【文章內(nèi)容簡介】 2（ 3）求 g(k) 根據(jù)階躍響應的定義，它應滿足方程 ( ) ( 1 ) 2 ( 2 ) ( )( 1 ) ( 2 ) 0g k g k g k kgg?? ? ? ? ? ??? ? ? ??初 始 條 件 ：由 迭代 得： (0 ) ( 1 ) 2 ( 2 ) (0 ) 1( 1 ) (0 ) ( 1 ) ( 1 ) 2g g gg g g h??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ??容易求得其特解為： 1( ) 02pg k k? ? ?，于是，得： 解法 I 信號與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心 第 332頁 ■ 電子教案 單位序列和單位序列響應 代入初始值得： 121( 0 ) 12g C C? ? ? ?1214,63CC??于是，系統(tǒng)的 階躍響應 14( ) ( 1 ) ( 2 ) 063kkg k k? ? ? ? ?1 ，2由上式可解得： 121( 1 ) 2 22g C C? ? ? ? ?信號與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心 第 333頁 ■ 電子教案 單位序列和單位序列響應 1 1 2 1 4( ) [ 1 ( 1 ) ] [ 2 ( 2 ) 1 ] ( 1 ) ( 2 ) 03 2 3 6 3k k k kg k k? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 ，2考慮到 k≥0， 得： 解法 II 12( ) ( 1 ) ( 2 ) 033kkh k k? ? ? ?，0012( ) ( ) ( 1 ) ( 2 )33k k kiii i ig k h i? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?101 ( 1 ) 1( 1 ) [ 1 ( 1 ) ]1 ( 1 ) 2kkiki????? ? ? ? ????101 ( 2 )( 2 ) 2 ( 2 ) 112kkiki???? ? ???由級數(shù) 求和公式 得： 信號與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心 第 334頁 ■ 電子教案 卷積和 卷積和 一、卷積和 1 .序列的時域分解 …… …0 1 2 i k1f ( k )f ( 1 )f ( 0 )f ( 1 )f ( 2 )f( i )任意離散序列 f(k) 可表示為 ???????iikif )()( ?( ) ( 2 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 0 ) ( )( 1 ) ( 1 ) ( ) ( )f k f k f k f kf k f i k i? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?信號與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心 第 335頁 ■ 電子教案 卷積和 2 .任意 序列作用下的零狀態(tài)響應 L T I 系統(tǒng)零狀態(tài)yf (k) f (k) 根據(jù) h(k)的定義： δ(k) h(k) 由時不變性： δ(k i) h(k i) f (i)δ(k i) 由齊次性： f (i) h(ki) 由疊加性： ‖ f (k) ‖ yf (k) 卷積和 ??????iikif )()( ? ??????iikhif )()(???????if ikhifky )()()(信號與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心 第 336頁 ■ 電子教案 卷積和 3 .卷積和的定義 已知定義在區(qū)間（ – ∞， ∞）上的兩個函數(shù) f1(k)和f2(k)，則定義和 為 f1(k)與 f2(k)的 卷積和 ，簡稱 卷積 ；記為 f(k)= f1(k)*f2(k) 注意 ：求和是在虛設的變量 i 下進行的， i 為求和變量， k 為參變量。結(jié)果仍為 k 的函數(shù)。 ???????iikfifkf )()()( 21)(*)()()()( khkfikhifkyif ??? ?????信號與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心 第 337頁 ■ 電子教案 卷積和 若有兩個序列 f1(k)與 f2(k)，如果序列 f1(k)是因果序列，即有 f1(k)=0,k0,則卷積和可改寫為： 120( ) ( ) ( )if k f i f k i????? 若有兩個序列 f1(k)與 f2(k)，如果序列 f2(k)是因果序列，即有 f2(k)=0,k0,則卷積和可改寫為： 12( ) ( ) ( )kif k f i f k i? ? ???? 如果序列 f1(k)與 f2(k)均為因果序列，即若 f1(k)=f2(k)=0, k0, 則卷積和可寫為： 120( ) ( ) ( )kif k f i f k i????信號與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心 第 338頁 ■ 電子教案 卷積和 例 1： f (k) = a kε(k), h(k) = b kε(k) ， 求 yf (k)。 解 ： yf (k) = f (k) * h(k) 當 i 0,ε(i) = 0；當 i k時， ε(k i) = 0 ?? ?????????????iikiiikbiaikhif )()()()( ??1001( ) ,( ) ( ) ( )1( 1 ) ( ) ,kikkki k i kfiikaba b k a by k a b k b k abbb k k a b????????? ???? ?????? ????? ?? ? ??? ?????????? ???????????這種卷積和的計算方法稱為 解析法。 信號與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心 第 339頁 ■ 電子教案 )()1(1)()()(*)(0kkikikkkii?????????????????)(*)( kk ??例 2：求 )4(*)( ?kka k ??例 3：求 卷積和 403( ) * ( 4 ) ( ) * ( 4 ) ( ) ( 4 )1( 4 ) , 11( 3 ) ( 4 ) , 1kk i iiika k k a i k i a kakaak k a? ? ? ? ?????? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ????? ??? ? ? ????信號與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心 第 340頁 ■ 電子教案 )7()6(1)4()3()4(*)3(43??????????????????kkikikkkii?????)4(*)3( ?? kk ??例 4： 求 卷積和 0( 0 .5 ) ( ) * 1 ( 0 .5 ) ( ) 11( 0 .5 ) 2 ,1 0 .5kiiiikik???? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ????(0 . 5 ) ( ) * 1 ,k kk? ? ? ? ? ?例 5： 求 信號與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心 第 341頁 ■ 電子教案 卷積和 二、卷積的圖解法 卷積過程可分解為 五步 ： （ 1） 換元 ： k換為 i→得 f1(i)， f2(i)； （ 2） 反轉(zhuǎn) ： 將 f2(i)以縱坐標為軸線反轉(zhuǎn)，成為 f2(–i)； （ 3） 平移 ：將 f2(–i)沿 i軸正方向平移 k 個單位 → f2(k – i)。 （ 4） 乘積 ： f1(i) f2(k – i) 。 （ 5） 求和 ： i 從 –∞到 ∞對乘積項求和。 注意 ： k 為參變量。 下面舉例說明。 ???????iikfifkf )()()( 21信號與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心 第 342頁 ■ 電子教案 卷積和 例 1： f1(k)、 f2(k)如圖所示，已知 f(k) = f1(k)* f2(k)，求 f(2) =？ 解 ： （ 1）換元 （ 2） f2(i)反轉(zhuǎn)得 f2(– i) （ 3） f2(–i)右移 2得 f2(2–i) （ 4） f1(i)乘 f2(2–i) （ 5）求和，得 f(2) = ???????iififf )2()()2( 210 1 2k 1f 1 ( k )1 . 511 . 521f 2 ( k )0 1 2 33 2 2 1kiiiif2(–i ) f2(2–i) 0 1 2i1f 1 ( i ) f 2 ( k i )11 . 523信號與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心 第 343頁 ■ 電子教案 卷積和 )(*)( 21 kfkf:)(),(),( 221 ififif ?解 ： （ 1）換元，反轉(zhuǎn)，得 1 2 312 012)(1 ifi1 2 312 012i)(2 if123 1 2012i)(2 ifk1 2 312 012)(1 kfk1 2 312 012)(2 kf例 2 求 信號與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心 第 344頁 ■ 電子教案 012ikk1)(2 ikf ?)()(),( 212 ikfifikf ??（ 2） 平移，求 012i1 1)()( 21 ikfif ?k = 1 12i)()( 21 ikfif ?k = 0 012i1 1)()( 21 ikfif ?k = 2 012i1 1)()( 21 ikfif ?k = 1 卷積和 信號與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心 第 345頁 ■ 電子教案 )()()(*)( 2121 ikfifkfkfi?? ???????????????????????????????????????????????????30211,3)1()(0,3)0()(1,1)1()(2,0212121kkkififkififkififkiii:)(*)( 21 kfkf（ 3）求 卷積和 信號與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心 第 346頁 ■ 電子教案 卷積和 三、不進位乘法求卷積 f(k)=所有兩序列序號之和為 k 的那些樣本乘積之和 。 如 k=2時 f(2)= …+ f1(1)f2(3) + f1(0)f2(2) + f1(1)f2(1)+ f1(2)f2(0) + … 例 1 f1(k) ={0， f1(1) ， f1(2) ， f1(3)， 0} f2(k) ={0， f2(0) ， f2(1)， 0} ???????iikfifkf )()()( 211 2 1 2 1 21 2 1 2( 1 ) ( 1 ) (0 ) ( ) ( 1 ) ( 1 )( 2 ) ( 2 ) ( ) ( )f f k f f k f f kf f k f i f k i? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?信號與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心 第 347頁 ■ 電子教案 卷積和 f1(1) ， f1(2) ， f1(3) f2(0) ， f2(1) —————————————————— f1(1) f2(0) ， f1(2) f2(0) ， f1(3) f2(0) f1(1)f2(1) ， f1(2) f2(1) ， f1(3)