【文章內(nèi)容簡介】 y nnn???? ? ? ? ? ?? ? ???? ≥第 4章 離散時間系統(tǒng)的時域分析 信號與系統(tǒng) 特征根 1 2 3 4(1 ) j j 1y C C C C? ? ? ? ?1 2 3 4( 2 ) 2 0y C C C C? ? ? ? ? ?1 2 3 4( 3 ) 3 j j 1y C C C C? ? ? ? ?1 2 3 4( 5 ) 5 j j 1y C C C C? ? ? ? ? (A) (B) (C) (D) ? 方法二： j j2j e e ???? j j2j e e ??? ?? ? ?12( ) c o s s i n22nny n C C n A B??? ? ? ?12( 1 ) 1y C C B? ? ? ?12( 2 ) 2 0y C C A? ? ? ?12( 3 ) 3 1y C C B? ? ? ?12( 5 ) 5 1y C C B? ? ? ?D?由式 ( )－ 式 ( )得 A? 240C ? 2 0C ?由式 ( D? )－式 ( C? )得 20B? 0B?分別代入式 ( A? )、式 ( B? )，解出 1 1C ? 1A? ，則 ( ) 1 c o s 2nyn ??? 1n≥第 4章 離散時間系統(tǒng)的時域分析 信號與系統(tǒng) (A) (B) (C) (D) 由此例可見， N階差分方程的 N個邊界條件可以不按順序給出。 第 4章 離散時間系統(tǒng)的時域分析 信號與系統(tǒng) 離散時間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) 與連續(xù)時間系統(tǒng)相似，用時域法求離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，必須知道離散系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng) h(n)。通常既可用迭代法求單位脈沖響應(yīng)，也可以用轉(zhuǎn)移算子法求單位脈沖響應(yīng)。由于迭代法的局限性，我們重點討論由轉(zhuǎn)移算子法求單位脈沖響應(yīng)，為此先討論離散系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移 (傳輸 )算子。 1. 離散系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移 (傳輸 )算子 類似連續(xù)時間系統(tǒng)的微分算子，離散系統(tǒng)也可用移序 (離散 )算子表示。由此可得到差分方程的移序算子方程，由算子方程的基本形式可得出對應(yīng)的轉(zhuǎn)移算子 H(E)。 移序 (離散 )算子定義： (1) 超前算子 E ( 1 ) ( )f n E f n??( ) ( )mf n m E f n?? (423) 1E(425) 第 4章 離散時間系統(tǒng)的時域分析 信號與系統(tǒng) (2) 滯后算子 1( 1 ) ( )f n f nE??1( ) ( )mf n m f nE??2[ ( ) ] ( 1 )[ ( ) ] ( 2 )[ ( ) ] ( )NE y n y nE y n y nE y n y n N??????M21[ ( ) ] ( 1 )1[ ( ) ] ( 2 )1[ ( ) ] ( )Ny n y nEy n y nEy n y n NE??????M(424) 于是有 或 N階前向差分方程的一般形式為 1 1 01 1 0( ) ( 1 ) ( 1 ) ( )( ) ( 1 ) ( 1 ) ( )NMMy n N a y n N a y n a y nb x n M b x n M b x n b x n??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?L L11 1 011 1 0( ) ( )( ) ( )NNNMMMME a E a E a y nb E b E b E b x n????? ? ? ?? ? ? ? ?LL可以改寫為 11 1 011 1 0( ) ( )MMMMNNNb E b E b E by n x nE a E a E a????? ? ? ??? ? ? ?LL定義轉(zhuǎn)移 (傳輸 )算子 11 1 011 1 0()()()MMMMNNNb E b E b E b NEHEE a E a E a D E????? ? ? ???? ? ? ?LL 與連續(xù)時間系統(tǒng)相同， H(E) 的分子、分母算子多項式表示運算關(guān)系，不是簡單的代數(shù)關(guān)系，不可隨便約去。與連續(xù)時間系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移 (傳輸 )算子不同， H(E)表示的系統(tǒng)既可以是因果系統(tǒng)，也可以是非因果系統(tǒng)。如圖 H(E)=E的簡單非因果系統(tǒng)。 從時間關(guān)系看，該系統(tǒng)的響應(yīng)出現(xiàn)在激勵前，所以是非因果系統(tǒng)。 第 4章 離散時間系統(tǒng)的時域分析 信號與系統(tǒng) 用算子表示為 圖 簡單非因果離散時間系統(tǒng) 第 4章 離散時間系統(tǒng)的時域分析 信號與系統(tǒng) 2. 單位樣值響應(yīng) ()t? ()ht()n?()hn在連續(xù)線性系統(tǒng)中，研究了單位沖激 作用于系統(tǒng)引起響應(yīng) ，對于離散線性系統(tǒng)，由 也可稱為單位脈沖響應(yīng)，記為 方法 ，下面介紹兩種常用方法。 產(chǎn)生的系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)定義為單位樣值響應(yīng)， 。有幾種可求系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)的 (1) 迭代法 下面由具體例題介紹用迭代法求單位樣值響應(yīng)的方法。 ?【 例 410】 已知某系統(tǒng)的差分方程為 1( ) ( 1 ) ( )2y n y n x n? ? ?利用迭代法求 ()hn 。 解：當(dāng) ( ) ( )x n n?? 時， ( ) ( )y n h n? ，且因果系統(tǒng)的 ( 1) 0h ?? ，所以有 21( ) ( 1 ) ( )21( 0 ) ( 1 ) ( ) 1211( 1 ) ( 0 )2211( 2 ) ( 1 )22h n h n nh h nhhhh??? ? ?? ? ? ??????? ????M一般項： 1( ) ( )2nh n u n??? ????第 4章 離散時間系統(tǒng)的時域分析 信號與系統(tǒng) ?當(dāng)系統(tǒng)的階數(shù)較高時，用迭代法不容易得到 h(n)的一般項表示式，可以把 ()n?等效為起始條件，將問題轉(zhuǎn)化為求解齊次方程 (零輸入 )的解。這種方法稱為轉(zhuǎn)移 (傳輸 )算子法。 N階系統(tǒng)的傳輸算子為 11 1 011 1 0()()()MMMMNNNb E b E b E b NEHEE a E a E a D E????? ? ? ???? ? ? ?LL設(shè) H(E)的分母多項式 D(E)均為單根，即 11 1 012()( )( ) ( )NNNND E E a E a E aE E E? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ?LL將 H(E)部分分式展開，有 第 4章 離散時間系統(tǒng)的時域分析 信號與系統(tǒng) (2) 轉(zhuǎn)移算子法 已知 12112121()( ) ( ) ( ) ( )NNiiNiNNiiAAAAHEE E E EH E H E H E H E? ? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ???LL(428) 11( ) ( ) ( ) ( ) ( )NNi iii iAh n H E n n h nE?? ???? ? ???? (429) 式 (429)中任一子系統(tǒng)的傳輸算子為 () iiiAHEE ?? ?(430) 由此得到任一子系統(tǒng)差分方程，并對其中任一子系統(tǒng)的傳輸算子求 ()ihn( 1 ) ( ) ( )i i i ih n h n A n??? ? ? (432) (431) 將式 (432)的激勵等效為初始條件，把問題轉(zhuǎn)化為求解齊次方程 (零輸入 )的解。由于因果系統(tǒng)的 ( 1) 0ih ??，令 1n ??，代入式 (432)，得 ( 0 ) ( 1 ) ( 1 ) 0i i i ih h A??? ? ? ? ?第 4章 離散時間系統(tǒng)的時域分析 信號與系統(tǒng) 則 ( ) ( )iiiAh n nE ??? ?(0) 0h ?再令 0n? ，代入式 (432)得 ( 1 ) ( 0 ) ( ) 1i i i ih h A n??? ? ?解出 (1)iihA?，即為等效的初始條件。 因為齊次方程解的形式為 () niih n C ??，代入等效邊界條件 (1 )i i ih C A??? ，解出 iiAC??，由此得出 ()ihn的一般形式為 11( ) 1( 1 )ni i iniih n A nA u n???????≥(433) 代入式 (429)， ()hn的一般形式為 11( ) ( 1 )N niiih n A u n? ?????(434) 第 4章 離散時間系統(tǒng)的時域分析 信號與系統(tǒng) 解出 若將 第 4章 離散時間系統(tǒng)的時域分析 ()HE12112121()( ) ( ) ( ) ( )NNiiNiNNiiA E A EA E A EHEE E E EH E H E H E H E? ? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ???LL( ) 1iiiiiiAEH E AEE?????? ? ????? ??展開為 (435) (436) (434)代入上式，得 將式 1( ) [ ( ) ( 1 ) ] ( )nni i i i i ih n A n u n A u n? ? ? ??? ? ? ?信號與系統(tǒng) 則對應(yīng)的 ()ihn為 ( ) 1 ( ) ( ) ( )iii i i iiih n A n A n A nEE??? ? ?????? ? ? ??? ????()hn的一般形式為 1( ) ( )N niiih n A u n??? ?( ) 5 ( 1 ) 6 ( 2 ) ( ) 3 ( 2 )y n y n y n x n x n? ? ? ? ? ? ?()hn (437) 求系統(tǒng)的脈沖響應(yīng) 。 【 例 411】 已知某系統(tǒng)的差分方程為 解：方程同時移序 2個位序 22( 5 6 ) ( ) ( 3 ) ( )E E y n E x n? ? ? ?2223 3 5 9( ) 15 6 ( 2) ( 3 ) ( 2) ( 3 )16123E E EHEE E E E E EEE? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ???111( ) ( ) 2 ( 1 ) 6 3 ( 1 )( ) ( 2 3 2 ) ( 1 )nnnnh n n u n u nn u n?????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 對應(yīng)不同的轉(zhuǎn)移算子，有不同的 h(n) 序列與之對應(yīng)，見表 42。 第 4章 離散時間系統(tǒng)的時域分析 信號與系統(tǒng) 代入式 (429)， 注： jeAr ??( j )e T??? ??第 4章 離散時間系統(tǒng)的時域分析 信號與系統(tǒng) 表 42 對應(yīng)的 ()HE ()hnA ()An?1E ??1 ( 1)n un? ? ?1e TE ??( 1 )e ( 1)nTun? ? ?EE ??()nun?2()EE ??1 ()nn u n? ?()nEE ?? 11 ( 1 ) ( 2 ) ( 2 ) ( )! nkn n n n k u nn ? ??? ? ? ?L**1EAAEE?????2 e c o s ( ) ( )nTr n T u n? ???已知任意離散信號可表示為