[理學(xué)]第一節(jié)重積分的概念和性質(zhì)(編輯修改稿)
2025-01-04 01:09 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 x y z V ????( , , ) d 0Vf x y z V ????? 重積分的幾何意義 ? 重積分的性質(zhì) ? 重積分的對稱性 四、重積分的計算、比較和估計 依據(jù)： 例 ： 計 算 下 列 二 重 積 分是 以 和 為 頂 點 的 三 角 形 區(qū) 域( 1 ) ( 1 ) ,( 0 , 0 ) , ( 0 , 1 ) ( 1 , 0 )Dx y dD?????( 1 )Dx y d V?? ? ? ???1 1 113 2 6??是 以 為 圓 心 為 半 徑 的 圓2 2 2( 2 ) , ( 0 , 0 )Da x y d D a?????2 2 2 323D a x y d V a??? ? ? ???幾何意義 計算積分 例 ： 計 算 下 列 二 重 積 分2( 3 ) [ s in ( ) 2 ] , { ( , ) : | | 1 , | | 1 }xDx y y e d D x y x y?? ? ? ? ???關(guān) 于 是 奇 函 數(shù) ， 區(qū) 域 關(guān) 于 軸 對 稱2sin ( )xy x D y2si n( ) 0Dx y d ? ???關(guān) 于 是 奇 函 數(shù) ， 區(qū) 域 關(guān) 于 軸 對 稱xy e y D x0xDy e d ? ???22[ s in ( ) 2 ] s in ( ) 2xxD D D Dx y y e d x y d y e d d? ? ? ?? ? ? ? ??? ?? ?? ??2 DS? 8?區(qū)域可加性、對稱性 例 ： 為 圓 域 在 第 一 象 限 部 分221 :1D D x y??( ) dD xy ????1224 ( ) dD xy ?????0?ddDDxy?????? ??dD x ???0?dD y ???0?( ) dD xy ????22ddDDxy?????? ??0?ddDDxy?????? ??D上22dD y ?? ??1D11224 d 4 dDDxy?????? ??1224 ( ) dD xy ?????右22dD x ?? ??右D上0?重積分對稱性 2 2 2 21: ( 0 ) ,V x y z R z V V? ? ? ?例 ： 是 在 第 一 卦 限 部 分 ， 則 有 ( )1( ) d 4 dVVA x V x V???? ???1( ) d 4 dVVB y V y V???? ???1( ) d 4 dVVC z V z V???? ???1( ) d 4 dVVD xy z V xy z V???? ???d0VxV ????d0VyV ????d0Vx y z V ????C重積分對稱性 例：比較下列積分的大小 : 23( ) d , ( ) dDDx y x y?????? ??其 中 22: ( 2 ) ( 1 ) 2D x y? ? ? ? 區(qū)域 D 的邊界為圓周 1xy??323( ) ( )x y x y? ? ?時 ，( , ) 1 ,x y D x y? ? ?23( ) d ( ) dDDx y x y??? ? ? ??? ??1y2 xo1 D解： 比較積分大小 例 ： 比較積分 ?? ?Ddyx ?)ln( 與 ?? ?Ddyx ?2)][ln( 的大小 , 其中 D 是三角形閉區(qū)域 , 三頂點各為 (1,0 ), (1 ,1) , (2 ,0) . 解 三角形斜邊方程 2?? yx于是 ? ? 2)l n ()l n ( yxyx ??? ,因此 ????Ddyx ?)l n( ?? ?Ddyx ?2)][l n( .o xy121D1xy??D在 內(nèi) ， 1 2x y e? ? ? 0 l n ( ) 1xy? ? ?1?1? ? ,1)(0 222 ????? yxyx故 0)l n ( 22 ?? yx 。又當(dāng) 1?? yx 時 ,0)l n ( 22 ?? yx解： 例 ： 判 斷 的 正 負(fù)221ln ( ) d d ( 0 )xyx y x y??? ? ?????11 xyoD當(dāng) 時 ，1xy?
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