[理學]第二章隨機變量及其分布3-45學分(編輯修改稿)
2024-11-12 21:28 本頁面
【文章內容簡介】 =0}= 當 1 ≤ x 2 時 , F(x)=P{X≤x}=P{X=0}+P{X=1}=+= 當 2≤ x時 , F(x)=P{X≤x}=P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=1 作業(yè) 0 , 0 , 0 1() , 1 21 , 2xxFxxx??????????? ??＝一般地，對離散型隨機變量 X～ P{X= xk}＝ pk, k＝ 1, 2, … 其分布函數(shù)為 ?????xxkkkpxXPxF:}{)( 離散型隨機變量的分布函數(shù)是階梯函數(shù) ,分布函數(shù)的跳躍點對應離散型隨機變量的可能取值點 ,跳躍高度對應隨機變量取對應值的概率 。反之 ,如果某隨機變量的分布函數(shù)是階梯函數(shù) ,則該隨機變量必為離散型 . 例 2： 設離散 . X的分布函數(shù)為： 1112010122()123233AxxFxxxBx? ????????? ????????????求 ，并求 { 3 }, { 0 . 5 }, { 2 4 }P X P X P X? ? ? ?解： 1)(,0)( ???????? BFAFX 0 1 2 3kP216141 1213/1)02()04(}42{,21}{,1}3{???????????FFXPXPXP作業(yè) 例 3 向 [0,1]區(qū)間隨機拋一質點，以 X表示質點坐標 .假定 質點落在 [0,1]區(qū)間內任一子區(qū)間內的概率與區(qū)間長成正比 ，求 X的分布函數(shù) ???????????1,110,0,0)()(xxxxxXPxF ＝＝當 x0時 , F(x)=0 。 當 x1 , F(x)=1 當 0≤ x≤1 時 , kxxXPxF ???? }0{)(特別 ,F(1)=P{0≤X≤1}=k=1 解： F(x)=P{X≤x} 連續(xù)型隨機變量 一、概率密度 1. 定義 : 對于隨機變量 X， 若存在非負函數(shù)f(x)， (?x+?)， 使對任意實數(shù) x， 都有 ? ??? x duufxXPxF )()()( ＝＝則稱 X為連續(xù)型隨機變量， f(x)為 X的 概率密度函數(shù) ，簡稱概率密度或密度函數(shù) . 常記為 X～ f(x) , (?x+?) 2. 密度函數(shù)的性質 (1) 非負性 f(x)?0， (?x?)； (2)歸一性 .1)( ＝? ???? dxxf性質 (1)、 (2)是密度函數(shù)的充要性質 . xaexf ??)(設隨機變量 X的概率密度為 求常數(shù) a. 答 : 21?a(3) 若 x是 f(x)的連續(xù)點，則 )()( xfdx xdF ?設隨機變量 X的分布函數(shù)為 ??????????0211021)(xexexFxx求 f(x) （ 4） 對任意實數(shù) b， 若 X～ f(x)， (?x?)， 則 P{X=b}＝ 0. 于是 { } { }{ } { }()baP a X b P a X bP a X b P a X bf x dx? ? ? ?? ? ? ?? ?＝＝ ＝10( 1 ) ( ) 2 1 1f x dx A x dx A???? ? ? ??? 例 1：已知隨機變量 X的概率密度為 （ 1）求參數(shù) A. (2) P{X3}. (3) 求分布函數(shù) F(X). ? ? 2 0 10A x xfx ???? ?? 其他解： 作業(yè) 310. 5 0. 5( 2) { 0. 5 3 } ( ) 2 0. 75P X f x dx x dx? ? ? ? ???200( 3 ) ( ) { } ( ) 0 111xxF x P X x f t d t x xx?????? ? ? ? ? ??? ???? ? ? ?{ 0 . 5 3 } 3 0 . 5P X F F? ? ?
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