各種圓定理總結(jié)[包括托勒密定理、塞瓦定理、西姆松定理、梅涅勞斯定理、圓冪定理和四點共圓]-wenkub
2023-07-01 07:37:42 本頁面
【正文】 有B、C兩點，則ADBD≤|(ab)(cd)|+|(bc)(ad)|=ABCD+ADBD=ABCD ②。BP=AD 三、 托勒密定理：圓內(nèi)接四邊形中，兩條對角線的乘積(兩對角線所包矩形的面積)等于兩組對邊乘積之和(一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和)．已知：圓內(nèi)接四邊形ABCD，求證：ACBD = ABDA； 兩式相加，得(AK+CK) 因此AK/AB = CD/BD，且CK/BC = DA/BD； 因此AK 二、設(shè)ABCD是圓內(nèi)接四邊形。 首先注意到復(fù)數(shù)恒等式： (a ? b)(c ? d) + (a ? d)(b ? c) = (a ? c)(b ? d) ，兩邊取模，運用三角不等式得。AC=BC證明 一、（以下是推論的證明，托勒密定理可視作特殊情況。.. . . ..托勒密定理定理圖定理的內(nèi)容 托勒密(Ptolemy)定理指出，圓的內(nèi)接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積。） 在任意四邊形ABCD中，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD 因為△ABE∽△ACD 所以 BE/CD=AB/AC,即BEAD (2) (1)+(2),得 AC(BE+ED)=AB 等號成立的條件是(ab)(cd)與(ad)(bc)的輻角相等，這與A、B、C、D四點共圓等價。 在弦BC上，圓周角∠BAC = ∠BDC，而在AB上，∠ADB = ∠ACB。BD = ABBD = ABCD + BCBD＝ABBC ①。①＋②得 AC(BP＋DP)=ABCD＋ADBC，當(dāng)且僅當(dāng)ABCD四點共圓時取等號。CD+BCBC+AB 具體內(nèi)容 塞瓦定理 在△ABC內(nèi)任取一點O， 直線AO、BO、CO分別交對邊于D、E、F，則 (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 證法簡介 （Ⅰ）本題可利用梅涅勞斯定理證明： ∵△ADC被直線BOE所截， ∴ (CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1 ① 而由△ABD被直線COF所截，∴ (BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1② ②247。于是AL、BM、CN三線交于一點的充要條件是λμν=1。它指出：如果一條直線與△ABC的三邊AB、BC、CA或其延長線交于F、D、E點，那么(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1。 梅涅勞斯(Menelaus)定理證明三： 過ABC三點向三邊引垂線AA39。：BB39。：AA39。（CF:FA) =（S△ADF：S△BDF）（S△CDF：S△ADF） =1 此外，用定比分點定義該定理可使其容易理解和記憶： 在△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線上分別取L、M、N三點，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。我們乘直升機飛到這些景點的上空，然后選擇其中的任意一個景點降落。 例如直升機降落在A點，我們從A點出發(fā)，“游歷”了其它五個字母所代表的景點后，最終還要回到出發(fā)點A。 現(xiàn)在，您知道應(yīng)該怎樣寫“梅涅勞斯定理”的公式了吧。 我們的直升機還可以選擇在B、C、D、E、F任一點降落，因此就有了圖中的另外一些公式。公式為四項時，有的景點會游覽了兩次。西姆松定理 西姆松定理圖示西姆松定理是一個幾何定理。 西姆松定理說明 相關(guān)的結(jié)果有： ?。?）稱三角形的垂心為H。 ?。?）從一點向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點落在三角形的外接圓上。 若A、B、P、C四點共圓，則∠PBN = ∠PCM。 那么三角形XYZ的外心 O1， 也在同一直線上，并且 HG/GO=GO/GO1=2，所以O(shè)1是OH的中點。 相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。PD。 進一步升華（推論） 過任意在圓O外的一點P引一條直線L1與一條過圓心的直線L2，L1與圓交于A、B（可重合，即切線），L2與圓交于C、D。若圓半徑為r，則PC（事實上所有的過P點與圓相交的直線都滿足這個值） 若點P在圓內(nèi)，類似可得定值為r^2PO^2=|PO^2r^2| 故平面上任意一點對于圓的冪為這個點到圓心的距離與圓的半徑的平方差，而過這一點引任意直線交圓于A、B，那么PA ∴△PAC∽△PDB，∴PA:PD=PC:PB，PAPD，當(dāng)PA=PB，即直線AB重合，即PA切線時得到切線定理PA^2=PCPB（切割線定理推論） 問題3 過點P任作直線交定圓于兩點A、B，證明PAPB=√((k1t1)^2+(k2t1)^2)√((k1t2)^2+(k2t2)^2) =(√(k1^2+k2^2))^2|t1||t2| =k1^2+k2^2|(xO^2+yO^2r^2)/(k1^2+k2^2)| =|(xO^2+yO^2r^2)| 為定值，證畢。 這定值稱為點P到這圓的冪。 可以證明，當(dāng) 在圓內(nèi)時，上述推導(dǎo)及結(jié)論仍然成立。 相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。PD。 進一步升華（推論） 過任意在圓O外的一點P引一條直線L1與一條過圓心的直線L2，L1與圓交于A、B（可重合，即切線），L2與圓交于C、D。若圓半徑為r，則PC（事實上所有的過P點與圓相交的直線都滿足這個值） 若點P在圓內(nèi)，類似可得定值為r^2PO^2=|PO^2r^2| 故平面上任意一點對于圓的冪為這個點到圓心的距離與圓的半徑的平方差，而過這一點引任意直線交圓于A、B，那么PA ∴△PAC∽△PDB，∴PA:PD=PC:PB，PAPD，當(dāng)PA=PB，即直線AB重合，即PA切線時得到切線定理PA^2=PCPB（切割線定理推論） 問題3 過點P任作直線交定圓于兩點A、B，證明PAPB=√((k1t1)^2+(k2t1)^2)√((k1t2)^2+(k2t2)^2) =(√(k1^2+k2^2))^2|t1||t2| =k1^2+k2^2|(xO^2+yO^2r^2)/(k1^2+k2^2)| =|(xO^2+yO^2r^2)| 為定值，證畢。 這定值稱為點P到這圓的冪。 可以證明，當(dāng) 在圓內(nèi)時，上述推導(dǎo)及結(jié)論仍然成立。 四點共圓證明四點共圓的基本方法 證明四點共圓有下述一些基
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