各種圓定理總結(jié)[包括托勒密定理、塞瓦定理、西姆松定理、梅涅勞斯定理、圓冪定理和四點(diǎn)共圓]-wenkub
2023-07-01 07:37:42 本頁面
【正文】 有B、C兩點(diǎn)，則ADBD≤|(ab)(cd)|+|(bc)(ad)|=ABCD+ADBD=ABCD ②。BP=AD 三、 托勒密定理：圓內(nèi)接四邊形中，兩條對(duì)角線的乘積(兩對(duì)角線所包矩形的面積)等于兩組對(duì)邊乘積之和(一組對(duì)邊所包矩形的面積與另一組對(duì)邊所包矩形的面積之和)．已知：圓內(nèi)接四邊形ABCD，求證：ACBD = ABDA； 兩式相加，得(AK+CK) 因此AK/AB = CD/BD，且CK/BC = DA/BD； 因此AK 二、設(shè)ABCD是圓內(nèi)接四邊形。 首先注意到復(fù)數(shù)恒等式： (a ? b)(c ? d) + (a ? d)(b ? c) = (a ? c)(b ? d) ，兩邊取模，運(yùn)用三角不等式得。AC=BC證明 一、（以下是推論的證明，托勒密定理可視作特殊情況。.. . . ..托勒密定理定理圖定理的內(nèi)容 托勒密(Ptolemy)定理指出，圓的內(nèi)接凸四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積。） 在任意四邊形ABCD中，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD 因?yàn)椤鰽BE∽△ACD 所以 BE/CD=AB/AC,即BEAD (2) (1)+(2),得 AC(BE+ED)=AB 等號(hào)成立的條件是(ab)(cd)與(ad)(bc)的輻角相等，這與A、B、C、D四點(diǎn)共圓等價(jià)。 在弦BC上，圓周角∠BAC = ∠BDC，而在AB上，∠ADB = ∠ACB。BD = ABBD = ABCD + BCBD＝ABBC ①。①＋②得 AC(BP＋DP)=ABCD＋ADBC，當(dāng)且僅當(dāng)ABCD四點(diǎn)共圓時(shí)取等號(hào)。CD+BCBC+AB 具體內(nèi)容 塞瓦定理 在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)O， 直線AO、BO、CO分別交對(duì)邊于D、E、F，則 (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 證法簡(jiǎn)介 ?。á瘢┍绢}可利用梅涅勞斯定理證明： ∵△ADC被直線BOE所截， ∴ (CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1 ① 而由△ABD被直線COF所截，∴ (BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1② ②247。于是AL、BM、CN三線交于一點(diǎn)的充要條件是λμν=1。它指出：如果一條直線與△ABC的三邊AB、BC、CA或其延長(zhǎng)線交于F、D、E點(diǎn)，那么(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1。 梅涅勞斯(Menelaus)定理證明三： 過ABC三點(diǎn)向三邊引垂線AA39。：BB39。：AA39。（CF:FA) =（S△ADF：S△BDF）（S△CDF：S△ADF） =1 此外，用定比分點(diǎn)定義該定理可使其容易理解和記憶： 在△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線上分別取L、M、N三點(diǎn)，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。我們乘直升機(jī)飛到這些景點(diǎn)的上空，然后選擇其中的任意一個(gè)景點(diǎn)降落。 例如直升機(jī)降落在A點(diǎn)，我們從A點(diǎn)出發(fā)，“游歷”了其它五個(gè)字母所代表的景點(diǎn)后，最終還要回到出發(fā)點(diǎn)A。 現(xiàn)在，您知道應(yīng)該怎樣寫“梅涅勞斯定理”的公式了吧。 我們的直升機(jī)還可以選擇在B、C、D、E、F任一點(diǎn)降落，因此就有了圖中的另外一些公式。公式為四項(xiàng)時(shí)，有的景點(diǎn)會(huì)游覽了兩次。西姆松定理 西姆松定理圖示西姆松定理是一個(gè)幾何定理。 西姆松定理說明 相關(guān)的結(jié)果有： ?。?）稱三角形的垂心為H。 ?。?）從一點(diǎn)向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點(diǎn)落在三角形的外接圓上。 若A、B、P、C四點(diǎn)共圓，則∠PBN = ∠PCM。 那么三角形XYZ的外心 O1， 也在同一直線上，并且 HG/GO=GO/GO1=2，所以O(shè)1是OH的中點(diǎn)。 相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等。PD。 進(jìn)一步升華（推論） 過任意在圓O外的一點(diǎn)P引一條直線L1與一條過圓心的直線L2，L1與圓交于A、B（可重合，即切線），L2與圓交于C、D。若圓半徑為r，則PC（事實(shí)上所有的過P點(diǎn)與圓相交的直線都滿足這個(gè)值） 若點(diǎn)P在圓內(nèi)，類似可得定值為r^2PO^2=|PO^2r^2| 故平面上任意一點(diǎn)對(duì)于圓的冪為這個(gè)點(diǎn)到圓心的距離與圓的半徑的平方差，而過這一點(diǎn)引任意直線交圓于A、B，那么PA ∴△PAC∽△PDB，∴PA:PD=PC:PB，PAPD，當(dāng)PA=PB，即直線AB重合，即PA切線時(shí)得到切線定理PA^2=PCPB（切割線定理推論） 問題3 過點(diǎn)P任作直線交定圓于兩點(diǎn)A、B，證明PAPB=√((k1t1)^2+(k2t1)^2)√((k1t2)^2+(k2t2)^2) =(√(k1^2+k2^2))^2|t1||t2| =k1^2+k2^2|(xO^2+yO^2r^2)/(k1^2+k2^2)| =|(xO^2+yO^2r^2)| 為定值，證畢。 這定值稱為點(diǎn)P到這圓的冪。 可以證明，當(dāng) 在圓內(nèi)時(shí)，上述推導(dǎo)及結(jié)論仍然成立。 相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等。PD。 進(jìn)一步升華（推論） 過任意在圓O外的一點(diǎn)P引一條直線L1與一條過圓心的直線L2，L1與圓交于A、B（可重合，即切線），L2與圓交于C、D。若圓半徑為r，則PC（事實(shí)上所有的過P點(diǎn)與圓相交的直線都滿足這個(gè)值） 若點(diǎn)P在圓內(nèi)，類似可得定值為r^2PO^2=|PO^2r^2| 故平面上任意一點(diǎn)對(duì)于圓的冪為這個(gè)點(diǎn)到圓心的距離與圓的半徑的平方差，而過這一點(diǎn)引任意直線交圓于A、B，那么PA ∴△PAC∽△PDB，∴PA:PD=PC:PB，PAPD，當(dāng)PA=PB，即直線AB重合，即PA切線時(shí)得到切線定理PA^2=PCPB（切割線定理推論） 問題3 過點(diǎn)P任作直線交定圓于兩點(diǎn)A、B，證明PAPB=√((k1t1)^2+(k2t1)^2)√((k1t2)^2+(k2t2)^2) =(√(k1^2+k2^2))^2|t1||t2| =k1^2+k2^2|(xO^2+yO^2r^2)/(k1^2+k2^2)| =|(xO^2+yO^2r^2)| 為定值，證畢。 這定值稱為點(diǎn)P到這圓的冪。 可以證明，當(dāng) 在圓內(nèi)時(shí)，上述推導(dǎo)及結(jié)論仍然成立。 四點(diǎn)共圓證明四點(diǎn)共圓的基本方法 證明四點(diǎn)共圓有下述一些基
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