各種圓定理總結(jié)[包括托勒密定理、塞瓦定理、西姆松定理、梅涅勞斯定理、圓冪定理和四點(diǎn)共圓]-文庫吧
2025-06-01 07:37 本頁面
【正文】 1。（注意與梅涅勞斯定理相區(qū)分，那里是λμν=1） 塞瓦定理推論 △ABD內(nèi)任意一點(diǎn)，AE、BE、DE分別交對邊于C、G、F，則(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1 因?yàn)?BC/CD)*(DG/GA)*(AF/FB)=1，（塞瓦定理）所以 (BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=K（K為未知參數(shù)）且(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=K（K為未知參數(shù)）又由梅涅勞斯定理得：(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=1 所以(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1 AD,BE,CF交于一點(diǎn)的充分必要條件是： (sin∠BAD/sin∠DAC)*(sin∠ACF/sin∠FCB)*(sin∠CBE/sin∠EBA)=1 由正弦定理及三角形面積公式易證 ，對于圓周上順次6點(diǎn)A,B,C,D,E,F，直線AD,BE,CF交于一點(diǎn)的充分必要條件是： (AB/BC)*(CD/DE)*(EF/FA)=1 由塞瓦定理的角元形式，正弦定理及圓弦長與所對圓周角關(guān)系易證。 設(shè)三邊AB、BC、AC的垂足分別為D、E、F，根據(jù)塞瓦定理逆定 理，因?yàn)?AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[(AE*ctgB)]=1，所以三條高CD、AE、BF交于一點(diǎn)。梅涅勞斯定理 梅涅勞斯定理證明梅涅勞斯（Menelaus）定理（簡稱梅氏定理）是由古希臘數(shù)學(xué)家梅涅勞斯首先證明的。它指出：如果一條直線與△ABC的三邊AB、BC、CA或其延長線交于F、D、E點(diǎn)，那么(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1。 或：設(shè)X、Y、Z分別在△ABC的BC、CA、AB所在直線上，則X、Y、Z共線的充要條件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)= 證明一： 過點(diǎn)A作AG∥BC交DF的延長線于G, 則AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG。 三式相乘得：(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=(AG/BD)(BD/DC)(DC/AG)=1 證明二： 過點(diǎn)C作CP∥DF交AB于P，則BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF 所以有AF/FBBD/DCCE/EA=AF/FBFB/PFPF/AF=1 它的逆定理也成立：若有三點(diǎn)F、D、E分別在△ABC的邊AB、BC、CA或其延長線上，且滿足(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1，則F、D、E三點(diǎn)共線。利用這個(gè)逆定理，可以判斷三點(diǎn)共線。 梅涅勞斯(Menelaus)定理證明三： 過ABC三點(diǎn)向三邊引垂線AA39。BB39。CC39。， 所以AD：DB=AA39。：BB39。，BE：EC=BB39。：CC39。，CF：FA=CC39。：AA39。 所以(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1 證明四： 連接BF。 ?。ˋD：DB）（BE：EC）（CF:FA) =（S△ADF：S△BDF）（S△BEF：S△CEF）（S△BCF：S△BAF） =（S△ADF：S△BDF）（S△BDF：S△CDF）（S△CDF：S△ADF） =1 此外，用定比分點(diǎn)定義該定理可使其容易理解和記憶： 在△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線上分別取L、M、N三點(diǎn)，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。于是L、M、N三點(diǎn)共線的充要條件是λμν=1?！? 第一角元形式的梅涅勞斯定理 如圖：若E，F(xiàn)，D三點(diǎn)共線，則 (sin∠ACF/sin∠FCB)(sin∠BAD/sin∠DAC)(sin∠CBA/sin∠ABE)=1 即圖中的藍(lán)角正弦值之積等于紅角正弦值之積 該形式的梅涅勞斯定理也很實(shí)用 第二角元形式的梅涅勞斯定理 在平面上任取一點(diǎn)O，且EDF共線，則（sin∠AOF/sin∠FOB)(sin∠BOD/sin∠DOC)(sin∠COA/sin∠AOE)=1。(O不與點(diǎn)A、B、C重合) 記憶 ABC為三個(gè)頂點(diǎn)，DEF為三個(gè)分點(diǎn) (AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1 ?。?shù)椒?分到頂）*（頂?shù)椒?分到頂）*（頂?shù)椒?分到頂）=1 空間感好的人可以這么記：（上1/下1）*（整/右）*（下2/上2）=1 實(shí)際應(yīng)用 為了說明問題，并給大家一個(gè)深刻印象，我們假定圖中的A、B、C、D、E、F是六個(gè)旅游景點(diǎn)，各景點(diǎn)之間有公路相連。我們乘直升機(jī)飛到這些景點(diǎn)的上空，然后選擇其中的任意一個(gè)景點(diǎn)降落。我們換乘汽車沿公路去每一個(gè)景點(diǎn)游玩，最后回到出發(fā)點(diǎn)，直升機(jī)就停在那里等待我們回去。 我們不必考慮怎樣走路程最短，只要求必須“游歷”了所有的景點(diǎn)。只“路過”而不停留觀賞的景點(diǎn)，不能算是“游歷”。 例如直升機(jī)降落在A點(diǎn)，我們從A點(diǎn)出發(fā)，“游歷”了其它五個(gè)字母所代表的景點(diǎn)后，最終還要回到出發(fā)點(diǎn)A。 另外還有一個(gè)要求，就是同一直線上的三個(gè)景點(diǎn)，必須連續(xù)游過之后，才能變更到其它直線上的景點(diǎn)。 從A點(diǎn)出發(fā)的旅游方案共有四種，下面逐一說明： 方案 ① ——從A經(jīng)過B（不停留）到F（停留），再返回B（停留），再到D（停留），之后經(jīng)過B（不停留）到C（停留），再到E（停留），最后從E經(jīng)過C（不停留）回到出發(fā)點(diǎn)A。 按照這個(gè)方案，可以寫出關(guān)系式： ?。ˋF：FB）*（BD：DC）*（CE：EA）=1。 現(xiàn)在，您知道應(yīng)該怎樣寫“梅涅勞斯定理”的公式了吧。 從A點(diǎn)出發(fā)的旅游方案還有： 方案 ② ——可以簡記為：A→B→F→D→E→C→A，由此可寫出以下公式： ?。ˋB：BF）*（FD：DE）*（EC：CA）=1。從A出發(fā)還可以向“C”方向走，于是有： 方案 ③ —— A→C→E→D→F→B→A，由此可寫出公式： ?。ˋC：CE）*（ED：DF）*（FB：BA）=1。 從A出發(fā)還有最后一個(gè)方案： 方案 ④ —— A→E→C→D→B→F→A，由此寫出公式： ?。ˋE：EC）*（CD：DB）*（BF：FA）=1。 我們的直升機(jī)還可以選擇在B、C、D、E、F任一點(diǎn)降落，因此就有了圖中的另外一些公式。 值得注意的是，有些公式中包含了四項(xiàng)因式，而不是“梅涅勞斯定理”中的三項(xiàng)。當(dāng)直升機(jī)降落在B點(diǎn)時(shí)，就會(huì)有四項(xiàng)因式。而在C點(diǎn)和F點(diǎn)，既會(huì)有三項(xiàng)的公式，也會(huì)有四項(xiàng)的公式。公式為四項(xiàng)時(shí)，有的景點(diǎn)會(huì)游覽了兩次。 不知道梅涅勞斯當(dāng)年是否也是這樣想的，只是列出了一兩個(gè)典型的公式給我們看看。 還
環(huán)評公示相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1