【文章內(nèi)容簡介】 teth ntn特征根 的形式與 ξ值有關(guān)，分別討論如下： 11 2221 ???????? ???????? nnnn js 、因為：(1). 當(dāng) ξ=0時，特征根是一對虛數(shù)根 s 2=177。 jωn ； (2). 當(dāng) 0ξ1時，特征根是具有負(fù)實部的共軛復(fù)根；(3). 當(dāng) ξ=1時，特征根是兩個相等的負(fù)實數(shù)根 s 2=ωn ； (4). 當(dāng) ξ1時，特征根是兩個不相等的負(fù)實數(shù)根； s 平 面j ωsξ = 0001tc(t) 系統(tǒng)將具有一對 純虛數(shù)極點 ，此時稱系統(tǒng)處于 無阻尼狀態(tài) ，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)將是 等幅振蕩 ，并且將稱為無阻尼自然振蕩角頻率，或簡稱為 無阻尼自然振蕩頻率 。 響應(yīng)的形式與 ξ值的關(guān)系，討論如下： (1). ξ =0（零阻尼） s 2=177。 jωn 0012c(t) t s 平 面j ωs0 ξ 1 系統(tǒng)具有 一對實部為負(fù)的共軛復(fù)數(shù)極點 ，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)是 振幅 隨時間按 指數(shù)函數(shù)規(guī)律衰減 的周期函數(shù)，此時稱系統(tǒng)處于 欠阻尼 狀態(tài) 。 (2). 0 ξ 1 (欠阻尼 ) 221 1 ???? ???? nn js 、001tc(t)s 平 面j ωsξ = 1 系統(tǒng)具有 兩重實極點 ，于是系統(tǒng)階躍響應(yīng)中 沒有周期分量 ，階躍響應(yīng)將隨時間按指數(shù)函數(shù)規(guī)律而單調(diào)衰減。此時稱系統(tǒng)處于 臨界阻尼 情況。 (3). ξ= 1 (臨界阻尼 ) s 2=ωn s 平 面j ωsξ 1001tc(t) 系統(tǒng)具有 不相等的兩個實極點 ，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)還是隨時間 按指數(shù)函數(shù)規(guī)律而單調(diào)衰減 ，只是衰減的快慢主要由靠近虛軸的那個實極點決定。此時稱系統(tǒng)處于 過阻尼 情況。 (4). ξ 1 (過阻尼） 1221 ???? ???? nns 、s 平 面j ωs0 ξ 15tc(t)00tc(t)? 1（右半平面有相異正實根）時系統(tǒng)響應(yīng) ? ? 0 1（右半平面有帶正實根的共軛虛根）時系統(tǒng)響應(yīng) ?s 平 面j ωsξ 1 分別研究欠阻尼、臨界阻尼、過阻尼二階系統(tǒng)的單位階 躍響應(yīng)： (1)、欠阻尼 (0ξ1)二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) σ：衰減系數(shù)； ωd：為阻尼振蕩頻率。 對于單位階躍輸入， C(s)可以寫成 221 1 ???? ???? nn js 、則有若令 21 , ?????? ??? ndn djs ?? ???21 、2222222)()(1 ])[()()()(dnndnndnnsssssssRssC????????????????????????????暫態(tài)振蕩頻率為阻尼振蕩頻率 ，它是隨阻尼比 而變化的。 d? ?取 拉氏反變換，求單位階躍響應(yīng)： 0 ),s i n (11)(2??????tteth dtn?????,1ar c tan 2??? ??其中 21 ??? ?? nd的單位階躍響應(yīng)為：，則二階系統(tǒng)無阻尼時若 0 ??0 ,c o s1)( ??? ttth n? 這是一條平均值為 1的正、余弦形式等幅振蕩，其振蕩頻率為 ωn由系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)確定，故稱為 無阻尼振蕩頻率 。 (2)、 臨界阻尼 (ξ=1)二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 如果 C(s)/R(s)的 兩個極點接近相等 ，則系統(tǒng)可近似看作臨界阻尼系統(tǒng)。對于單位階躍輸入量， R(s)=1/s，因而 C(s)可表示為： sssH nn22)()( ???? 2)(11nnn sss ??? ?????其拉氏反變換為： 0 ),1(1)( ???? tteth ntn ??當(dāng) ξ=1時，二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是 穩(wěn)態(tài)值為 1的 tnntedttdh ?? ?? 2)(無超調(diào)單調(diào)上升過程， (3)、過阻尼 (ξ1 )二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 這種情況下， C(s)/R(s)的 兩個極點是兩個不等的負(fù)實數(shù) 。對于單位階躍輸入量， R(s)=1/s，因此 C(s)可以寫成 其拉氏反變換為： )/1)(/1()1)(1()()()(212222TsTsssssssRsCnnnnnn??????????????????????常數(shù)。過阻尼二階系統(tǒng)的時間—)1(1,)1(12221 ?????? ??????nnTT0 ,1/1/1)(21/12/ 21????????tTT eTT ethTtTt(317) ? 系統(tǒng)的響應(yīng) h(t)包含著兩個衰減的指數(shù)項。當(dāng) ξ 遠大于 1時 ，在兩個衰減的指數(shù)項中，一個比另一個衰減的要快得多，因此衰減得比較快的指數(shù)項（相應(yīng)于較小時間常數(shù)的指數(shù)項），就可以忽略不計。 0 ,1/1/1)(21/12/ 21????????tTT eTT ethTtTt0 200 400 600 800 1000 1200 140000 . 20 . 40 . 60 . 811 . 21 . 41 . 61 . 82ξ=0 二 階 系 統(tǒng) 單 位 階 躍 響 應(yīng) 曲 線 由圖：臨界阻尼響應(yīng)具有最短的上升時間，響應(yīng)速度最快； 在欠阻尼 (0ξ1)響應(yīng)曲線中，阻尼比越小，超調(diào)量越大，上升時間最短，通常 取 ξ=~，此時超調(diào)量適度，調(diào)節(jié)時間較短 ；若二階系統(tǒng)具有 相同的 ξ和不同的 ωn，則其振蕩特性相同但響應(yīng)速度不同， ωn越大，響應(yīng)速度越快 。 3－ 3 二階系統(tǒng)的時域分析 ? 1. 二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 ? 2. 二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) ? 3. 欠阻尼二階系統(tǒng)的動態(tài)過程分析 ? 4. 過阻尼二階系統(tǒng)的動態(tài)過程分析 ? 5. 二階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng) ? 6. 二階系統(tǒng)性能的改善 ? 7. 非零初始條件下二階系統(tǒng)的響應(yīng)過程 當(dāng)系統(tǒng)為欠阻尼情況下，即 0 1時，二階系統(tǒng)階躍響應(yīng)的上升時間 tr、峰值時間 tp、最大超調(diào)量 的計算公式： ?p?上升時間 tr )1(t a n11212 ?????????nrtdn ????????????????2211)1(t a n峰值時間 tp npt ??? 21 ??由上式可見，如欲減小 tr ，當(dāng) 一定時，需增大 ，反之，若 一定時，則需減小 。 ??n? n?3. 欠阻尼二階系統(tǒng)的動態(tài)過程分析 s1 21 ?? ?nn???j +1 β s2 0 n?n??? ?圖 311 欠阻尼二階系統(tǒng)的特征參量 33二階系統(tǒng)的時域分析－－單位階躍響應(yīng) 最大超調(diào)量σ p 1)( ?? pp tc? )s i n1( c o s 2 ?????? ???? ? pn te ??? )1/( 2??? e調(diào)整時間 ts 當(dāng) 0ξ )/(3 nst ???當(dāng)采用 2%允許誤差時 當(dāng)采用 5%允許誤差時 2 ??? ? ??? sn te