[理學]高數(shù)下g10_3三重積分(編輯修改稿)
2025-03-18 07:36 本頁面
【文章內容簡介】 具體計算時應根據(jù) 三種方法 (包含 12種形式 )各有特點 , 被積函數(shù)及積分域的特點靈活選擇 . 17 oxyz2. 利用柱坐標計算三重積分 ,R),( 3?zyxM設 , 代替用極坐標將 ??yx ), z??（則就稱為點 M 的柱坐標 . ????????????????????z???200?? s in?y zz??? c o s?x直角坐標與柱面坐標的關系 : 常數(shù)??坐標面分別為 圓柱面 常數(shù)?? 半平面 常數(shù)?z 平面 ?z ),( zyxM? )0,( yx18 如圖所示 , 在柱面坐標系中體積元素為 z? zd?d??d?zv dddd ????因此 ???? zyxzyxf ddd),(其中 ),s in,c o s(),( zfzF ?????? ?適用范圍 : 1) 積分域 表面用柱面坐標表示時 方程簡單 。 2) 被積函數(shù) 用柱面坐標表示時 變量互相分離 . zddd ???xyzo??d?d積分域由拋物面、圓柱面、球面所圍成。 被積函數(shù)表達式中含有 2222 , zxyx ?? 等因子。 19 其中 ?為由 例 1. 計算三重積分 xyx 222 ?? 0),0(,0 ???? yaazz 所圍 解 : 在柱面坐標系下 :?? ? ??c o s20 2 d???dc o s34 20 32?? a?? c o s20 ??20 ?? ?? az ??0及平面 2axyzozv dddd ?????20 d? ??? a zz0 dzz ddd2 ????????原式298 a?柱面 ?? c o s2?成半圓柱體 . 20 例 2: 求由圓柱面 ???????????????????2040:40:yxDyz401622 ????? zyzyx 及平面所圍成的物體的質量 . 物體的密度為 ? ?22. , .x y z x y? ??解 : vdyxMD??? ?? 22 zdddD?????????? ? ?20 d? 40 2 ?? d ? ? ?? s i n40 zd????????? ?? ? ??????204043 s i n4134 d? ?????? ?? ? ??20 s i n6432 5 6 d?3512?x0 yz21 ox yz例 3. 計算三重積分 解 : 在柱面坐標系下 h?h z42 d?? ??? h dh2022 )4(12 ?????? ?h20 2 d1 ???? ? ?20 dzyx 422 ?? )0( ?? hhz 所圍成 . 與平面 其中 ?由拋物面 zv dddd ????原式 = 22 ox yz例 3. 計算三重積分 解 : 用先二后一 h?? h zI 0 dzdzh02)1ln (02? ?? ??? ?Z20 2 d1 ????? ?20 dzyx 422 ?? )0( ?? hhz 所圍成 . 與平面 其中 ?由拋物面 zv dddd ????zyxD Z 4: 22 ?? zD23 例 4. 計算 其中 .4,1),(21 22 圍成由 ????? zzyxz解 : 利用對稱性 zyxyx ddd)(21 22 ?? ??? ?yxyxzzDdd)(d21 2241 ?? ??????? z rrz 20 32041 ddd21 ? ??21?4zxo y1 zD24 3. 利用球坐標計算三重積分 ,R),( 3?zyxM設 ),( z??其柱坐標為就稱為點 M 的球坐標 . 直角坐標與球面坐標的關系 ,??? Z O M??Mox yzzr?),( ??r則????????????????????0200 r?? c o ss inrx ??? s ins inry ??c o sr
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