各種圓定理總結(jié)[包括托勒密定理、塞瓦定理、西姆松定理、梅涅勞斯定理、圓冪定理和四點(diǎn)共圓]-預(yù)覽頁
【正文】 △ABD內(nèi)任意一點(diǎn)，AE、BE、DE分別交對(duì)邊于C、G、F，則(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1 因?yàn)?BC/CD)*(DG/GA)*(AF/FB)=1，（塞瓦定理）所以 (BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=K（K為未知參數(shù)）且(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=K（K為未知參數(shù)）又由梅涅勞斯定理得：(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=1 所以(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1 AD,BE,CF交于一點(diǎn)的充分必要條件是： (sin∠BAD/sin∠DAC)*(sin∠ACF/sin∠FCB)*(sin∠CBE/sin∠EBA)=1 由正弦定理及三角形面積公式易證 ，對(duì)于圓周上順次6點(diǎn)A,B,C,D,E,F，直線AD,BE,CF交于一點(diǎn)的充分必要條件是： (AB/BC)*(CD/DE)*(EF/FA)=1 由塞瓦定理的角元形式，正弦定理及圓弦長(zhǎng)與所對(duì)圓周角關(guān)系易證。 或：設(shè)X、Y、Z分別在△ABC的BC、CA、AB所在直線上，則X、Y、Z共線的充要條件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)= 證明一： 過點(diǎn)A作AG∥BC交DF的延長(zhǎng)線于G, 則AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG。BB39。BE：EC=BB39。 所以(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1 證明四： 連接BF。（S△BEF：S△CEF）于是L、M、N三點(diǎn)共線的充要條件是λμν=1。我們換乘汽車沿公路去每一個(gè)景點(diǎn)游玩，最后回到出發(fā)點(diǎn)，直升機(jī)就停在那里等待我們回去。 另外還有一個(gè)要求，就是同一直線上的三個(gè)景點(diǎn)，必須連續(xù)游過之后，才能變更到其它直線上的景點(diǎn)。 從A點(diǎn)出發(fā)的旅游方案還有： 方案 ② ——可以簡(jiǎn)記為：A→B→F→D→E→C→A，由此可寫出以下公式： ?。ˋB：BF）*（FD：DE）*（EC：CA）=1。 值得注意的是，有些公式中包含了四項(xiàng)因式，而不是“梅涅勞斯定理”中的三項(xiàng)。 不知道梅涅勞斯當(dāng)年是否也是這樣想的，只是列出了一兩個(gè)典型的公式給我們看看。表述為：過三角形外接圓上異于三角形頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)作三邊的垂線，則三垂足共線。西姆松線和PH的交點(diǎn)為線段PH的中點(diǎn)，且這點(diǎn)在九點(diǎn)圓上。 證明 證明一： △ABC外接圓上有點(diǎn)P，且PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，PD⊥BC于D，分別連DE、DF. 易證P、B、F、D及P、D、C、E和A、B、P、C分別共圓，于是∠FDP=∠ACP ①，（∵都是∠ABP的補(bǔ)角） 且∠PDE=∠PCE ?、?而∠ACP+∠PCE=180176。因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和M、P、L、C四點(diǎn)共圓，有 ∠PBN =∠PLN =∠PCM=∠PLM. 故L、M、N三點(diǎn)共線。 三角形ABC和三角形XYZ位似，那么它們的外接圓也位似。 切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)。 統(tǒng)一歸納：過任意不在圓上的一點(diǎn)P引兩條直線LL2，L1與圓交于A、B（可重合，即切線），L2與圓交于C、D（可重合），則有PA則PAPD=(POr)PB等于圓冪的絕對(duì)值。PB=PCPD 證明：（令A(yù)在P、B之間，C在P、D之間）因?yàn)锳BCD為圓內(nèi)接四邊形，所以角CAB+角CDB=180度，又角CAB+角PAC=180度，所以角PAC=角CDB，又角APC公共，所以三角形APC與三角形DPB相似，所以PA/PD=PC/PB,所以PA*PB=PC*PD 切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng) 幾何語言：∵PT切⊙O于點(diǎn)T，PBA是⊙O的割線 ∴PT^2=PAPB為定值（圓冪定理）。 圓①也可以寫成 x^2+y^22xOx2yOy+xO^2+yO^2a=0①′ 其中a為圓的半徑的平方。 在上面證明的過程中，我們以P為原點(diǎn)，這樣可以使問題簡(jiǎn)化。 說明：?jiǎn)栴}4的解決借用了問題3的方法，同時(shí)我們也看到了問題4與問題問題2的內(nèi)在聯(lián)系。 切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)。 統(tǒng)一歸納：過任意不在圓上的一點(diǎn)P引兩條直線LL2，L1與圓交于A、B（可重合，即切線），L2與圓交于C、D（可重合），則有PA則PAPD=(POr)PB等于圓冪的絕對(duì)值。PB=PCPD 證明：（令A(yù)在P、B之間，C在P、D之間）因?yàn)锳BCD為圓內(nèi)接四邊形，所以角CAB+角CDB=180度，又角CAB+角PAC=180度，所以角PAC=角CDB，又角APC公共，所以三角形APC與三角形DPB相似，所以PA/PD=PC/PB,所以PA*PB=PC*PD 切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng) 幾何語言：∵PT切⊙O于點(diǎn)T，PBA是⊙O的割線 ∴PT^2=PAPB為定值（圓冪定理）。 圓①也可以寫成 x^2+y^22xOx2yOy+xO^2+yO^2a=0①′ 其中a為圓的半徑的平方。 在上面證明的過程中，我們以P為原點(diǎn)，這樣可以使問題簡(jiǎn)化。 說明：?jiǎn)栴}4的解決借用了問題3的方法，同時(shí)我們也看到了問題4與問題問題2的內(nèi)在聯(lián)系。） 方法3 把被證共圓的四點(diǎn)連成四邊形，若能證明其對(duì)角互補(bǔ)或能證明其一個(gè)外角等于其鄰補(bǔ)角的內(nèi)對(duì)角時(shí)，即可肯定這四點(diǎn)共圓． 方法4 把被證共圓的四點(diǎn)兩兩連成相交的兩條線段，若能證明它們各自被交點(diǎn)分成的兩線段之積相等，即可肯定這四點(diǎn)共圓；或把被證共圓的四點(diǎn)兩兩連結(jié)并延長(zhǎng)相交的兩線段，若能證明自交點(diǎn)至一線段兩個(gè)端點(diǎn)所成的兩線段之積等于自交點(diǎn)至另一線段兩端點(diǎn)所成的兩線段之積，即可肯定這四點(diǎn)也共圓．(根據(jù)托勒密定理的逆定理) 方法5 證被證共圓的點(diǎn)到某一定點(diǎn)的距離都相等，從而確定它們共圓． 上述五種基本方法中的每一種的根據(jù)，就是產(chǎn)生四點(diǎn)共圓的一種原因，因此當(dāng)要求證四點(diǎn)共圓的問題時(shí)，首先就要根據(jù)命題的條件，并結(jié)合圖形的特點(diǎn)，在這五種基本方法中選擇一種證法，給予證明． 判定與性質(zhì)： 圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角和為π,并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角。那么這四點(diǎn)共圓） 反證法證明 現(xiàn)就“若平面上四點(diǎn)連成四邊形的對(duì)角互補(bǔ)。1. 若不給自己設(shè)限，則人生中就沒有限制你發(fā)揮的藩籬。有時(shí)候覺得自己像個(gè)神經(jīng)病。歲月是有情的，假如你奉獻(xiàn)給她的是一些色彩，它奉獻(xiàn)給你的也是一
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