【文章內(nèi)容簡介】 全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】先證 ∠ ACB=∠ CAD，再證出 △ BEC≌△ DFA，從而得出 CE=AF． 【解答】證明：平行四邊形 ABCD中， AD∥ BC， AD=BC， ∴∠ ACB=∠ CAD． 又 BE∥ DF， ∴∠ BEC=∠ DFA， ∴△ BEC≌△ DFA， ∴ CE=AF． 【點評】本題利用了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)． 四、解答題：（本題共 4小題，每題 10分，共 40分）解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟． 21．先化簡，再求值：（ a﹣ ） 247。 ﹣ a2，其中 a是方程 x2﹣ x﹣ 3=0的解． 第 18 頁（共 49 頁） 【考點】分式的化簡求值． 【專題】探究型． 【分析】先對原式化簡，再根據(jù) a是方程 x2﹣ x﹣ 3=0 的解，可以求得出 a的值，代入化簡后的式子即可解答本題． 【解答】解：（ a﹣ ） 247。 ﹣ a2 = = ﹣ a2 = ﹣ a2 =a﹣ a2， ∵ x2﹣ x﹣ 3=0， 解得， x= = ， ∵ a是方程 x2﹣ x﹣ 3=0的解， ∴ a= ， ∴ 當 a= 時，原式 = =﹣ 3， 當 a= 時，原式 = =﹣ 3， 即原式 =﹣ 3． 【點評】本題考查分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是明確分式的化簡求值的方法． 22．如圖，已知反比例函數(shù) y= （ k＜ 0）的圖象經(jīng)過點 A（﹣ 2， m），過點 A 作 AB⊥ x 軸于點 B，且 △ AOB的面積為 2． （ 1）求 k和 m的值； （ 2）若一次函數(shù) y=ax+1的圖象經(jīng)過點 A，并且與 x軸的交點為點 C，試求出 △ ABC的面積． 第 19 頁（共 49 頁） 【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題． 【分析】（ 1）根據(jù)題意，利用點 A的橫坐標和 △ AOB 的面積，可得出 k的值以及得出 m的值； （ 2）將 A點的坐標代入直線方程中，可得出 a的值，即得直線方程，令 y=0，可得出 C的坐標，即可得出 BC 的長，又 △ ABC 的底邊 BC 對應的高為點 A 的縱坐標，利用三角形的面積公式即可得出 △ABC的面積． 【解答】解：（ 1） ∵△ AOB 的面積為 2， k＜ 0， ∴ k=﹣ 4， 則 m= =2； （ 2）由（ 1）得： A（﹣ 2， 2）， 故 2=﹣ 2a+1， 解得： a=﹣ ， 則 y=﹣ x+1， 當 y=0，解得： x=2， 故 BC=2+2=4， 則 △ ABC的面積為： 2 4=4． 【點評】本題主要考查了反比例函數(shù)解析式的確定以及和一次函數(shù)的綜合應用，正確得出 A 點坐標是解題關(guān)鍵． 23．某商場準備從廠家進購 A、 B 兩種商品定價后直接銷售，已知 A 商品的進價比 B 商品的進價多15元，已知同樣花 600元進購的 A商品件數(shù)是 B商品的一半． （ 1）求 A商品的進價． 第 20 頁（共 49 頁） （ 2）根據(jù)市場調(diào)查，當 A商品售價為 40元 /件時，每月將售出 A商品 600件，若售價每漲 2元 ，每月就會少售出 15 件 A商品，該公司要每月在 A商品的銷售中獲得 10500元利潤的同時，盡可能的減少 A商品的庫存，則每件 A 商品售價應定為多少元？ 【考點】一元二次方程的應用；分式方程的應用． 【分析】（ 1）設(shè) A 商品的進價為 x 元 /件，則 B 商品的進價為（ x﹣ 15）元 /件，由同樣花 600 元進購的 A商品件數(shù)是 B商品的一半可列出關(guān)于 x的分式方程，解方程即可得出結(jié)論； （ 2）設(shè)每件 A商品售價為 m（ m＞ 40，且 m為偶數(shù)）元，則每月的銷售量為（ 600﹣ 15）件，由總利潤 =單件利潤 銷售數(shù)量即可列出關(guān)于 m的一元二次方程，解 方程求出 m的值，取其中較小的數(shù)，此題得解． 【解答】解：（ 1）設(shè) A商品的進價為 x元 /件，則 B商品的進價為（ x﹣ 15）元 /件， 依題意得： = ? ， 解得： x=30， 經(jīng)檢驗 x=30是方程 = ? 的解． 答： A商品的進價為 30元 /件． （ 2）設(shè)每件 A商品售價為 m（ m＞ 40，且 m為偶數(shù)）元，則每月的銷售量為（ 600﹣ 15）件， 依題意得：（ m﹣ 30） （ 600﹣ 15） =10500， 解得： m=50，或 m=100， ∵ 盡可能的減少 A商品的庫存， 故：每件 A商品售價應定為 50元． 【點評】本題考查了分式方程的應用以及一元二次方程的應用，解題的關(guān)鍵是：（ 1）根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出分式方程；（ 2）根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出一元二次方程．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出方程是關(guān)鍵． 24．（ 10 分）（ 2022 春 ?重慶校級期末）對于任意一個多位數(shù)，如果他的各位數(shù)字之和除以一個正整數(shù) n所得的余數(shù)與他自身除以這個正整數(shù) n所得余數(shù)相同，我們就稱這個多位數(shù)是 n的 “ 同余數(shù) ” ，例如：對于多位數(shù) 1345， 1345247。 3=448…1 ，且（ 1+3+4+5） 247。 3=4…1 ，則 1345 是 3 的 “ 同余數(shù) ” ． （ 1）判斷四位數(shù) 2476是否是 7的 “ 同余數(shù) ” ，并說明理由． （ 2）小明同學在研究 “ 同余數(shù) ” 時發(fā)現(xiàn)，對于任意一個四位數(shù)如果是 5的 “ 同余數(shù) ” ，則一定滿足 第 21 頁（共 49 頁） 千位、百位、十位這三位上數(shù)字之和是 5 的倍數(shù)．若有一個四位數(shù)，其千位上的數(shù)字是十位的上數(shù)字的兩倍，百位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字大 1，并且該四位數(shù)是 5的 “ 同余數(shù) ” ，且余數(shù)是 3，求這個四位數(shù)． 【考點】因式分解的應用． 【分析】（ 1）用 2476除以 7找出其余數(shù)，再將 2476 各數(shù)字相加除以 7找出其余數(shù)，比較后即可得出結(jié)論； （ 2）設(shè)該四位數(shù)為 （ a、 b、 c、 d 均為非 0 的一位正整數(shù)），根據(jù)各位數(shù)字之間的關(guān)系可列出關(guān)于 a、 b、 c、 d的四元一次方程組，解之即可得出結(jié)論． 【解答】解：（ 1） 2476是 7的 “ 同余數(shù) ” ，理由如下： ∵ 2476247。 7=353…5 ，（ 2+4+7+6） 247。 7=2…5 ， ∴ 2476是 7的 “ 同余數(shù) ” ． （ 2）設(shè)該四位數(shù)為 （ a、 b、 c、 d 均為非 0的一位正整數(shù)）， 根據(jù)題意得： 或 ， 解得： 或 ， ∴ 該四位數(shù)為 2213或 2218． 【點評】本題考查了因式分解的應用，讀懂題意弄明白 “ 同余數(shù) ” 的概念是解題的關(guān)鍵． 五、解答題：（本大題 2個小題，每題 12分，共 24分）解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟 . 25．（ 12 分）（ 2022 春 ?重慶校級期末）如圖，等腰直角三角形 ABC，過點 A 在 AB 左側(cè)作 AE⊥ AB，并構(gòu)造正方形 AEDB，點 F 是 AC 上一點，且 AB=AF，過點 A 作 AG 平分 ∠ BAC， AH⊥ EF，分別交 EF于點 G， H，連接 DG． （ 1）若 AF=2 ，求 CF 的長． （ 2）求證： DG+AG= EG． （ 3）如圖，在等腰直角三角形 ABC中，若過點 A在 AB 右側(cè)作 AN⊥ AB， AM⊥ CN，連接 BM，直接寫出的值． 第 22 頁（共 49 頁） 【考點】四邊形綜合題． 【分析】（ 1）根據(jù)勾股定理得出 AC的長度，再根據(jù)邊與邊之間的關(guān)系即可得出結(jié)論； （ 2）過點 D作 DM⊥ EF于點 M，利用相等的邊角關(guān)系證出 △ DEM≌△ EAH（ AAS），由此即可得出 DM=EH，EM=AH，再通過角的計算找出 △ AHG、 △ DMG 均為等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的斜邊與直角邊的關(guān)系即可證出 DG+AG= EG； （ 3）以 AC為直徑作圓，延長 MN 到 Q，使得 MQ=AM，連接 AQ，根據(jù) ∠ AMC=∠ ABC=90176。 ，可得出點 B、M 在圓上，根據(jù)圓周角定理即可得出 ∠ AMB=∠ ACB=45176。 ，由 ∠ AMN=90176。 ， AM=MQ可得出 △ AMQ為等腰直角三角形，進而得出 ∠ AQM=45176。= ∠ AMB，再通過角的計算得出 ∠ BAM=∠ CAQ，由此即可得出 △ BAM∽△ CAQ，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出 = ． 【解答】（ 1）解： ∵ 等腰直角三角形 ABC中， AB=AF=2 ， ∴ AC= =4， ∴ CF=AC﹣ AF=4﹣ 2 ； （ 2）證明：如圖 1，過點 D作 DM⊥ EF 于點 M， 則 ∠ EDM+∠ DEM=90176。 ， ∵∠ DEM+∠ AEH=90176。 ， ∴∠ EDM=∠ AEH， ∵ AH⊥ EF， ∴∠ AHE=∠ DME=90176。 ， ∠ FAH= ∠ EAF= （ 90176。 +45176。 ） =176。 ， 在 △ DEM和 △ EAH中， ， ∴△ DEM≌△ EAH（ AAS）， ∴ DM=EH， EM=AH， ∵ AG平分 ∠ BAC， 第 23 頁（共 49 頁） ∴∠ FAG= ∠ BAC=176。 ， ∴∠ HAG=∠ FAH﹣ ∠ FAG=45176。 ， ∴△ AHG是等腰直角三角形， ∴ AH=HG， AG= AH= EM， ∴ EM=HG， ∴ EH=GM， ∴ DM=MG， 即 △ DMG是等腰直角三角形， ∴ DG= MG， ∴ DG+AG= GM+ EM= （ GM+EM） = EG； （ 3）解：如圖 2，以 AC為直徑作圓，延長 MN 到 Q，使得 MQ=AM，連接 AQ． ∵ AM⊥ CN， △ ABC為等腰直角三角形， ∴∠ AMC=∠ AMN=90176。 ， ∠ ABC=90176。 ， ∴ 點 B、 M在圓上， ∴∠ AMB=∠ ACB=45176。 ． ∵∠ AMN=90176。 ， AM=MQ， ∴△ AMQ為等腰直角三角形， ∴∠ AQM=45176。= ∠ AMB． 又 ∵∠ BAM=∠ BAC+∠ CAM=45176。 +∠ CAM， ∠ CAQ=∠ CAM+∠ MAQ=∠ CAM+45176。 ， ∴∠ BAM=∠ CAQ， ∴△ BAM∽△ CAQ， ∴ = ． ∵ CQ=CM+MQ=CM+AM， ∴ = ． 第 24 頁（共 49 頁） 【點評】本題考查了勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)、圓周角定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（ 1）根據(jù)勾股定理算出 AC 的長度；（ 2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)找出 DG+AG=GM+ EM= （ GM+EM） = EG；（ 3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)找出比例關(guān)系式．本題屬于難題，考到較多的知識點，解決該題型題目時，構(gòu)建等腰直角三角形以及圓，利用等腰直角三角形的性質(zhì)找出邊與邊的關(guān)系以及利用圓周角定理找出相等的角是關(guān)鍵． 26．如圖，在平面直角坐標系中，直線 lAB： y=﹣ x+ 與 x 軸交于點 B，且與過原點的直線 lOA互相垂直且交于點 A（ ， m），正方形 CDEF的其中一個頂點 C與原點重合，另一頂點 E在反比例函數(shù) y=﹣ 上，正方形 CDEF 從現(xiàn)在位置出發(fā)，在射線 OB 上以每秒 1 個單位長度的速度向右平移，運動時間為 t． （ 1）當 D落在線段 AO上時 t= 3 ，當 D落在線段 AB上時 t= ． （ 2）記 △ ABO與正方形 CDEF 重疊面積為 S，當 0≤ t≤ 7時，請直接寫出 S與 t的函數(shù)關(guān)系式以及 t的取值范圍． （ 3）在正方形 CDEF從圖 1 位置開始向右移動的同時，另一動點 P在線段 AB上以每秒 1個單位長度的 速度從 B點運動到 A 點，當 0≤ t≤ 8 時，請求出使得 △ CAP是以 AC為腰的等腰三角形的 t的值． 第 25 頁（共 49 頁） 【考點】反比例函數(shù)綜合題． 【分析】（ 1）先求點 A的坐標，并求直線 lOA的解析式；根據(jù)正方形 CDEF的一點 E 在反比例函數(shù) y=﹣ 上，則邊長為 4，平移得，點 D的縱坐標總是 4，橫坐標為其速度 t，因此點 D在哪條直線上，就代入哪個解析式即可； （ 2）分三種情況討論： ① 當 0≤ t≤ 3 時，如圖 2，重疊面積為 △ OCG 的面積，利用面積公式求得；② 當 3＜ t≤ 時，如圖 3，過 G 作 GM⊥ x軸于 M，重疊面積為正方形 CDEF面積減去 △ EGH的面積；③ 當 ＜ t≤ 7，如圖 4，重疊面積 S=16﹣ S△ EGH﹣ S△ DMN； （ 3）如圖 5，先求點 P的坐標，分兩種情況：如圖 6，當 |AC|=|AP|時，根據(jù)圖形構(gòu)建兩個直角三角形，利用勾股定理列方程解出 t的值；如圖 7，當 |AC|=|PC|時，同理可得 t的值． 【解答】解：（ 1）當 x= 時， y=﹣ + = ， ∴ A（ ， ）， 設(shè) lOA的解析式為： y=kx， 把 A（ ， ）代入得： = k， k= ， ∴ lOA的解析式