理學(xué)定積分ppt課件(編輯修改稿)
2025-01-04 05:11 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 到 ? ?,ab 的一個(gè)新分法 ??? ， 可以認(rèn)為 ??? 是由? 的分點(diǎn)增加 ?? 的分點(diǎn)所構(gòu)成的分法，當(dāng)然也可以認(rèn)為 ??? 是由 ?? 的分點(diǎn)增加 ? 的分點(diǎn)所構(gòu)成的分法。根據(jù)性質(zhì) 2 ，有 ? ? ? ?SS ??? ? ? ? ? ? ?SS ?? ?? ? ? 又 ( ) ( )SS ?? ??? ? ? . 從而 ? ? ? ? ? ? ? ?S S S S?? ?? ?? ? ? ? ? ? ?第一式得證，同理可證第二式 . 性質(zhì) 4 設(shè) T ? 是 T 添加 p 個(gè)新分點(diǎn)的加細(xì) . 則有 )( Ts ? )( Ts ? ? )( Ts + p )( mM ? T , )(__TS ? )(__ TS ? ? )(__ TS TmMp )( ?? . 證 設(shè) 1T 是只在 T 中第 i 個(gè)區(qū)間 ] , [ 1 ii xx ? 內(nèi)加上一個(gè)新分點(diǎn) x 所成的分法 , 分別設(shè) )(s up],[1 1 xfM xx i ??, )(s u p],[2 xfM ixx?, )(s up],[ 1 xfM ii xxi ?? . 顯然有 1Mm ? 和 MMM i ??2 . 于是 )()()()()(0 21111 xxMxxMxxMTSTS iiiii ???????? ????????? ? ))(())(( 211 xxMMxxMM iiii))(())(())(( 11 ?? ????????? iiii xxmMxxmMxxmMTmM )( ??添加p 個(gè)新分點(diǎn)可視為依次添加一個(gè)分點(diǎn)進(jìn)行 p 次 . 即證得第二式 . 可類證第一式 . 系 設(shè)分法 T ? 有 p 個(gè)分點(diǎn)，則對任何分法T ，有 ( ) ( ) || || ( ) ,S T p M m T S T ?? ? ?( ) ( ) || || ( ) .s T p M m T s T ?? ? ?( ) ( ) || || ( ) ( )S T p M m T S T T S T??? ? ? ? ?證 )( )( ||||)()( TsTTsTmMpTs ??????? 上積分和下積分 : 設(shè)函數(shù))( xf在區(qū)間 ] , [ ba 上有界 . 由以上性質(zhì) 2 ， )( Ts 有上界 ， )(__ TS 有下界 . 因此它們分別有上確界和下確界 . 定義 記 ? ba dxxf )( )(i n f TST?, ? ba dxxf )( )(s up TsT?. 分別稱 ? ba和 ? ba為函數(shù) )( xf 在區(qū)間 ] , [ ba 上的 上積分 和 下積分 . : T h 1 設(shè)函數(shù) )( xf 在區(qū)間 ] , [ ba 上有界 , T 是區(qū)間 ] , [ ba 的分法 . 則有 0lim ?T)(__ TS = ? badxxf )( , 0lim ?T )( Ts = ? badxxf )( . 證 （ 只證第一式 . 要證 : , 0 , 0 ???? ??使當(dāng) ??T 時(shí)有 ， ?0 ?)(__TS ?ba?? . ?0 ?)(__TS ? ba是顯然的 . 因此只證 ?)(__TS ? ba?? . ) ? ba )(i n f TST?, ? 對 T ???? , 0? , 使 )(__ TS ? ? ba*) , 2?? 設(shè) T ? 有 p 個(gè)分點(diǎn) , 對任何分法 T , 由性質(zhì) 4 的系 , 有 ?)(__TS p )( mM ? T ? )(__TS ? , ?)(__TS p )( mM ? T ? )(__TS ? ? ba , 2?? 即 ?)(__TS p )( mM ? T ?ba , 2?? 亦即 )(__ TS ?? ba 2 ?? p )( mM ? T . 于是取)(2 mMp ????, ( 可設(shè) mM ? , 否則)( xf為常值函數(shù)?ba= )(__ TS 對任何分法 T 成立 . ) 對任何分法 T , 只要 ??T , 就有 由 * )式 ,得 有 ＊ 式得 ?0 ?)(__ TS ? ba??? ???22. 此即0lim?T)(__ TS = ? badxxf )( . : Th 2 （ 充要條件 1 ） )( xf ] , [ baR? ? ?ba= ?ba. 證 )? 設(shè) ?badxxf )( = I , 則有 0lim?T ? ? ii xx
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