【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 210 2 21)2121( dxxdxxx31?注： 分塊函數(shù)的積分要分塊 (區(qū)域 )來(lái)積 . 另外，帶絕對(duì)值的函數(shù)是分塊函數(shù)。 y x 0 D2 1 1 y = x D1 D 哈爾濱工程大學(xué) 微積分 － 理學(xué)院工科數(shù)學(xué)教學(xué)中心 － ,),(),( )()(21中???? ? xyxybaDdyyxfdxdyxf ? 右邊的二次積分并不是兩個(gè)定積分之積，計(jì) 算時(shí)必須由里至外，這當(dāng)然較繁瑣 .但在某些情形下，可將右端化為兩個(gè)定積分之積。 關(guān)于二重積分計(jì)算的其它問(wèn)題 在將二重積分化為二次積分的公式 哈爾濱工程大學(xué) 微積分 － 理學(xué)院工科數(shù)學(xué)教學(xué)中心 － 例 6. 設(shè) D： a ? x ? b, c ? y ? d. f(x, y)=f1(x)f2(y)可積， 則 .)()(),( 21 ???? ?? dcbaDdyyfdxxfdyxf ?y x 0 d c a b ??Ddyxf ?),(?? ??Dd x d yyfxf )()( 21?? ?? dcba dyyfxfdx )()( 21? ??? ba dc dxdyyfxf ])()([ 21 .)()( 12 ?? ?? badc dxxfdyyf證： 哈爾濱工程大學(xué) 微積分 － 理學(xué)院工科數(shù)學(xué)教學(xué)中心 － 比如， .32103210 ???? ?? dyex d xdyxedx yy.s i n2s i n 101020 ??? ? r d rrr d rrd ???只須要求里層積分 ? dc dyyf )(2的被積函數(shù) f2(y)和 上、下限都與 x無(wú)關(guān)即可。 哈爾濱工程大學(xué) 微積分 － 理學(xué)院工科數(shù)學(xué)教學(xué)中心 － 關(guān)于利用對(duì)稱(chēng)性積分的問(wèn)題 (1) 若 D的圖形關(guān)于 x軸對(duì)稱(chēng) . (i) 若 f (x, –y) = f (x, y), 其中點(diǎn) (x, –y) 與 (x, y) 關(guān)于 x軸對(duì)稱(chēng)， 即函數(shù)也關(guān)于 x軸對(duì)稱(chēng) . y x 0 D2 D1 ???? ?1),(2),(DDdyxfdyxf ??則(ii) 若 f (x, –y) = – f (x, y), 0),( ???Ddyxf ?則 哈爾濱工程大學(xué) 微積分 － 理學(xué)院工科數(shù)學(xué)教學(xué)中心 － (2) 若 D的圖形關(guān)于 y軸對(duì)稱(chēng) . y x 0 D2 D1 (i) 若 f (– x, y) = f ( x, y). 其中 (– x, y)是 (x, y)的關(guān)于 y軸 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) . ???? ?1),(2),(DDdyxfdyxf ??則(ii) f (– x, y) = – f( x, y)，則 0),( ???Ddyxf ? 哈爾濱工程大學(xué) 微積分 － 理學(xué)院工科數(shù)學(xué)教學(xué)中心 － 三 . 二重積分的換元法 考慮 ??Ddxdyyxf ,),(若作變量代換 x=g(u, v), y=?(u, v), 應(yīng)如何計(jì)算作了變量代換后的二重積分？ 定理 1. 設(shè)變換 x=g(u, v), y= ?(u, v)時(shí) uov平面上的有 界閉區(qū)域 D*一一對(duì)應(yīng)地變成 xoy平面上的有界閉區(qū)域 D，且滿(mǎn)足 三 二重積分的換元法 哈爾濱工程大學(xué) 微積分 － 理學(xué)院工科數(shù)學(xué)教學(xué)中心 － 若 f (x, y)可積，則 .),(),()),(),((),(*d u d vvuyxvuvugfd x d yyxfDD ??? ???? ?(1) x=g(u, v), y=?(u, v)?C1(D*) 0),(),()2(39。39。39。39。????vuvuyyxxvuyx 哈爾濱工程大學(xué) 微積分 － 理學(xué)院工科數(shù)學(xué)教學(xué)中心 － 假設(shè)從極點(diǎn) O 出發(fā)的射線(xiàn)與區(qū)域 D 的邊界曲線(xiàn)的交點(diǎn)不超過(guò)兩個(gè) . 用以 O 為中心的一族同心圓及一族從 O 點(diǎn)出發(fā)的射線(xiàn) , 將區(qū)域 D 分成若干個(gè)小區(qū)域 , 如圖所示 , AoD?drdrr ? ?? d??當(dāng) drd ,? 很小時(shí) , 視紅色的小區(qū)域?yàn)榫匦?, 則由 面積的計(jì)算公式 .)( drrdrddrd ??? ??四 . 用極坐標(biāo)變換計(jì)算二重積分 哈爾濱工程大學(xué) 微積分 － 理學(xué)院工科數(shù)學(xué)教學(xué)中心 － ?? r dr dd ? 稱(chēng)為 極坐標(biāo)系下的面 積元素 ( 微元 ) . 所以 , 直角坐標(biāo)系下的二重積分化為 極坐標(biāo)系下的二重積分公式為 .)s i n,c o s(),(?? ????D Dr d r drrfdyxf ????AoD?drdrr ? ?? d?? 哈爾濱工程大學(xué) 微積分 － 理學(xué)院工科數(shù)學(xué)教學(xué)中心 － 變換 x = rcos?, y = rsin? 其中 0? r +?, 0? ? ? 2? (或 ? ? ? ? ?) 的積分區(qū)域若 ??Dd x d yyxf ),(D經(jīng)極坐標(biāo)變換后變成極坐標(biāo)系下的區(qū)域 D*. 因： rr rr yx ????? ?? ??? c o ss i n s i nc o s),( ),(.)s i n,c o s(),(*???? ??DDr d r drrfd x d yyxf ???故x y ? r (x, y) 0 極坐標(biāo)變換計(jì)算二重積分另一種推導(dǎo) 哈爾濱工程大學(xué) 微積分 － 理學(xué)院工科數(shù)學(xué)教學(xué)中心 － 如圖的積分區(qū)域設(shè) Ddx dyyxfD?? ),()1(稱(chēng)為“曲邊三角形”或“曲邊扇形” 曲邊的極坐標(biāo)方程為 r = r(?). D的最小極角為 ?，最大極角為 ?. 此時(shí)， D* : 0? r ? r(?), ? ? ? ? ?. 從而： ???? ?? )(0 )s i n,c o s(.),( ??? ??? rDr d rrrfdd x d yyxfx y ? ? D r = r(?) 0 哈爾濱工程大學(xué) 微積分 － 理學(xué)院工科數(shù)學(xué)教學(xué)中心 － 例 8 計(jì)算二重積分 ?? ??D yxd221?, 其中1: 22 ?? yxD . 解 ： 我們先畫(huà)出積分區(qū)域 D 的圖形 , o A ?1?r將積分區(qū)域 D 的邊界曲線(xiàn) 122 ?? yx化為在極坐標(biāo)系下曲線(xiàn)方程 1?r . 如圖 , 從極點(diǎn)出發(fā)作射線(xiàn)穿過(guò)區(qū)域 D, 則在區(qū)域 D 內(nèi)極徑 r 的范圍是 0 到 1, 極角 ? 的范圍是 從 0 到 2 ? , 所以 , 由極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算公式 , drrrddxdyyxD ? ??? ??????2010 222 111 drrr???10 212 ?).12(2 ?? ? 哈爾濱工程大學(xué) 微積分 － 理學(xué)院工科數(shù)學(xué)教學(xué)中心 － 上 一 堂 課 內(nèi) 容 的 回 顧 用極坐標(biāo)變換計(jì)算二重