【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 uu?? ?,u ???? z? y? y x? x 圖 控制體 歐拉形式的連續(xù)方程通常采用圖 所示的控制體。由圖可知，左側(cè)質(zhì)量流入 = zyu ??? ，浙江海洋學(xué)院本科畢業(yè)論文 海洋動(dòng)力學(xué)基本方程的推導(dǎo) 8 右側(cè)質(zhì)量流出 = ? ? xx zyuzyu ??????? ??? ，故進(jìn)入控制體的質(zhì)量增量為兩者的差值： ? ? ? ? zyxxuxx zyuzyuzyu ?????????????? ?????????? ???? 同上理，若考慮三維空間，可得進(jìn)入控體質(zhì)量的增量為： ? ? ? ? ? ? zyxzwyvxu ?????? ?????? ???????? 而控體質(zhì)量的增量又等于 zyxt ?????? 所以，可得下列方程 0)()()( ??????? ??????????? zyxxwxvxuzyxt ?????????? ? ? ? ? ? ? 0???????????? zwyvxut ???? （ ） 將式（ ）展開可得： 0????????????????????? zwyvxuzwyvxut ??????? 而由式（ ）可知，上式前四項(xiàng)就是質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)，故上式可變?yōu)? 0DD1 ?????????? zwyvxut?? （ ） 式（ ）就是流體連續(xù)方程。 在海洋中，我們可 以認(rèn)為流動(dòng)是不可壓縮的。海水的密度幾乎是常量。而對(duì)于不可壓縮流動(dòng)，其連續(xù)方程則變?yōu)椋? 0????????? zwyvxu （ ） 方程（ ）和方程（ ）構(gòu)成了一個(gè)由四個(gè)方程組成的方程組即 NS 方程組，其中三個(gè)是運(yùn)動(dòng)方程，一個(gè)是連續(xù)方程?，F(xiàn)有未知量 pwvu , 四個(gè)，如果摩擦力已知，似乎可以求解了。不過，還需 pwvu , 的邊界條件。我們期望 4個(gè)方程加上邊界條件能解出 4 個(gè)未知量。然而，我們發(fā)現(xiàn)它們是非線性的偏微分方程，一般情況下這是無(wú)解析解的；即使對(duì)于一個(gè)十分簡(jiǎn)單的流動(dòng)也難以得到解析解。迄今為止，對(duì)于存在摩擦項(xiàng)的方程還沒有精確解，而即使方程是不含摩擦項(xiàng)的方程，也幾乎很少有精確解。由于這些方程幾乎不可能求解，所以必須使方程簡(jiǎn)化。 只有在方程被高度簡(jiǎn)化后，才有可能得到解析解。這些解被用于研究海洋動(dòng)力 學(xué)過程，其中包括波動(dòng)。而關(guān)于實(shí)際海岸和海底特征的流動(dòng)的求解必須采用數(shù)值方法。 浙江海洋學(xué)院本科畢業(yè)論文 有限差分基本概 念 9 2. 有限差分法基本概念 研究海洋運(yùn)動(dòng)方法一般有：理論分析、實(shí)驗(yàn)研究、數(shù)值計(jì)算 [7]。 理論分析主要是指現(xiàn)代科學(xué)理論 對(duì) 實(shí)際問題進(jìn)行分析的方法。理論方法 是 一種重要的分析論證方法。 實(shí) 證分析不可能將任何問題都 解決 ， 而 理論方法是相對(duì) 于實(shí)證分析更 快速和高效的方法 。然而 理論分析方法是間接的方法，任何間接的方法都可能 在 中間環(huán)節(jié)出現(xiàn)錯(cuò)誤，從而導(dǎo)致論證 分析 失敗。 而且它的研究對(duì)象常常是針對(duì)線性的控制方程，必須簡(jiǎn)化其物理，使其幾何表現(xiàn)有規(guī)律可循，對(duì)于 非線性的情況，很難給出解析結(jié)果 [8]。 試驗(yàn)研究是為了能夠確定一些系數(shù)和驗(yàn)證理論結(jié)果。由實(shí)驗(yàn)測(cè)量給出的資料通常是一個(gè)物理過程最可信的資料，試驗(yàn)結(jié)果真實(shí)可靠。理論分析和數(shù)值計(jì)算就是以實(shí)驗(yàn)研究為基礎(chǔ)的。但實(shí)驗(yàn)往往受到環(huán)境影響、操作不當(dāng)、儀器精度等的限制，還 會(huì)遇到資金成本，人力和 實(shí)驗(yàn)材料以及周期長(zhǎng)等許多困難。 數(shù)值計(jì)算是一種離散的近似方法，是在計(jì)算機(jī)上的一種模擬。由于海洋動(dòng)力學(xué)方程是非線性的， 由于海洋動(dòng)力學(xué)方程是非線性的， 它 們可能有數(shù)學(xué)奇點(diǎn)和未知的或邊界 無(wú)窮遠(yuǎn) ，難以直接求解 。因此解決計(jì)算機(jī)海洋動(dòng)力學(xué)問題仍然需要借 助比較簡(jiǎn)單的線性問題的嚴(yán)格數(shù)學(xué)分析，并依靠物理直觀、實(shí)際海洋現(xiàn)場(chǎng)的啟發(fā)和計(jì)算機(jī)上的數(shù)值試驗(yàn)來(lái)進(jìn)行。 數(shù)值模擬是利用海洋模式對(duì)海洋現(xiàn)象的重復(fù)和預(yù)演，并揭示其動(dòng)態(tài)過程。 隨著計(jì)算機(jī)性能的提高，計(jì)算方法的不斷發(fā)展和完善，電子計(jì)算機(jī)的可用性，仿真和實(shí)驗(yàn)手段，各種海洋動(dòng)力學(xué)問題 都可求得數(shù)值解。因而計(jì)算海洋動(dòng)力學(xué)已越來(lái)越成為研究海洋各種物理現(xiàn)象及工程設(shè)計(jì)的重要手段。計(jì)算海洋動(dòng)力學(xué)的各種方法既十分豐富，也十分復(fù)雜，為了能較好地掌握計(jì)算的基本理論，并具備一定的研究與開發(fā)能力，本章給出計(jì)算海洋動(dòng)力學(xué)中的一些計(jì)算技術(shù)與方法。 電 子計(jì)算機(jī)上處理的計(jì)算必須是離散的和有限的，不能直接描述連續(xù)性問題，所以在數(shù)值計(jì)算方法中，首要的是如何把模式方程組列出離散形式， 離散化方法基本上可以分為兩類：（ 1）和離散相結(jié)合的譜法等多種分析，變分法和應(yīng)用快速傅里葉變換方法的； （ 2）有限差分法、有限元法、 PIC (ParticleInCell) 法 、 MAC (MarkerAndCell ) 法和 VOF (Volume Of Fluid) 法等 [9]。 在比較中，有限差分法是最成熟 的方法 ， 也是現(xiàn)在 最常見 的應(yīng)用。本章先介紹有限差分方法的基本概念，差分 格式的建立及其基本性質(zhì)，如相容性、收斂性和穩(wěn)定性等，一些偽物理效應(yīng)及訂正，并說明它們的意義及分析方法，為理解和掌握差分格式的設(shè)計(jì)方法提供必要的基礎(chǔ)知識(shí)。 解域的離散化與差分網(wǎng)格的建立 在海洋運(yùn)動(dòng)中，平流過程是很重要的，表征其特征的一維線性平流方程為 0?????? xuctu ， （ ） 式中， u 是兩個(gè)自變量 x,t 的函數(shù) ),( txu ； c 為常數(shù)。采用有限差分方法求解時(shí)，首先要浙江海洋學(xué)院本科畢業(yè)論文 有限差分基本概 念 10 做的是等距或非等距分割計(jì)算域，分割點(diǎn)被稱為網(wǎng)格點(diǎn)，網(wǎng)格點(diǎn)之間的距離叫 晶格間距 或空間步長(zhǎng)、水平分辨率。如果給定邊界條件及初始 0t 時(shí)刻的值 ),( txu ，就可以計(jì)算出在這些格點(diǎn)上以后時(shí)刻的 u 值。 下面以 xy 平面為例，說明網(wǎng)格的建立，最簡(jiǎn)單常用的是“等步長(zhǎng)”差分分割。取適當(dāng)?shù)拈g隔 x? 和 y? 的平行線組進(jìn)行分割，平行線組的全部叫網(wǎng)格線群，該交點(diǎn)被稱為網(wǎng)格點(diǎn)， x?和 y? 分別叫做在 x方向和 y 方向的晶格距離 [10]。格距的取值應(yīng)根據(jù)研究的實(shí)際問題而定。編號(hào)為 ? ?ji, 的網(wǎng)格點(diǎn) ? ?ji yx, 其坐標(biāo)表示為 xixi ?? ? ?Mi ,...,1,0? ， yjyi ?? ? ?Nj ,...,1,0? ， （ ） 函數(shù) ),( yxuu? 的值在 ? ?ji, 點(diǎn)表示為 ),(),(, yjxiuyxuu jiji ???? （ ） 對(duì)時(shí)間離散，也取一適當(dāng)?shù)姆指铋g隔 t? ，稱為時(shí)間步長(zhǎng)，其分割點(diǎn)記為 tntn ?? （ n=0， 1，?，K）。 t? 的取值需按嚴(yán)格的要求，必須滿足穩(wěn)定性等條件。 以上是等間距網(wǎng)格，在河口海岸區(qū)域，由于河道分叉、岸線復(fù)雜，現(xiàn)在趨向采用非等間距曲線網(wǎng)格，涉及網(wǎng)格正交、加密技術(shù)，以及自適應(yīng)網(wǎng)格等問題，也是目前比較感興趣的研究課題。 微分方程的離散化 下面對(duì)一維線性平流方程（ ）離散化，說明差分方程的建立。即在時(shí)空的參考點(diǎn) ? ?ni tx,上，把方程（ ）寫成離散的形式，構(gòu)成差分方程。這里介紹普遍使 用的泰勒展開法。由于在所研究的海洋、大氣問題中，實(shí)際使用的空間步長(zhǎng) x? 與方程所描述的特征尺度運(yùn)動(dòng)相比是一個(gè)非常小的量，所以可以將函數(shù) ),( txu 展開為泰勒級(jí)數(shù)： ? ? ???????????????? !3 )(!2),(),( 333222 xx uxx uxxutxutxxu ?， （ ） ? ? ?????????????? !3 )(!2),(),( 333222 xx uxx uxxutxutxxu ?， （ ） 由式（ ）和式（ ）可得： ?????? ?????? !2),(),(22 xxux txutxxuxu ? Rx txutxxu ?? ???? ),(),( ， （ ） ?????? ????? !2),(),(22 xxux txxutxuxu ? Rx txxutxu ?? ???? ),(),( ， （ ） 式中 R 稱為截?cái)嗾`差，表示差分的精度，以階表示 ）（ x??OR ， x? 的方次表示階的大小，浙江海洋學(xué)院本科畢業(yè)論文 有限差分基本概 念 11 如上式是一階精度。引入記號(hào) ),(1 txxuuni ???? ， ),(1 txxuuni ???? ， ),( txuuni ? ， （ ） 則式（ ） ,()改寫為 Rx uuxuninini?????????? ?? ?1 ， ）（ x??OR ， （ ） Rxuuxuninini?????????? ?? ?1， ）（ x??OR ， （ ）式（ ）和式（ ）分別稱為空間向前差分和空間向后差分，它們精度都是一階的。將式（ ），（ ）相減： ?????????????? !3 )(22),(),( 333 xxuxxutxxutxxu ?， ?????? ???????? !3 )(2 ),(),( 333 xxux txxutxxuxu ?， Rxuuxuninini?????????? ?? ??2 11 ， 2OR ）（ x?? ， （ ) 式（ ）為一階導(dǎo)數(shù) xu?? 的中央差分，精度為二階。 將式（ ），（ ）相加： ? ? ? ? ??????????????? !42!22),(2),(),( 444222 xx uxx utxutxxutxxu ?， ? ? ?????? ????????? !42),(2),(),( 244222 xx ux txutxxutxxux u ?， Rx uuuxunininini?? ??????????? ?? ?? 2 1122 2， 2OR ）（ x?? ， （ ） 式（ ）為二階導(dǎo)數(shù)中央差分，精度為二階。二階導(dǎo)數(shù) x xuxuxuxxu ii??????? ????????? ????????? ??????? ?? 212122 ， 再用中央差分21????????? ixu ，21????????? ixu ，就可得到表達(dá)式（ ）。 利用泰勒展開方法構(gòu)造差分格式有較大的靈活性，如用下式則可以構(gòu)造不同的差分格式 : 浙江海洋學(xué)院本科畢業(yè)論文 有限差分基本