【文章內(nèi)容簡介】 =12， AC= ． ∵ BC=13， 第 21 頁（共 72 頁） ∴ AC=BC． ∵ CE⊥ AB， AB=10， ∴ AE=BE= AB= ． 在 Rt△ CAE 中， CE= ． ∴ S 四邊形 ABCD=S△ DAC+S△ ABC= ． 四、解答題：（本題共 10 分，第 22 題 5 分，第 23 題 5 分） 22．閱讀下列材料： 北京市為了緊抓疏解非首都功能這個 “牛鼻子 ”，遷市場、移企業(yè)，人隨業(yè)走．東城、西城、海淀、豐臺 …人口開始出現(xiàn)負增長，城六區(qū)人口 2022 年由升轉降． 而現(xiàn)在，海淀區(qū)許多地區(qū)人口都開始下降．統(tǒng)計數(shù)字顯示： 2022 年該區(qū)常住外來人口約為 150 萬人，同比下降 %，減少 萬人，首次實現(xiàn)了負增長． 和海淀一樣，豐臺也在 2022 年首次實現(xiàn)了常住外來人口負增長，同比下降 %，減少 萬人； 東、西城，常住外來人口同樣呈下降趨勢： 2022 年東城同比下降 %，減少 5000人，西城則同比下降 %，減少 萬人； 石景山，常住外來人口近年來增速放緩，預計到 2022 年年底，全區(qū)常住外來人口可降至 萬，比 2022 年減少 萬人，首次出現(xiàn)負增長； … 2022 年初，市發(fā)改委透露， 2022 年本市將確保完成人口調(diào) 控目標﹣﹣城六區(qū)常住人口較 2022 年下降 3%，迎來人口由升轉降的拐點． 人口下降背后，是本市緊鑼密鼓疏解非首都功能的大戰(zhàn)略． 根據(jù)以上材料解答下列問題： 第 22 頁（共 72 頁） （ 1）石景山區(qū) 2022 年常住外來人口約為 萬人； （ 2） 2022 年東城、西城、海淀、豐臺四個城區(qū)常住外來人口同比下降率最高的是 西城 區(qū)；根據(jù)材料中的信息估計 2022 年這四個城區(qū)常住外來人口數(shù)最多的是 海淀 區(qū)； （ 3）如果 2022 年海淀區(qū)常住外來人口降到 萬人，求從 2022 年至 2022 年平均每年外來人口的下降率． 【考點】 一元二次方程的應用；用樣本估計總體． 【分析】 （ 1）由 2022 年全區(qū)常住外來人口 萬，比 2022 年減少 萬人，列式為 +=； （ 2）依次把四個區(qū)人口的同比下降率作比較即可得出同比下降率最高的是西城區(qū)，再計算四個城區(qū) 2022 年的人口數(shù)進行比較； （ 3）設海淀平均每年常住外來人口的下降率為 x，原數(shù)為 150 萬人，后來數(shù)為 萬人，下降了兩年，根據(jù)降低率公式列方程解出即可． 【解答】 解：（ 1） +=， 故答案為： ， （ 2）因為海淀區(qū)同比下降 %，豐 臺同比下降 %，東城同比下降 %，西城則同比下降 %， 所以同比下降率最高的是西城， 2022 年這四個城區(qū)常住外來人口數(shù)：海淀區(qū)：約為 150 萬人， 豐臺： 104247。 %﹣ 12022≈ 845142≈ 85（萬人）， 東城： 5000247。 24%﹣ 5000≈ 15833≈ （萬人）， 西城： 18000247。 %﹣ 18000≈ 309272≈ 31（萬人）， 則常住外來人口數(shù)最多的是海淀區(qū)； 故答案為：西城，海淀； （ 3）解：設海淀平均每年常住外來人口的下降率為 x． 由題意，得 150（ 1﹣ x） 2=． 解得， x1==10%， x2=．（不合題意，舍去） 答：海淀平均每年常住外來人口的下降率為 10%． 第 23 頁（共 72 頁） 23．如圖，四邊形 ABCD 是矩形，點 E 在 CD 邊上，點 F 在 DC 延長線上， AE=BF． （ 1）求證：四邊形 ABFE 是平行四邊形； （ 2）若 ∠ BEF=∠ DAE， AE=3， BE=4，求 EF 的長． 【考點】 矩形的性質(zhì)；平行四邊形的判定與性質(zhì)． 【分析】 （ 1）欲證明四邊形 ABFE 是平行四邊形，只要證明 AE∥ BF， EF∥ AB 即可． （ 2）先證明 △ AEB 是直角三角形，再根據(jù)勾股定理計算即可． 【解答】 （ 1）證明： ∵ 四邊形 ABCD 是矩形， ∴ AD=BC， ∠ D=∠ BCD=90176。． ∴∠ BCF=180176。﹣ ∠ BCD=180176。﹣ 90176。=90176。． ∴∠ D=∠ BCF．在 Rt△ ADE 和 Rt△ BCF 中， ∴ Rt△ ADE≌ Rt△ BCF． ∴∠ 1=∠ F． ∴ AE∥ BF． ∵ AE=BF， ∴ 四邊形 ABFE 是平行四邊形． （ 2）解： ∵∠ D=90176。， ∴∠ DAE+∠ 1=90176。． ∵∠ BEF=∠ DAE， ∴∠ BEF+∠ 1=90176。． ∵∠ BEF+∠ 1+∠ AEB=180176。， ∴∠ AEB=90176。． 在 Rt△ ABE 中， AE=3， BE=4， AB= ． 第 24 頁（共 72 頁） ∵ 四邊形 ABFE 是平行四邊形， ∴ EF=AB=5． 五、解答題：（本題共 20 分，第 24 題 6 分，第 2526 題每小題 6 分） 24．如圖 1，將邊長為 1 的正方形 ABCD 壓扁為邊長為 1 的菱形 ABCD．在菱形ABCD 中， ∠ A 的大小為 α，面積記為 S． （ 1）請補全表： α 30176。 45176。 60176。 90176。 120176。 135176。 150176。 S 1 （ 2）填空： 由（ 1）可以發(fā)現(xiàn)單位正方形在壓扁的過程中，菱形的面積隨著 ∠ A 大小的變化而變化，不妨把單位菱形的面積 S 記為 S（ α）．例如：當 α=30176。時， S=S（ 30176。）= ；當 α=135176。時， S=S= ．由上表可以得到 S（ 60176。） =S（ 120 176。）； S=S（ 30 176。）， …，由此可以歸納出 S=（ α 176。）． （ 3）兩塊相同的等腰直角三角板按圖 2 的方式放置， AD= ， ∠ AOB=α，試探究圖中兩個帶陰影的三角形面積是否相等，并說明理由（注：可以利用（ 2）中的結論）． 【考點】 四邊形綜合題． 【分析】 （ 1）過 D 作 DE⊥ AB 于點 E，當 α=45176。時，可求得 DE，從而可求得菱形的面積 S，同理可求當 α=60176。時 S 的值，當 α=120176。時，過 D 作 DF⊥ AB 交 BA 的延長線于點 F，則可求得 DF，可求得 S 的值，同理當 α=135176。時 S 的值； （ 2）根據(jù)表中所計算出的 S 的值，可得出答案； 第 25 頁（共 72 頁） （ 3）將 △ ABO 沿 AB 翻折得到菱形 AEBO，將 △ CDO 沿 CD 翻折得到菱形 OCFD．利用（ 2）中的結論，可求得 △ AOB 和 △ COD 的面積，從而可求得結論． 【解答】 解： （ 1）當 α=45176。時，如圖 1，過 D 作 DE⊥ AB 于點 E， 則 DE= AD= ， ∴ S=AB?DE= ， 同理當 α=60176。時 S= ， 當 α=120176。時，如圖 2，過 D 作 DF⊥ AB，交 BA 的延長線于點 F， 則 ∠ DAE=60176。， ∴ DF= AD= ， ∴ S=AB?DF= ， 同理當 α=150176。時，可求得 S= ， 故表中依次填寫： ； ； ； ； （ 2）由（ 1）可知 S（ 60176。） =S， S=S（ 30176。）， ∴ S=S（ α） 故答案為： 120； 30； α； （ 3）兩個帶陰影的三角形面積相等． 證明：如圖 3 將 △ ABO 沿 AB 翻折得到菱形 AMBO，將 △ CDO 沿 CD 翻折得到菱形 OCND． 第 26 頁（共 72 頁） ∵∠ AOD=∠ COB=90176。， ∴∠ COD+∠ AOB=180176。， ∴ S△ AOB= S 菱形 AMBO= S（ α） S△ CDO= S 菱形 OCND= S 由（ 2）中結論 S（ α） =S ∴ S△ AOB=S△ CDO． 25．如圖，在正方形 ABCD 中，點 M 在 CD 邊上，點 N 在正方形 ABCD 外部，且滿足 ∠ CMN=90176。， CM=MN．連接 AN， CN，取 AN 的中點 E，連接 BE， AC，交于F 點． （ 1） ① 依題意補全圖形； ② 求證： BE⊥ AC． （ 2）請?zhí)骄烤€段 BE， AD， CN 所滿足的等量關系，并證明你的結論． （ 3）設 AB=1，若點 M 沿著線段 CD 從點 C 運動到點 D，則在該運動過程中，線段 EN 所掃過的面積為 （直接寫出答案）． 【考點】 四邊形綜合題． 【分析】 （ 1） ① 依照題意補全圖形即可； ② 連接 CE，由正方形以及等腰直角三角形的性質(zhì)可得出 ∠ ACD=∠ MCN=45176。，從而得出 ∠ ACN=90176。，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)以及點 E 為 AN 的中點即可得出 AE=CE，由此即可得出 B、 E 在線段 AC 的第 27 頁（共 72 頁） 垂直平分線上，由此即可證得 BE⊥ AC； （ 2） BE= AD+ CN．根據(jù)正方形的性質(zhì)可得出 BF= AD，再結合三角形的中位線性質(zhì)可得出 EF= CN，由線段間的關系即可證出結論； （ 3）找出 EN 所掃過的圖形為四邊形 DFCN．根據(jù)正方形以及等腰直角三角形的性質(zhì)可得出 BD∥ CN，由此得出四邊形 DFCN 為梯形，再由 AB=1，可算出線段 CF、DF、 CN 的長度，利用梯形的面積公式即可得出結論． 【解答】 解：（ 1） ① 依題意補全圖形，如圖 1 所示． ② 證明：連接 CE，如圖 2 所示． ∵ 四邊形 ABCD 是正方形， ∴∠ BCD=90176。， AB=BC， ∴∠ ACB=∠ ACD= ∠ BCD=45176。， ∵∠ CMN=90176。， CM=MN， ∴∠ MCN=45176。， ∴∠ ACN=∠ ACD+∠ MCN=90176。． ∵ 在 Rt△ ACN 中，點 E 是 AN 中點， ∴ AE=CE= AN． ∵ AE=CE， AB=CB， ∴ 點 B， E 在 AC 的垂直平分線上， ∴ BE 垂直平分 AC， ∴ BE⊥ AC． （ 2） BE= AD+ CN． 證明： ∵ AB=BC， ∠ ABE=∠ CBE， ∴ AF=FC． 第 28 頁（共 72 頁） ∵ 點 E 是 AN 中點， ∴ AE=EN， ∴ FE 是 △ ACN 的中位線． ∴ FE= CN． ∵ BE⊥ AC， ∴∠ BFC=90176。， ∴∠ FBC+∠ FCB=90176。． ∵∠ FCB=45176。， ∴∠ FBC=45176。， ∴∠ FCB=∠ FBC， ∴ BF=CF． 在 Rt△ BCF 中， BF2+CF2=BC2， ∴ BF= BC． ∵ 四邊形 ABCD 是正方形， ∴ BC=AD， ∴ BF= AD． ∵ BE=BF+FE， ∴ BE= AD+ CN． （ 3）在點 M 沿著線段 CD 從點 C 運動到點 D 的過程中，線段 EN 所掃過的圖形為四邊形 DFCN． ∵∠ BDC=45176。， ∠ DCN=45176。， ∴ BD∥ CN， ∴ 四邊形 DFCN 為梯形． ∵ AB=1， ∴ CF=DF= BD= ， CN= CD= ， ∴ S 梯形 DFCN= （ DF+CN） ?CF= （ + ） = ． 故答案為： ． 第 29 頁（共 72 頁） 26．在平面直角坐標系 xOy 中，圖形 G 的投影矩形定義如下：矩形的兩組對邊分別平行于 x 軸， y 軸，圖形 G 的頂點在矩形的邊上或內(nèi)部，且矩形的面積最?。O矩形的較長的邊與較短的邊的比為 k，我們稱常數(shù) k 為圖形 G 的投影比．如圖 1，矩形 ABCD 為 △ DEF 的投影矩形，其投影比 ． （ 1）如圖 2，若點 A（ 1， 3）， B（ 3， 5），則 △ OAB 投影比 k 的值為 ． （ 2）已知點 C（ 4， 0），在函數(shù) y=2x﹣ 4（其中 x＜ 2）的圖象上有一點 D，若 △OCD 的投影比 k=2，求點 D 的坐標． （ 3）已知點 E（ 3， 2），在直線 y=x+1 上有一點 F（ 5， a）和一動點 P，若 △ PEF的投影比 1＜ k＜ 2，則點 P 的橫坐標 m 的取值范圍 1＜ m＜ 3 或 m＞ 5 （直接寫出答案）． 【考點】 一次函數(shù)綜合題． 【分析】 （ 1）在圖 2 中作出 △ OAB 的投影矩形 ACBD，根據(jù)投影比的定義即可得出結論； （ 2）設出 D 點的坐標，分 0≤ x≤ 2 和 x＜ 0 兩種情況考慮，找出兩種情況下 △OCD 的投影矩形，根據(jù)投影比的定義列出關于 x 的方程，解方程即可得出結論； （ 3）根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)投影矩形的不同分四種情況考慮（ m≤ 1， 1＜ m第 30 頁（共 72 頁） ＜ 3， 3≤ m≤ 5 和 m＞ 5），找出每種情況下的投影矩形