【正文】 。當(dāng)P在圓外時(shí)，這就是自P向圓所引切線（長(zhǎng)）的平方。類似地可證C不可能在圓內(nèi)。只有你自己才能把歲月描畫成一幅難以忘懷的人生畫卷。 　　角CBE=角ADE（外角等于內(nèi)對(duì)角） 　　△ABP∽△DCP（三個(gè)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等） 　　AP*CP=BP*DP（相交弦定理） 　　 四點(diǎn)共圓的圖片EB*EA=EC*ED（割線定理） 　　EF*EF= EB*EA=EC*ED（切割線定理） 　?。ㄇ懈罹€定理，割線定理，相交弦定理統(tǒng)稱圓冪定理） 　　AB*CD+AD*CB=AC*BD（托勒密定理Ptolemy） 證明四點(diǎn)共圓的原理　　四點(diǎn)共圓 　　證明四點(diǎn)共圓基本方法： 方法1　　把被證共圓的四個(gè)點(diǎn)連成共底邊的兩個(gè)三角形，且兩三角形都在這底邊的同側(cè)，若能證明其頂角相等，從而即可肯定這四點(diǎn)共圓． 方法2　　把被證共圓的四點(diǎn)連成四邊形，若能證明其對(duì)角互補(bǔ)或能證明其一個(gè)外角等于其鄰補(bǔ)角的內(nèi)對(duì)角時(shí)，即可肯定這四點(diǎn)共圓． 　　四點(diǎn)共圓的判定是以四點(diǎn)共圓的性質(zhì)的基礎(chǔ)上進(jìn)行證明的。由韋達(dá)定理 　　t1t2=(xO^2+yO^2^2)/(k1^2+k2^2) 　　于是 　　PA這個(gè)值稱為點(diǎn)P到圓O的冪。 1. 問題1 2. 問題2 3. 問題3 4. 問題4　　 定義　　圓冪=PO^2R^2| 　　所以圓內(nèi)的點(diǎn)的冪為負(fù)數(shù)，圓外的點(diǎn)的冪為正數(shù)，圓上的點(diǎn)的冪為零。PC=PAPD。 　　則O是,確定九點(diǎn)圓的中點(diǎn)三角形XYZ的垂心，而G還是它的重心。那些復(fù)雜的相除相乘的關(guān)系式，不會(huì)再寫錯(cuò)或是記不住吧。只“路過”而不停留觀賞的景點(diǎn)，不能算是“游歷”。CF：FA=CC39。 　　三角形三條中線交于一點(diǎn)（重心）:如圖5 D , E分別為BC , AC 中點(diǎn) 所以BD=DC AE=EC 所以BD/DC=1 CE/EA=1 　　且因?yàn)锳F=BF 所以 AF/FB必等于1 所以AF=FB 所以三角形三條中線交于一點(diǎn) 　　此外，可用定比分點(diǎn)來定義塞瓦定理： 　　在△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線上分別取L、M、N三點(diǎn)，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。CD+AD 　　三、 　　托勒密定理：圓內(nèi)接四邊形中，兩條對(duì)角線的乘積(兩對(duì)角線所包矩形的面積)等于兩組對(duì)邊乘積之和(一組對(duì)邊所包矩形的面積與另一組對(duì)邊所包矩形的面積之和)．已知：圓內(nèi)接四邊形ABCD，求證：AC 　　二、設(shè)ABCD是圓內(nèi)接四邊形。.. . . ..托勒密定理定理圖定理的內(nèi)容 托勒密(Ptolemy)定理指出，圓的內(nèi)接凸四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積。 在弦BC上，圓周角∠BAC = ∠BDC，而在AB上，∠ADB = ∠ACB。BD＝ABBC，當(dāng)且僅當(dāng)ABCD四點(diǎn)共圓時(shí)取等號(hào)。于是AL、BM、CN三線交于一點(diǎn)的充要條件是λμν=1。：AA39。 　　例如直升機(jī)降落在A點(diǎn)，我們從A點(diǎn)出發(fā)，“游歷”了其它五個(gè)字母所代表的景點(diǎn)后，最終還要回到出發(fā)點(diǎn)A。西姆松定理 西姆松定理圖示西姆松定理是一個(gè)幾何定理。 　　那么三角形XYZ的外心 O1， 也在同一直線上，并且 　　HG/GO=GO/GO1=2，所以O(shè)1是OH的中點(diǎn)。若圓半徑為r，則PCPB（切割線定理推論） 問題3　　過點(diǎn)P任作直線交定圓于兩點(diǎn)A、B，證明PA 　　相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等。（事實(shí)上所有的過P點(diǎn)與圓相交的直線都滿足這個(gè)值） 　　若點(diǎn)P在圓內(nèi)，類似可得定值為r^2PO^2=|PO^2r^2| 　　故平面上任意一點(diǎn)對(duì)于圓的冪為這個(gè)點(diǎn)到圓心的距離與圓的半徑的平方差，而過這一點(diǎn)引任意直線交圓于A、B，那么PAPB=√((k1t1)^2+(k2t1)^2)√((k1t2)^2+(k2t2)^2) 　　=(√(k1^2+k2^2))^2|t1||t2| 　　=k1^2+k2^2|(xO^2+yO^2r^2)/(k1^2+k2^2)| 　　=|(xO^2+yO^2r^2)| 　　為定值，證畢。 四點(diǎn)共圓的定理：四點(diǎn)共圓的判定定理：　　方法1 把被證共圓的四個(gè)點(diǎn)連成共底邊的兩個(gè)三角形，且兩三角形都在這底邊的同側(cè)，若能證明其頂角相等，從而即可肯定這四點(diǎn)共圓． 　?。梢哉f成：若線段同側(cè)二點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)連線夾角相等，那末這二點(diǎn)和線段二端點(diǎn)四點(diǎn)共圓） 　　方法2 把被證共圓的四點(diǎn)連成四邊形，若能證明其對(duì)角互補(bǔ)或能證明其一個(gè)外角等于其鄰補(bǔ)角的內(nèi)對(duì)角時(shí)，即可肯定這四點(diǎn)共圓． 　　（可以說成：若平面上四點(diǎn)連成四邊形的對(duì)角互補(bǔ)或一個(gè)外角等于其內(nèi)對(duì)角。學(xué)習(xí)參考。那末這四點(diǎn)共圓”證明如下（其它畫個(gè)證明圖如后） 　　已知：四邊形ABCD中，∠A+∠C=π 　　求證：四邊形ABCD內(nèi)接于一個(gè)圓（A，B，C，D四點(diǎn)共圓） 　　證明：用反證法 　　過A，B，D作圓O，假設(shè)C不在圓O上，剛C在圓外或圓內(nèi)， 　　若C在圓外，設(shè)BC交圓O于C’，連結(jié)DC’，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠A+∠DC’B=π， 　　∵∠A+∠C=π ∴∠DC’B=∠C 　　這與三角形外角定理矛盾，故C不可能在圓外。所說的定值也就是（原點(diǎn)）與圓心O的距離的平方減去半徑的平方。（這就是“圓冪”的由來） 證明　　圓冪定理（相交弦定理、切割線定理及其推論(割線定理)統(tǒng)一歸納為圓冪定理） 問題1　　相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦,被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的乘積相等。 　　割線定理：從圓外一點(diǎn)P引兩條割線與圓分別交于A、B；C、D，則有 PA 　　證：以P為原點(diǎn)，設(shè)圓的方程為 　　(xxO)^2+(yyO)^2=a① 　　過P的直線為 　　x=k1t 　　y=k2t 　　則A、B的橫坐標(biāo)是方程 　　(k1txO)^2+(k2tyO)^2=r^2 　　即 　　(k1^2+k2^2)t^22(k1xO+k2yO)t+xO^2+yO^2r^2=0 　　的兩個(gè)根tt2。(PO+r)=PO^2r^2=|PO^2r^2| （要加絕對(duì)值，原因見下）為定值。兩個(gè)圓的圓心都在OH上，并且兩圓半徑比為1:2 　　所以G是三角形ABC外接圓和三角形XYZ外接圓(九點(diǎn)圓)的反位似中心(相似點(diǎn)在位似中心的兩邊),H 是正位似中心(相似點(diǎn)在位似中心的同一邊)... 所以H到三角形ABC的外接圓上的連線中點(diǎn)必在三角形DEF的外接圓上....