各種圓定理總結[包括托勒密定理、塞瓦定理、西姆松定理、梅涅勞斯定理、圓冪定理和四點共圓]-展示頁
2025-06-25 07:37本頁面
【正文】 FBFB/PFPF/AF=1 它的逆定理也成立：若有三點F、D、E分別在△ABC的邊AB、BC、CA或其延長線上，且滿足(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1，則F、D、E三點共線。它指出：如果一條直線與△ABC的三邊AB、BC、CA或其延長線交于F、D、E點，那么(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1。 設三邊AB、BC、AC的垂足分別為D、E、F，根據(jù)塞瓦定理逆定 理，因為(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[(AE*ctgB)]=1，所以三條高CD、AE、BF交于一點。于是AL、BM、CN三線交于一點的充要條件是λμν=1。 可用塞瓦定理證明的其他定理。 具體內容 塞瓦定理 在△ABC內任取一點O， 直線AO、BO、CO分別交對邊于D、E、F，則 (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 證法簡介 ?。á瘢┍绢}可利用梅涅勞斯定理證明： ∵△ADC被直線BOE所截， ∴ (CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1 ① 而由△ABD被直線COF所截，∴ (BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1② ?、?47。BD塞瓦定理簡介 塞瓦（Giovanni Ceva，1648～1734）意大利水利工程師，數(shù)學家。BC+AB 。CD+BC 簡單的證明：復數(shù)恒等式：(ab)(cd)+(ad)(bc)=(ac)(bd)，兩邊取模， 得不等式ACBC，當且僅當ABCD四點共圓時取等號。BD≤ABCD＋ADBC．即AC①＋②得 AC(BP＋DP)=ABDP=ABBC ①。BC． 證明：如圖1，過C作CP交BD于P，使∠1=∠2，又∠3=∠4，∴△ACD∽△BCP．得AC：BC=AD：BP，ACBD＝AB證畢。CD + BCDA； 但AK+CK = AC，因此ACBD = ABBD = BCBD = AB 因此△ABK與△DBC相似，同理也有△ABD ~ △KBC。 在弦BC上，圓周角∠BAC = ∠BDC，而在AB上，∠ADB = ∠ACB。 平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。 等號成立的條件是(ab)(cd)與(ad)(bc)的輻角相等，這與A、B、C、D四點共圓等價。BC 又因為BE+ED≥BD ?。▋H在四邊形ABCD是某圓的內接四邊形時，等號成立，即“托勒密定理”） 所以命題得證 復數(shù)證明 用a、b、c、d分別表示四邊形頂點A、B、C、D的復數(shù)，則AB、CD、AD、BC、AC、BD的長度分別是：(ab)、(cd)、(ad)、(bc)、(ac)、(bd)。AD (2) (1)+(2),得 AC(BE+ED)=ABCD (1) 而∠BAC=∠DAE，∠ACB=∠ADE 所以△ABC∽△AED相似. BC/ED=AC/AD即ED） 在任意四邊形ABCD中，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD 因為△ABE∽△ACD 所以 BE/CD=AB/AC,即BE 從這個定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理實質上是關于共圓性的基本性質． 定理的提出 一般幾何教科書中的“托勒密定理”，實出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是從他的書中摘出。.. . . ..托勒密定理定理圖定理的內容 托勒密(Ptolemy)定理指出，圓的內接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積。 原文：圓的內接四邊形中，兩對角線所包矩形的面積等于 一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和。證明 一、（以下是推論的證明，托勒密定理可視作特殊情況。AC=ABAC=BCCD+AD 首先注意到復數(shù)恒等式： (a ? b)(c ? d) + (a ? d)(b ? c) = (a ? c)(b ? d) ，兩邊取模，運用三角不等式得。 四點不限于同一平面。 二、設ABCD是圓內接四邊形。 在AC上取一點K，使得∠ABK = ∠CBD； 因為∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD，所以∠CBK = ∠ABD。 因此AK/AB = CD/BD，且CK/BC = DA/BD； 因此AKCD，且CKDA； 兩式相加，得(AK+CK)CD + BCBD = ABDA。 三、 托勒密定理：圓內接四邊形中，兩條對角線的乘積(兩對角線所包矩形的面積)等于兩組對邊乘積之和(一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和)．已知：圓內接四邊形ABCD，求證：ACCD＋ADBP=AD又∠ACB=∠DCP，∠5=∠6，∴△ACB∽△DCP．得AC：CD=AB：DP，ACCD ②。CD＋ADBD=ABBC． 推論 ，必有ACCD+AD ?。阂粋€凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積，則這個凸四邊形內接于一圓、 推廣 托勒密不等式：四邊形的任兩組對邊乘積不小于另外一組對邊的乘積，取等號當且僅當共圓或共線。BD≤|(ab)(cd)|+|(bc)(ad)|=ABAD 注意： (ab)(cd)與(ad)(bc)的輻角相等，這與A、B、C、D四點共圓等價。 歐拉定理：在一條線段上AD上，順次標有B、C兩點，則ADCD=AC塞瓦定理載于塞瓦于1678年發(fā)表的《直線論》一書，也有書中說塞瓦定理是塞瓦重新發(fā)現(xiàn)。①:即得：(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 ?。á颍┮部梢岳妹娣e關系證明 ∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABDS△BOD)/(S△ACDS△COD)=S△AOB/S△AOC ③ 同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤ ③④⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1 利用塞瓦定理證明三角形三條高線必交于一點: 設三邊AB、BC、AC的垂足分別為D、E、F， 根據(jù)塞瓦定理逆定理，因為(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[
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