【正文】 有時候覺得自己像個神經(jīng)病。 說明：問題4的解決借用了問題3的方法，同時我們也看到了問題4與問題問題2的內(nèi)在聯(lián)系。PD 　　證明：（令A(yù)在P、B之間，C在P、D之間）因?yàn)锳BCD為圓內(nèi)接四邊形，所以角CAB+角CDB=180度，又角CAB+角PAC=180度，所以角PAC=角CDB，又角APC公共，所以三角形APC與三角形DPB相似，所以PA/PD=PC/PB,所以PA*PB=PC*PD 　　切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng) 　　幾何語言：∵PT切⊙O于點(diǎn)T，PBA是⊙O的割線 　　∴PT^2=PA則PA 　　在上面證明的過程中，我們以P為原點(diǎn)，這樣可以使問題簡化。PB=PC 　　統(tǒng)一歸納：過任意不在圓上的一點(diǎn)P引兩條直線LL2，L1與圓交于A、B（可重合，即切線），L2與圓交于C、D（可重合），則有PA 證明　　證明一： △ABC外接圓上有點(diǎn)P，且PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，PD⊥BC于D，分別連DE、DF. 　　易證P、B、F、D及P、D、C、E和A、B、P、C分別共圓，于是∠FDP=∠ACP ①，（∵都是∠ABP的補(bǔ)角） 且∠PDE=∠PCE 　　② 而∠ACP+∠PCE=180176。 　　值得注意的是，有些公式中包含了四項(xiàng)因式，而不是“梅涅勞斯定理”中的三項(xiàng)。于是L、M、N三點(diǎn)共線的充要條件是λμν=1。BB39。CD=ACCD＋ADCD + BCCD+ADCD (1) 　　而∠BAC=∠DAE，∠ACB=∠ADE 　　所以△ABC∽△AED相似. 　　BC/ED=AC/AD即EDBD = BCDP=AB 　　。 　　三式相乘得：(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=(AG/BD)(BD/DC)(DC/AG)=1 證明二：　　過點(diǎn)C作CP∥DF交AB于P，則BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF 　　所以有AF/FBBD/DCCE/EA=AF/FBFB/PFPF/AF=1 　　它的逆定理也成立：若有三點(diǎn)F、D、E分別在△ABC的邊AB、BC、CA或其延長線上，且滿足(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1，則F、D、E三點(diǎn)共線。（S△BCF：S△BAF） 　　=（S△ADF：S△BDF）從A出發(fā)還可以向“C”方向走，于是有： 　　方案 ③ —— A→C→E→D→F→B→A，由此可寫出公式： 　?。ˋC：CE）*（ED：DF）*（FB：BA）=1。 　?。?）兩點(diǎn)的西姆松線的交角等于該兩點(diǎn)的圓周角。 　　割線定理：從圓外一點(diǎn)P引兩條割線與圓分別交于A、B；C、D，則有 PA（這就是“圓冪”的由來） 證明　　圓冪定理（相交弦定理、切割線定理及其推論(割線定理)統(tǒng)一歸納為圓冪定理） 問題1　　相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦,被交點(diǎn)分成的兩條線段長的乘積相等。所說的定值也就是（原點(diǎn)）與圓心O的距離的平方減去半徑的平方。PB=PCPD 問題2　　割線定理： 則有 PA 　　如果給定點(diǎn)O，未必是原點(diǎn)，要求出P關(guān)于圓①的冪（即OP^2r^2），我們可以設(shè)直線AB的方程為 　?、?　?、?　　是 的傾斜角， 表示直線上的點(diǎn)與 的距離． 　　將②③代入①得 　　即 　　， 是它的兩個根，所以由韋達(dá)定理 　?、?　　是定值 　?、苁?關(guān)于①的冪（當(dāng) 是原點(diǎn)時，這個值就是 ）．它也可以寫成 　?、堋?　　即 與圓心 距離的平方減去半徑的平方． 　　當(dāng)P在圓內(nèi)時，冪值是負(fù)值；P在圓上時，冪為0；P在圓外時，冪為正值，這時冪就是自P向圓所引切線長的平方。2. 若不是心寬似海，哪有人生風(fēng)平浪靜。4. 歲月是無情的，假如你丟給它的是一片空白，它還給你的也是一片空白。 四點(diǎn)共圓證明四點(diǎn)共圓的基本方法　　證明四點(diǎn)共圓有下述一些基本方法： 方法1　　從被證共圓的四點(diǎn)中先選出三點(diǎn)作一圓，然后證另一點(diǎn)也在這個圓上，若能證明這一點(diǎn)，即可肯定這四點(diǎn)共圓． 方法2　　把被證共圓的四個點(diǎn)連成共底邊的兩個三角形，且兩三角形都在這底邊的同側(cè)，若能證明其頂角相等，從而即可肯定這四點(diǎn)共圓． （若能證明其兩頂角為直角，即可肯定這四個點(diǎn)共圓，且斜邊上兩點(diǎn)連線為該圓直徑。PB（切割線定理推論） 問題3　　過點(diǎn)P任作直線交定圓于兩點(diǎn)A、B，證明PA若圓半徑為r，則PC 　　可以證明，當(dāng) 在圓內(nèi)時，上述推導(dǎo)及結(jié)論仍然成立。PD，當(dāng)PA=PB，即直線AB重合，即PA切線時得到切線定理PA^2=PC 進(jìn)一步升華（推論）　　過任意在圓O外的一點(diǎn)P引一條直線L1與一條過圓心的直線L2，L1與圓交于A、B（可重合，即切線），L2與圓交于C、D。 　　若A、B、P、C四點(diǎn)共圓，則∠PBN = ∠PCM。公式為四項(xiàng)時，有的景點(diǎn)會游覽了兩次。我們乘直升機(jī)飛到這些景點(diǎn)的上空，然后選擇其中的任意一個景點(diǎn)降落。：BB39。 具體內(nèi)容　　塞瓦定理 　　在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)O， 　　直線AO、BO、CO分別交對邊于D、E、F，則 (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 　　證法簡介 　?。á瘢┍绢}可利用梅涅勞斯定理證明： 　　∵△ADC被直線BOE所截， 　　∴ (CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1 ① 　　而由△ABD被直線COF所截，∴ (BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1② 　　②247。CD＋ADCD + BC 等號成立的條件是(ab)(cd)與(ad)(bc)的輻角相等，這與A、B、C、D四點(diǎn)共圓等價。證明　　一、（以下是推論的證明，托勒密定理可視作特殊情況。 因此AK/AB = CD/BD，且CK/BC = DA/BD； 因此AKBP=ADBD≤|(ab)(cd)|+|(bc)(ad)|=AB梅涅勞斯定理 梅涅勞斯定理證明梅涅勞斯（Menelaus）定理（簡稱梅氏定理）是由古希臘數(shù)學(xué)家梅涅勞斯首先證明的。（BE：EC） 　　按照這個方案，可以寫出關(guān)系式： 　?。ˋF：FB）*（BD：DC）*（CE：EA）=1。西姆松定理的逆定理為：若一點(diǎn)在三角形三邊所在直線上的射影共線，則該點(diǎn)在此三角形的外接圓上。 1. 問題1 2. 問題2 3. 問題3 4. 問題4　　 定義　　圓冪=PO^2R^2| 　　所以圓內(nèi)的點(diǎn)的冪為負(fù)數(shù)，圓外的點(diǎn)的冪為正數(shù)，圓上的點(diǎn)的冪為零。這個值稱為點(diǎn)P到圓O的冪。由韋達(dá)定理 　　t1t2=(xO^2+yO^2^2)/(k1^2+k2^2) 　　于是 　　PAPB=PC 　　證明：連結(jié)AC，BD，由圓周角定理的推論，得∠A=∠D，∠C=∠B