【正文】 4DyxDyx d x d ted x d ye20,0:1?? ???? arD且練 8 哈爾濱工程大學(xué) 微積分 － 理學(xué)院工科數(shù)學(xué)教學(xué)中心 － ???? ?? ??????0202122 r d redd x d ye rDyxara r erde002 )(4)(21222 ?? ?????? ? ??)1(4 2ae ??? ?從而，原式 )1( 2ae ??? ?注： 本題若用直角函標(biāo)計(jì)算，會遇到 ,2? ? dxe x而這個(gè)積分是“積不出”的。 哈爾濱工程大學(xué) 微積分 － 理學(xué)院工科數(shù)學(xué)教學(xué)中心 － － 理學(xué)院工科數(shù)學(xué)教學(xué)中心 － 附 :關(guān)于極坐標(biāo)的補(bǔ)充 － 理學(xué)院工科數(shù)學(xué)教學(xué)中心 － 在平面內(nèi)任取一個(gè)定點(diǎn) O，叫做 極點(diǎn) ，引一條射線ox，叫做 極軸 ，再選定一個(gè) 長度單位 和角度 的正方向(通常取逆時(shí)針方向 )，對于平面內(nèi)任意一點(diǎn) M，用 r表示線段 OM的長度， 表示從 ox到 OM的角度叫做點(diǎn) M的極徑 ， 叫做點(diǎn) M的 極角 ，有序數(shù)對 就叫做點(diǎn) M的 極坐標(biāo) ，表示為 。這樣建立的坐標(biāo)系叫做極坐標(biāo)系。 O x 極坐標(biāo)系的定義： － 理學(xué)院工科數(shù)學(xué)教學(xué)中心 － 規(guī)定：當(dāng)點(diǎn) M在極點(diǎn)時(shí)，它的極坐標(biāo)為 ， 可以取任意值。 D E F G A B C xo 4?2?65?35?34??極坐標(biāo)系下 點(diǎn) 與 極坐標(biāo) 的對應(yīng)關(guān)系 例：在極坐標(biāo)系下，寫出 A、 B、 C、 D、 E、 F、 G 各點(diǎn)的極坐標(biāo)。 － 理學(xué)院工科數(shù)學(xué)教學(xué)中心 － 角 也可以取負(fù)值，如： D E F G A B C xo 4?2?65?35?34??注 － 理學(xué)院工科數(shù)學(xué)教學(xué)中心 － 在一般情況下，極徑都是取 正值 ，但是在某些必要的情況下，也允許取 負(fù)值 。當(dāng) 時(shí)，點(diǎn) 的位置可以按以下規(guī)則確定：作射線 OP，使 ，在 OP的反向延長線上取一點(diǎn) M，使 ，點(diǎn) M就是 坐標(biāo)為 的點(diǎn)。 O M x 注 － 理學(xué)院工科數(shù)學(xué)教學(xué)中心 － 當(dāng) 時(shí)， 寫出 A、 B、 C、 D、 E、 F、 G各點(diǎn)極坐標(biāo)。 D E F G A B C xo 4?2?65??例如 : － 理學(xué)院工科數(shù)學(xué)教學(xué)中心 － 1） 定義： 在極坐標(biāo)系中，曲線可以用含有 、 這兩個(gè)變數(shù)的方程 來表示，這種方 程叫做曲線的 極坐標(biāo)方程 。 常見曲線的極坐標(biāo)方程 一 ,極坐標(biāo)系下，曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系 2） 說明： 方程的每一個(gè)解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線 上的點(diǎn)；曲線上每一個(gè)點(diǎn)的無窮多個(gè)坐標(biāo)中， 至少有一個(gè)坐標(biāo)滿足方程。 － 理學(xué)院工科數(shù)學(xué)教學(xué)中心 － 和求直角坐標(biāo)方程類似，就是把曲線 看作適 合某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡，將已知條件用曲線上點(diǎn)的極坐標(biāo) 、 的關(guān)系式 表示出來，就得到曲線的極坐標(biāo)方程。 二 、求曲線的極坐標(biāo)方程的方法和步驟： － 理學(xué)院工科數(shù)學(xué)教學(xué)中心 － O x 直線的極坐標(biāo)方程 例： 求極坐標(biāo)系下，經(jīng)過定點(diǎn) 且 關(guān)于極軸的傾斜角為 的直線 方程 （其中 為定值） － 理學(xué)院工科數(shù)學(xué)教學(xué)中心 － 解： 如圖，設(shè)所求直線上任一點(diǎn) ， 與極軸所在直線交于 N點(diǎn)，連接 OM、 OP O x N 在 中，由正弦定理得： 即 方程 （定值） － 理學(xué)院工科數(shù)學(xué)教學(xué)中心 － 當(dāng) 時(shí)， 代入方程 : O x 方程化為 求極坐標(biāo)系下，經(jīng)過定點(diǎn) 且 關(guān)于極軸的傾斜角為 的直線 方程 （其中 為定值） （定值 ) － 理學(xué)院工科數(shù)學(xué)教學(xué)中心 － 當(dāng) 時(shí)，代入方程 方程化為 （定值） O x － 理學(xué)院工科數(shù)學(xué)教學(xué)中心 － 當(dāng) 表示極點(diǎn)時(shí)， 代入方程 則 方程可寫為： 即 或 若允許 ， O x 方程化為 （表示極點(diǎn)）或 － 理學(xué)院工科數(shù)學(xué)教學(xué)中心 － 在 中，由余弦定理： 解：如圖，設(shè)所求圓上任一點(diǎn) ， 例：求極坐標(biāo)系下，以定點(diǎn) 為圓心， 為半徑的圓的方程。 圓的極坐標(biāo)方程 即為所求圓方程。 o x － 理學(xué)院工科數(shù)學(xué)教學(xué)中心 － 當(dāng)圓心 表示極點(diǎn)時(shí)， 代入 則圓方程化為： x O － 理學(xué)院工科數(shù)學(xué)教學(xué)中心 － 當(dāng)圓心在極軸上，且圓經(jīng)過極點(diǎn)時(shí)， O x 則圓方程化為 即： － 理學(xué)院工科數(shù)學(xué)教學(xué)中心 － 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化 極坐標(biāo)系和直角坐標(biāo)系是兩種不同的坐標(biāo)系，同一點(diǎn)可以有極坐標(biāo)，也可以有直角坐標(biāo)；同一條曲線可以有極坐標(biāo)方程，也可以有直角坐標(biāo)方程。為了研究問題方便，有時(shí)需要把在一種坐標(biāo)系中的方程化為在另一種坐標(biāo)系中的方程。 － 理學(xué)院工科數(shù)學(xué)教學(xué)中心 － 把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn)， x軸的正半軸作為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位。 設(shè) M是平面內(nèi)任一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)為 極坐標(biāo)是 ，從點(diǎn) M作 ，由三角函數(shù) 定義，可得出 之間的關(guān)系。 )0(t a ns i nc o s222 ??????xxyyxrryrx???，x y O y M N x (1) (2) 極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化公式： － 理學(xué)院工科數(shù)學(xué)教學(xué)中心 － 公式 (1)是用極坐標(biāo)表示直角坐標(biāo)的表達(dá)式 公式 (2)是用直角坐標(biāo)表示極坐標(biāo)的表達(dá)式 在一般情況下，由 確定極角 時(shí)， 可根據(jù)點(diǎn) M所在的象限取最小正角。 )0(t a ns i nc o s222 ??????xxyyxrryrx???，(1) (2) － 理學(xué)院工科數(shù)學(xué)教學(xué)中心 － 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式的應(yīng)用 例 解： － 理學(xué)院工科數(shù)學(xué)教學(xué)中心 － － 理學(xué)院工科數(shù)學(xué)教學(xué)中心 － 例 解： － 理學(xué)院工科數(shù)學(xué)教學(xué)中心 － － 理學(xué)院工科數(shù)學(xué)教學(xué)中心 － 例 解： － 理學(xué)院工科數(shù)學(xué)教學(xué)中心 － 例 解：