各種圓定理總結(jié)[包括托勒密定理、塞瓦定理、西姆松定理、梅涅勞斯定理、圓冪定理和四點(diǎn)共圓]-全文預(yù)覽
【正文】 關(guān)線段 AH⊥BC,PF⊥BC==AG//PF==∠1=∠2 ==∠2=∠3 PE⊥AC,PF⊥BC====∠3=∠4 ==∠1=∠4 PF⊥BC ==PR=RQ BH⊥AC,AH⊥BC==∠5=∠6 ==∠6=∠7 ==∠5=∠7 AG⊥BC==BC垂直平分GH ==∠8=∠2=∠4 ∠8+∠9=90,∠10+∠4=90==∠9=∠10 ==HQ//DF ==PM=MH 第二個(gè)問(wèn)，平分點(diǎn)在九點(diǎn)圓上，如圖：設(shè)O,G,H 分別為三角形ABC的外心，重心和垂心。 ③ ∴∠FDP+∠PDE=180176。 ?。?）兩點(diǎn)的西姆松線的交角等于該兩點(diǎn)的圓周角。（此線常稱為西姆松線）。 還可以從逆時(shí)針來(lái)看，從第一個(gè)頂點(diǎn)到逆時(shí)針的第一個(gè)交點(diǎn)比上到下一個(gè)頂點(diǎn)的距離，以此類推，可得到三個(gè)比例，它們的乘積為1. 現(xiàn)在是否可以說(shuō)，我們對(duì)梅涅勞斯定理有了更深刻的了解呢。當(dāng)直升機(jī)降落在B點(diǎn)時(shí)，就會(huì)有四項(xiàng)因式。從A出發(fā)還可以向“C”方向走，于是有： 方案 ③ —— A→C→E→D→F→B→A，由此可寫出公式： ?。ˋC：CE）*（ED：DF）*（FB：BA）=1。 從A點(diǎn)出發(fā)的旅游方案共有四種，下面逐一說(shuō)明： 方案 ① ——從A經(jīng)過(guò)B（不停留）到F（停留），再返回B（停留），再到D（停留），之后經(jīng)過(guò)B（不停留）到C（停留），再到E（停留），最后從E經(jīng)過(guò)C（不停留）回到出發(fā)點(diǎn)A。 我們不必考慮怎樣走路程最短，只要求必須“游歷”了所有的景點(diǎn)?！? 第一角元形式的梅涅勞斯定理 如圖：若E，F(xiàn)，D三點(diǎn)共線，則 (sin∠ACF/sin∠FCB)(sin∠BAD/sin∠DAC)(sin∠CBA/sin∠ABE)=1 即圖中的藍(lán)角正弦值之積等于紅角正弦值之積 該形式的梅涅勞斯定理也很實(shí)用 第二角元形式的梅涅勞斯定理 在平面上任取一點(diǎn)O，且EDF共線，則（sin∠AOF/sin∠FOB)(sin∠BOD/sin∠DOC)(sin∠COA/sin∠AOE)=1。（S△BCF：S△BAF） =（S△ADF：S△BDF） ?。ˋD：DB）：CC39。CC39。 三式相乘得：(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=(AG/BD)(BD/DC)(DC/AG)=1 證明二： 過(guò)點(diǎn)C作CP∥DF交AB于P，則BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF 所以有AF/FBBD/DCCE/EA=AF/FBFB/PFPF/AF=1 它的逆定理也成立：若有三點(diǎn)F、D、E分別在△ABC的邊AB、BC、CA或其延長(zhǎng)線上，且滿足(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1，則F、D、E三點(diǎn)共線。 設(shè)三邊AB、BC、AC的垂足分別為D、E、F，根據(jù)塞瓦定理逆定 理，因?yàn)?AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[(AE*ctgB)]=1，所以三條高CD、AE、BF交于一點(diǎn)。 可用塞瓦定理證明的其他定理。BD塞瓦定理簡(jiǎn)介 塞瓦（Giovanni Ceva，1648～1734）意大利水利工程師，數(shù)學(xué)家。 。 簡(jiǎn)單的證明：復(fù)數(shù)恒等式：(ab)(cd)+(ad)(bc)=(ac)(bd)，兩邊取模， 得不等式ACBD≤ABBC．即ACDP=ABBC． 證明：如圖1，過(guò)C作CP交BD于P，使∠1=∠2，又∠3=∠4，∴△ACD∽△BCP．得AC：BC=AD：BP，AC證畢。DA； 但AK+CK = AC，因此ACBD = BC 因此△ABK與△DBC相似，同理也有△ABD ~ △KBC。 平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。BC 又因?yàn)锽E+ED≥BD ?。▋H在四邊形ABCD是某圓的內(nèi)接四邊形時(shí)，等號(hào)成立，即“托勒密定理”） 所以命題得證 復(fù)數(shù)證明 用a、b、c、d分別表示四邊形頂點(diǎn)A、B、C、D的復(fù)數(shù)，則AB、CD、AD、BC、AC、BD的長(zhǎng)度分別是：(ab)、(cd)、(ad)、(bc)、(ac)、(bd)。CD (1) 而∠BAC=∠DAE，∠ACB=∠ADE 所以△ABC∽△AED相似. BC/ED=AC/AD即ED 從這個(gè)定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理實(shí)質(zhì)上是關(guān)于共圓性的基本性質(zhì)． 定理的提出 一般幾何教科書中的“托勒密定理”，實(shí)出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是從他的書中摘出。 原文：圓的內(nèi)接四邊形中，兩對(duì)角線所包矩形的面積等于 一組對(duì)邊所包矩形的面積與另一組對(duì)邊所包矩形的面積之和。AC=ABCD+AD 四點(diǎn)不限于同一平面。 在AC上取一點(diǎn)K，使得∠ABK = ∠CBD； 因?yàn)椤螦BK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD，所以∠CBK = ∠ABD。CD，且CKCD + BCDA。CD＋AD又∠ACB=∠DCP，∠5=∠6，∴△ACB∽△DCP．得AC：CD=AB：DP，ACCD＋ADBC． 推論 ，必有AC ?。阂粋€(gè)凸四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積，則這個(gè)凸四邊形內(nèi)接于一圓、 推廣 托勒密不等式：四邊形的任兩組對(duì)邊乘積不小于另外一組對(duì)邊的乘積，取等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)共圓或共線。AD 注意： (ab)(cd)與(ad)(bc)的輻角相等，這與A、B、C、D四點(diǎn)共圓等價(jià)。CD=AC①:即得：(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 ?。á颍┮部梢岳妹娣e關(guān)系證明 ∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABDS△BOD)/(S△ACDS△COD)=S△AOB/S△AOC ③ 同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤ ?、邰堍莸肂D/DC*CE/EA*AF/FB=1 利用塞瓦定理證明三角形三條高線必交于一點(diǎn): 設(shè)三邊AB、BC、AC的垂足分別為D、E、F， 根據(jù)塞瓦定理逆定理，因?yàn)?AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[(BF*ctgA)]=1，所以三條高CD、AE、BF交于一點(diǎn)。（注意與梅涅勞斯定理相區(qū)分，那里是λμν=1） 塞瓦定理推論
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