各種圓定理總結(jié)[包括托勒密定理、塞瓦定理、西姆松定理、梅涅勞斯定理、圓冪定理和四點(diǎn)共圓]-閱讀頁
2025-07-01 07:37本頁面
【正文】 相似，所以PA/PD=PC/PB,所以PA*PB=PC*PD 切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng) 幾何語言：∵PT切⊙O于點(diǎn)T，PBA是⊙O的割線 ∴PT^2=PAPC=PAPB為定值（圓冪定理）。由韋達(dá)定理 t1t2=(xO^2+yO^2^2)/(k1^2+k2^2) 于是 PA 圓①也可以寫成 x^2+y^22xOx2yOy+xO^2+yO^2a=0①′ 其中a為圓的半徑的平方。當(dāng)P在圓外時(shí)，這就是自P向圓所引切線（長）的平方。 在上面證明的過程中，我們以P為原點(diǎn)，這樣可以使問題簡化。 以上是圓冪定理的證明，下面看一看它的應(yīng)用． 問題4 自圓外一點(diǎn) 向圓引割線交圓于 、 兩點(diǎn)，又作切線 、 ， 、 為切點(diǎn)， 與 相交于 ，如圖８．求證 、 、 成調(diào)和數(shù)列，即 證：設(shè)圓的方程為 ?、? 點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ， 的參數(shù)方程為 ?、? ?、? 其中 是 的傾斜角， 表示直線上的點(diǎn) 與 的距離． ?、蔻叽擘莸? 即 、 是它的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理 ?、? 另一方面，直線 是圓的切點(diǎn)弦，利用前邊的結(jié)論， 的方程為 ⑦⑧代入得 因此，這個(gè)方程的根 滿足 ?、? 綜合⑧⑨，結(jié)論成立。 說明：問題4的解決借用了問題3的方法，同時(shí)我們也看到了問題4與問題問題2的內(nèi)在聯(lián)系。 1. 問題1 2. 問題2 3. 問題3 4. 問題4 定義 圓冪=PO^2R^2| 所以圓內(nèi)的點(diǎn)的冪為負(fù)數(shù)，圓外的點(diǎn)的冪為正數(shù)，圓上的點(diǎn)的冪為零。 切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)。PB=PC 統(tǒng)一歸納：過任意不在圓上的一點(diǎn)P引兩條直線LL2，L1與圓交于A、B（可重合，即切線），L2與圓交于C、D（可重合），則有PAPD。則PAPD。PD=(POr)這個(gè)值稱為點(diǎn)P到圓O的冪。PB等于圓冪的絕對(duì)值。 證明：連結(jié)AC，BD，由圓周角定理的推論，得∠A=∠D，∠C=∠B。PB=PCPB=PCPD 證明：（令A(yù)在P、B之間，C在P、D之間）因?yàn)锳BCD為圓內(nèi)接四邊形，所以角CAB+角CDB=180度，又角CAB+角PAC=180度，所以角PAC=角CDB，又角APC公共，所以三角形APC與三角形DPB相似，所以PA/PD=PC/PB,所以PA*PB=PC*PD 切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng) 幾何語言：∵PT切⊙O于點(diǎn)T，PBA是⊙O的割線 ∴PT^2=PAPC=PAPB為定值（圓冪定理）。由韋達(dá)定理 t1t2=(xO^2+yO^2^2)/(k1^2+k2^2) 于是 PA 圓①也可以寫成 x^2+y^22xOx2yOy+xO^2+yO^2a=0①′ 其中a為圓的半徑的平方。當(dāng)P在圓外時(shí)，這就是自P向圓所引切線（長）的平方。 在上面證明的過程中，我們以P為原點(diǎn)，這樣可以使問題簡化。 以上是圓冪定理的證明，下面看一看它的應(yīng)用． 問題4 自圓外一點(diǎn) 向圓引割線交圓于 、 兩點(diǎn)，又作切線 、 ， 、 為切點(diǎn)， 與 相交于 ，如圖８．求證 、 、 成調(diào)和數(shù)列，即 證：設(shè)圓的方程為 ?、? 點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ， 的參數(shù)方程為 ⑥ ?、? 其中 是 的傾斜角， 表示直線上的點(diǎn) 與 的距離． ?、蔻叽擘莸? 即 、 是它的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理 ⑧ 另一方面，直線 是圓的切點(diǎn)弦，利用前邊的結(jié)論， 的方程為 ?、撷啻氲? 因此，這個(gè)方程的根 滿足 ?、? 綜合⑧⑨，結(jié)論成立。 說明：問題4的解決借用了問題3的方法，同時(shí)我們也看到了問題4與問題問題2的內(nèi)在聯(lián)系。四點(diǎn)共圓有三個(gè)性質(zhì)： （1）同弧所對(duì)的圓周角相等 （2）圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ) （3）圓內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對(duì)角 以上性質(zhì)可以根據(jù)圓周角等于它所對(duì)弧的度數(shù)的一半進(jìn)行證明。） 方法3 把被證共圓的四點(diǎn)連成四邊形，若能證明其對(duì)角互補(bǔ)或能證明其一個(gè)外角等于其鄰補(bǔ)角的內(nèi)對(duì)角時(shí)，即可肯定這四點(diǎn)共圓． 方法4 把被證共圓的四點(diǎn)兩兩連成相交的兩條線段，若能證明它們各自被交點(diǎn)分成的兩線段之積相等，即可肯定這四點(diǎn)共圓；或把被證共圓的四點(diǎn)兩兩連結(jié)并延長相交的兩線段，若能證明自交點(diǎn)至一線段兩個(gè)端點(diǎn)所成的兩線段之積等于自交點(diǎn)至另一線段兩端點(diǎn)所成的兩線段之積，即可肯定這四點(diǎn)也共圓．(根據(jù)托勒密定理的逆定理) 方法5 證被證共圓的點(diǎn)到某一定點(diǎn)的距離都相等，從而確定它們共圓． 上述五種基本方法中的每一種的根據(jù)，就是產(chǎn)生四點(diǎn)共圓的一種原因，因此當(dāng)要求證四點(diǎn)共圓的問題時(shí)，首先就要根據(jù)命題的條件，并結(jié)合圖形的特點(diǎn)，在這五種基本方法中選擇一種證法，給予證明． 判定與性質(zhì)： 圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角和為π,并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角。 角CBE=角ADE（外角等于內(nèi)對(duì)角） △ABP∽△DCP（三個(gè)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等） AP*CP=BP*DP（相交弦定理） 四點(diǎn)共圓的圖片EB*EA=EC*ED（割線定理） EF*EF= EB*EA=EC*ED（切割線定理） ?。ㄇ懈罹€定理，割線定理，相交弦定理統(tǒng)稱圓冪定理） AB*CD+AD*CB=AC*BD（托勒密定理Ptolemy） 證明四點(diǎn)共圓的原理 四點(diǎn)共圓 證明四點(diǎn)共圓基本方法： 方法1 把被證共圓的四個(gè)點(diǎn)連成共底邊的兩個(gè)三角形，且兩三角形都在這底邊的同側(cè)，若能證明其頂角相等，從而即可肯定這四點(diǎn)共圓． 方法2 把被證共圓的四點(diǎn)連成四邊形，若能證明其對(duì)角互補(bǔ)或能證明其一個(gè)外角等于其鄰補(bǔ)角的內(nèi)對(duì)角時(shí)，即可肯定這四點(diǎn)共圓． 四點(diǎn)共圓的判定是以四點(diǎn)共圓的性質(zhì)的基礎(chǔ)上進(jìn)行證明的。那么這四點(diǎn)共圓） 反證法證明 現(xiàn)就“若平面上四點(diǎn)連成四邊形的對(duì)角互補(bǔ)。類似地可證C不可能在圓內(nèi)。1. 若不給自己設(shè)限，則人生中就沒有限制你發(fā)揮的藩籬。在紛雜的塵世里，為自己留下一片純靜的心靈空間，不管是潮起潮落，也不管是陰晴圓缺，你都可以免去浮躁，義無反顧，勇往直前，輕松自如地走好人生路上的每一步3. 花一些時(shí)間，總會(huì)看清一些事。有時(shí)候覺得自己像個(gè)神經(jīng)病。努力過后，才知道許多事情，堅(jiān)持堅(jiān)持，就過來了。歲月是有情的，假如你奉獻(xiàn)給她的是一些色彩，它奉獻(xiàn)給你的也是一些色彩。只有你自己才能把歲月描畫成一幅難以忘懷的人
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