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2024-12-05 05:11 本頁面
【正文】 由 )( xf 在 [ a ,b] 上有界知，它在每個ix?上存在上、下確界： ixxixfM??? )(s u p ,ixxixfm??? )(i n f ,ni ,2,1 ?? . 作和 ????niii xMTS1)( ， ????niii xmTs1)( ， 分別稱為 )( xf 關于分割 T 的上和與下和（或稱達布上和與達布下和，統(tǒng)稱達布和） 任給ii x???， ni ,2,1 ?? ， 顯 然 有)()()( TSxfTsii??? ? ? . 說明 ：與積分和相比，達布和只與分割 T 有關，而與點 i? 的取法無關 . 分別用 )(__ TS 、 )( Ts 和 ? )( T 記相應于分法T 的上（大）和、下（?。┖团c積分和 . 3. Da rb ou x 和的性質(zhì) : 本段研究 Da rb oux 和的性質(zhì) , 目的是建立 Da rb ou x 定理 . 先用分點集定義分法和精細分法 : T ? T ? 表示 T ? 是 T 的加細 . 【性質(zhì) 1 】 在區(qū)間 ? ?,ab 的一個固定分法 ? 下，達布下和 ()S ? 與達布上和 ()S ? 分別是積分和 ( , )S ?? 的下確界與上確界，即 ? ? ? ?inf ( , )SS??? ? ?，? ? ? ?su p ( , )SS??? ? ? 【 證 】 下面證明式第一式 . 已知 ? ?1in f ( )kkk x x xm f x? ??? ，根據(jù)下確界定義， 0??? ， 1[ , ]k k kxx? ??? ，使 ()k k km f m ba??? ? ? ? ( ) ( )k k k k k km x f x m xba??? ? ? ? ? ?? 1 , 2 , ,kn ? 將上式從加到 n，有 于是 1 1 1()n n nk k k k k kk k km x f x m x??? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?( ) ( , ) ( )S S S??? ? ? ? ? ?即 從而由下確界定義，知 ? ? ? ?inf ( , )SS ? ?? ? ?同理可證第二式 . 【性質(zhì) 2 】 在區(qū)間 ? ?,ab 的一個分法 ? 的基礎上增加若干個新分點，得到 ? ?,ab 的一個新分法 ?? ，則達布下和不減少，達布上和不增加， 即 ( ) ( )SS ?? ? ? ( ) ( )SS ?? ? ? 【證】 我們只須討論在分法 ? 的分點中再加進一個分點 x ? 的情況 . 設 x ? 加在 1kx ? 與 kx 之間，于是 1kx ? x ??? kx 顯然 ()S ? 與 ()S ?? 僅在這個地方不同 ()S ? 中對應于區(qū)間 1[ , ]kkxx ? 的項是 1()k k k k km x m x x ?? ? ?而 ()S ?? 中對應于這個區(qū)間是兩項之和 1( ) ( )k k k km x x m x x?? ? ?? ?? ? ?? ?? ?1in fkk x x xm f x? ???? ? ， ? ?? ?in fkk x x xm f x????? ? . 其中 由于 1[ , ]kxx ? ? 與 [ , ]kxx? 都是 1[ , ]kkxx ? 的子區(qū)間，從而 kkmm ?? ， kkmm ??? ，于是 1()k k k k km x m x x ?? ? ? ? 1( ) ( )k k k km x x m x x ???? ? ? ? 1( ) ( )k k k km x x m x x ?? ? ?? ?? ? ? 由此推知 ( ) ( )SS ?? ? ? . 達布上和的證明與此類似，這里從略 . 【性質(zhì) 3 】 對于區(qū)間 ? ?,ab 任意兩個分法??? 與則 ( ) ( )SS ?? ? ? ( ) ( )SS ?? ? ? 即達布下和總不能超過任意一個達布上和。167。 【證】 將區(qū)間 ? ?,ab 的分法 ???與 的分點合在 一起，得到 ? ?,ab 的一個新分法 ??? ， 可以認為 ??? 是由? 的分點增加 ?? 的分點所構成的分法，當然也可以認為 ??? 是由 ?? 的分點增加 ? 的分點所構成的分法。 xi1 xi iniiTbaxfdxxfR ?? ???? 10||||)(l i m)()( ?其中 iiiiiixxxxx????????11一 可積的必要條件 定理 9 . 2 若函數(shù) )( xf 在 ],[ ba 上可積，則 )( xf在 ],[ ba 上必有界 . 【證】 反證法 若函數(shù) ? ?fx 在
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