[理學]第4講連續(xù)系統(tǒng)的時域分析(編輯修改稿)
2024-11-15 00:54 本頁面
【文章內容簡介】 代入微分方程可得 P1e–2t = e–2t 所以 P1= 1 但 P0不能求得 。 特解為 yp(t) = (t + P0)e–2t ■ 第 13 頁 全解 為 y(t)= C1e–2t + C2e–3t + te–2t + P0e–2t = (C1+P0)e–2t +C2e–3t + te–2t 將初始條件代入 ， 得 y(0) = (C1+P0) + C2=1 ， y39。(0)= –2(C1+P0) –3C2+1=0 解得 C1 + P0 = 2 ,C2= –1 最后得微分方程的全解為 y(t) = 2e–2t – e–3t + te–2t , t≥0 上式第一項的系數 C1+P0= 2，不能區(qū)分 C1和 P0，因而也不能區(qū)分自由響應和強迫響應。 第 14 頁 ■ ▲ 二 、 關于 0和 0+初始值 若輸入 f(t)是在 t=0時接入系統(tǒng)，則確定待定系數 Ci時用 t = 0+時刻的 初始值 ，即 y(j)(0+) (j=0,1,2,,n1)。 而 y(j)(0+)包含了輸入信號的作用，不便于描述系統(tǒng)的歷史信息。 在 t=0時，激勵尚未接入，該時刻的值 y(j)(0)反映了 系統(tǒng)的歷史情況 而與激勵無關。稱這些值為 初始狀態(tài) 或 起始值 。 通常，需要從已知的初始狀態(tài) y(j)(0)設法求得 y(j)(0+)。 例 1 例 2 ?當微分方程右端含有沖激函數時，響應 y(t)及其各階導數中，有些在 t=0處將發(fā)生躍變。否則不會躍變 。 第 15 頁 ■ 0和 0+初始值 舉例 1 例 1： 描述某系統(tǒng)的微分方程為 y(t) + 3y39。(t) + 2y(t) = 2f 39。(t) + 6f(t) 已知 y(0)=2， y39。(0)= 0， f(t)=ε(t)，求 y(0+)和 y39。(0+)。 解 ： 將輸入 f(t)=ε(t)代入上述微分方程得 y(t) + 3y39。(t) + 2y(t) = 2δ(t) + 6ε(t) （ 1） 利用系數匹配法 分析：上式對于 t=0也成立，在 0t0+區(qū)間等號兩端 δ(t)項的系數應相等。 由于等號右端為 2δ(t)，故 y(t)應包含沖激函數，從而y39。(t)在 t= 0處將發(fā)生躍變，即 y39。(0+)≠y39。(0)。 但 y39。(t)不含沖激函數，否則 y(t)將含有 δ39。(t)項。由于y39。(t)中不含 δ(t)，故 y(t)在 t=0處是連續(xù)的。 故 y(0+) = y(0) = 2 ■ 第 16 頁 對式 (1)兩端積分有 ????? ?????????? ??????? 0000000000 d)ε(6d)δ(2d)(2d)(3d)( ttttttyttytty由于積分在無窮小區(qū)間 [0–， 0+]進行的
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