理學定積分ppt課件-資料下載頁
2024-12-08 05:11本頁面
【正文】 iT?????? ,0iiiiinii xxxii????? ?????? ???????1( [ , ] , ) [ , ]a b f f a b?其 中 為 在 上 的 振 幅( [ , ] , )iiiia b f x x? ? ? ?????? ? ? ???xi1 xi )()],([ abfba ??? ???三． 可積函數(shù)類： ： 【 證 】 根據(jù)在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)， ? ? ? ?( ) , ( ) , .f x C a b f x R a b? ? ?()fx 必在 ? ?,ab 上一致連續(xù)，即 0??? ， 0??? ， 對于 , [ , ]x x a b? ???? ，只要 xx ?? ???? ，有 ( ) ( )f x f x ba?? ???? ?對于 ? ?,ab 的任意分法 ? ，只要 ()d ??? ， 注意到 ? ?1( ) ,kkf x C x x?? ， ? ?1, kkxx?? ?? ???? ， 使得 ()kkmf ? ?? ， ()kkMf ? ??? ，從而有 ? ? ? ?k k k k kM m f f ba?? ? ??? ?? ? ? ? ? ?1 , 2 , ,kn?所以 11nnk k kkkxxba?????? ? ? ????即 ? ? 0 1l im 0nkkdkx??? ????由定理 9 3 ? 知， ? ?( ) ,f x R a b? . 定理 9 . 5 若 )( xf 是區(qū)間 ],[ ba 上只有有限個間斷點的有界函數(shù)，則 )( xf 在 ],[ ba 上可積 . 【證】 由假設(shè) ? ?fx 在 ? ?,ab 有界，即 0M?? ， 使 ( ) ,f x M? [ , ]x a b?? ，從而 ? ?fx 在 ? ?,ab 上的 su p { ( ) } in f { ( ) } 2a x ba x b f x f x M? ????? ? ? 振幅 又已知 ? ?fx 在 ? ?,ab 上有有限個間斷點，不妨設(shè)有m 個間斷點 12, , , m? ? ?, 對于 ? ?,ab 的任意分法:? 0 1 2 1nnx a x x x x b?? ? ? ? ? ? ?， 在其分割成的 n 個小區(qū)間 0 1 1 2 1[ , ] , [ , ] , , [ ]nnx x x x x x? 中至多有 2 m 個含有間斷點，于是將振幅和分成兩個部分 1nk k k k k kkx x x? ? ??? ??? ? ? ? ? ? ??其中 kk x???? 是相應于分法 ? 含有間斷點的那些小區(qū)間的振幅和， 其項數(shù)至多為 2 m 項 . kk x????? 是相應于分法 ? 不含有間斷點的那些小區(qū)間的振幅和 . 因為 kk x???? 的項數(shù)至多為2 m 項，故 ? ?1 1 10 , 0 , 8 dmM?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?且 ，當時，有 12 2 2 4 82k k kx M x M m m M mM??????? ? ? ? ? ? ? ?因為在 kk x????? 對應的那些小區(qū)間上 ? ?fx 連續(xù)， 從而必一致連續(xù) . 故 ? ?220 , 0 , d? ? ?? ? ? ? ? ?當時， ()fx 在這些小區(qū)間的振幅都小于 2( )ba?? 于是 ()2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2k k k kx x x b ab a b a b a? ? ? ???? ?? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?取 12m i n { , }? ? ?? ，對于 ? ?,ab 的任意分法 ? ， 只要 ()d ??? ，有 1 22nk k k k k kkx x x ??? ? ? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ??即 ? ? 0 1l im 0nkkdkx??? ???? 從而 ? ?( ) ,f x R a b? . 定理 9 . 6 若 )( xf 是區(qū)間 ],[ ba 上的單調(diào)函數(shù)，則 )( xf 在 ],[ ba 上可積 . 【 證 】不妨設(shè) ()fx 單調(diào)增加 . 若 ? ? ? ?f a f b? 則 ? ? ? ? ? ? ? ?,f x f a f b C a b? ? ?，從而由定理 9 . 4 ， ? ?( ) ,f x R a b? 若 ? ? ? ?f a f b? ， 0??? ( ) ( )f b f a????? ， 對于滿足 ()d ??? 的任意分法 ? ，有 11[ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ]nnk k k kkkx f x f x f b f a? ? ? ???? ? ? ? ? ???由此即推知 ? ?( ) ,f x R a b? . 注意：單調(diào)函數(shù)即使有無限多個間斷點，也仍然可積 .
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