且這點在九點圓上。 不知道梅涅勞斯當年是否也是這樣想的，只是列出了一兩個典型的公式給我們看看。 從A點出發(fā)的旅游方案還有： 方案 ② ——可以簡記為：A→B→F→D→E→C→A，由此可寫出以下公式： （AB：BF）*（FD：DE）*（EC：CA）=1。我們換乘汽車沿公路去每一個景點游玩，最后回到出發(fā)點，直升機就停在那里等待我們回去。（S△BEF：S△CEF）BE：EC=BB39。 或：設(shè)X、Y、Z分別在△ABC的BC、CA、AB所在直線上，則X、Y、Z共線的充要條件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)= 證明一： 過點A作AG∥BC交DF的延長線于G, 則AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG。①:即得：(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 ?。á颍┮部梢岳妹娣e關(guān)系證明 ∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABDS△BOD)/(S△ACDS△COD)=S△AOB/S△AOC ③ 同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤ ?、邰堍莸肂D/DC*CE/EA*AF/FB=1 利用塞瓦定理證明三角形三條高線必交于一點: 設(shè)三邊AB、BC、AC的垂足分別為D、E、F， 根據(jù)塞瓦定理逆定理，因為(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[(BF*ctgA)]=1，所以三條高CD、AE、BF交于一點。AD 注意： (ab)(cd)與(ad)(bc)的輻角相等，這與A、B、C、D四點共圓等價。BC． 推論 ，必有AC又∠ACB=∠DCP，∠5=∠6，∴△ACB∽△DCP．得AC：CD=AB：DP，ACDA。CD，且CK 四點不限于同一平面。AC=AB 從這個定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理實質(zhì)上是關(guān)于共圓性的基本性質(zhì)． 定理的提出 一般幾何教科書中的“托勒密定理”，實出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是從他的書中摘出。BC 又因為BE+ED≥BD ?。▋H在四邊形ABCD是某圓的內(nèi)接四邊形時，等號成立，即“托勒密定理”） 所以命題得證 復數(shù)證明 用a、b、c、d分別表示四邊形頂點A、B、C、D的復數(shù)，則AB、CD、AD、BC、AC、BD的長度分別是：(ab)、(cd)、(ad)、(bc)、(ac)、(bd)。 因此△ABK與△DBC相似，同理也有△ABD ~ △KBC。DA； 但AK+CK = AC，因此ACBC． 證明：如圖1，過C作CP交BD于P，使∠1=∠2，又∠3=∠4，∴△ACD∽△BCP．得AC：BC=AD：BP，ACBC．即AC 簡單的證明：復數(shù)恒等式：(ab)(cd)+(ad)(bc)=(ac)(bd)，兩邊取模， 得不等式ACBD塞瓦定理簡介 塞瓦（Giovanni Ceva，1648～1734）意大利水利工程師，數(shù)學家。 設(shè)三邊AB、BC、AC的垂足分別為D、E、F，根據(jù)塞瓦定理逆定 理，因為(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[(AE*ctgB)]=1，所以三條高CD、AE、BF交于一點。CC39。 ?。ˋD：DB） 第一角元形式的梅涅勞斯定理 如圖：若E，F(xiàn)，D三點共線，則 (sin∠ACF/sin∠FCB)(sin∠BAD/sin∠DAC)(sin∠CBA/sin∠ABE)=1 即圖中的藍角正弦值之積等于紅角正弦值之積 該形式的梅涅勞斯定理也很實用 第二角元形式的梅涅勞斯定理 在平面上任取一點O，
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