【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 阻尼作用也就隨電流的改變而改變,因此磁流變阻尼器旋轉(zhuǎn)時(shí)受到的阻尼作用具有可控性。圖22：外置盤片式磁流變阻尼器 低重心式兩輪車前向運(yùn)動(dòng)機(jī)理分析前向運(yùn)動(dòng)是低重心式兩輪車的主要運(yùn)動(dòng)形式，低重心式兩輪車前向運(yùn)動(dòng)性能的好壞直接關(guān)系到低重心式兩輪車執(zhí)行性能的好壞。本課題設(shè)計(jì)的低重心式兩輪車前向運(yùn)動(dòng)時(shí)的控制策略是：通過CPU直接控制左右兩個(gè)電機(jī)的輸出轉(zhuǎn)矩，使得前向運(yùn)動(dòng)時(shí)左右電機(jī)的輸出轉(zhuǎn)矩相等，此時(shí)低重心式兩輪車便會(huì)前向運(yùn)動(dòng)。具體的力學(xué)分析如圖23所示：圖23低重心式兩輪車右輪受力圖其中 為低重心式兩輪車右輪電機(jī)的輸出轉(zhuǎn)矩；為低重心式兩輪車右輪電機(jī)殼對(duì)右輪的反作用力；為地面對(duì)低重心式兩輪車右輪的支持力；為地面對(duì)低重心式兩輪車右輪的摩擦力；為低重心式兩輪車右輪的重力；為低重心式兩輪車右輪的角速度。根據(jù)達(dá)朗貝爾原理我們可以得到以下方程： 同理我們可以得到低重心式兩輪車左輪的方程：通過方程我們可以發(fā)現(xiàn)只要那么必然會(huì)有即此時(shí)低重心式兩輪車左右輪的角速度相等，顯然低重心兩輪車此時(shí)會(huì)做前向運(yùn)動(dòng)。低重心式兩輪車前向運(yùn)動(dòng)時(shí)配重的受力情況如圖24所示：圖24 低重心式兩輪車配重受力圖根據(jù)達(dá)朗貝爾原理我們可以得到如下方程：其中為低重心兩輪車左右電機(jī)轉(zhuǎn)矩反作用力和磁流變阻力矩的合力；為低重心式兩輪車左右車輪的平均角加速度。 低重心式兩輪車轉(zhuǎn)向運(yùn)動(dòng)機(jī)理分析轉(zhuǎn)向運(yùn)動(dòng)是低重心式兩輪車另外一種必不可少的運(yùn)動(dòng)形式，轉(zhuǎn)向運(yùn)動(dòng)極大的豐富了低重心式兩輪車的活動(dòng)范圍。本課題設(shè)計(jì)的低重心式兩輪車轉(zhuǎn)向運(yùn)動(dòng)時(shí)的控制策略是：通過CPU直接控制左右兩個(gè)電機(jī)的輸出轉(zhuǎn)矩，使得轉(zhuǎn)向運(yùn)動(dòng)時(shí)左右電機(jī)的輸出轉(zhuǎn)矩不相等，此時(shí)低重心式兩輪車便會(huì)發(fā)生轉(zhuǎn)向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)左面電機(jī)的輸出轉(zhuǎn)矩大于右面電機(jī)的輸出轉(zhuǎn)矩時(shí)，低重心式兩輪車左輪的驅(qū)動(dòng)力矩就會(huì)大于右輪的驅(qū)動(dòng)力矩進(jìn)而導(dǎo)致低重心式兩輪車左輪的角速度大于右輪的角速度，這時(shí)低重心式兩輪車就會(huì)向右轉(zhuǎn)；當(dāng)左面電機(jī)的輸出轉(zhuǎn)矩小于右面電機(jī)的輸出轉(zhuǎn)矩時(shí)，低重心式兩輪車右輪的驅(qū)動(dòng)力矩就會(huì)大于左輪的驅(qū)動(dòng)力矩，進(jìn)而導(dǎo)致低重心式兩輪車右輪的角速度大于低重心式兩輪車左輪的角速度，這時(shí)低重心式兩輪車便會(huì)向左轉(zhuǎn)。尤其是當(dāng)左右兩個(gè)電機(jī)的輸出轉(zhuǎn)矩大小相等方向相反時(shí)，低重心式兩輪車會(huì)實(shí)現(xiàn)零半徑轉(zhuǎn)向，此時(shí)低重心式兩輪車的配重位于豎直位置，低重心式兩輪車的轉(zhuǎn)向運(yùn)動(dòng)此時(shí)完全依靠左右輪輸入力矩的差值。 本章小結(jié)本章在對(duì)國(guó)內(nèi)外兩輪自平衡機(jī)器人構(gòu)型進(jìn)行分析和總結(jié)的基礎(chǔ)之上，提出了一種將兩個(gè)電機(jī)共軸放置的低重心式兩輪車設(shè)計(jì)方案。在整個(gè)設(shè)計(jì)方案中，促使低重心式兩輪車前向滾動(dòng)的力矩來源于驅(qū)動(dòng)電機(jī)的輸出力矩，其具體實(shí)現(xiàn)形式主要是使機(jī)器人的質(zhì)心偏離車體形心，從而形成關(guān)于地面接觸點(diǎn)的偏心重力矩。使低重心式兩輪車內(nèi)部構(gòu)件發(fā)生轉(zhuǎn)向運(yùn)動(dòng)的力矩也來源于轉(zhuǎn)向電機(jī)，在機(jī)械結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)上，主要是利用左右兩個(gè)電機(jī)轉(zhuǎn)子提供不同的轉(zhuǎn)矩從而實(shí)現(xiàn)低重心式兩輪車的轉(zhuǎn)向。另外，本章還對(duì)低重心式兩輪車中如何解決配重?cái)[角震蕩問題進(jìn)行了有力的探索，引入了磁流變阻尼器來對(duì)配重的擺動(dòng)情況進(jìn)行主動(dòng)或半主動(dòng)控制，實(shí)現(xiàn)了對(duì)低重心式兩輪車配重質(zhì)心位置的人工干預(yù)，有效地減輕了低重心式兩輪車運(yùn)動(dòng)過程中的震動(dòng)效果。仿真實(shí)驗(yàn)證明所設(shè)計(jì)的低重心式兩輪車，結(jié)構(gòu)緊湊、運(yùn)動(dòng)靈活，達(dá)到了本課題設(shè)計(jì)之初所提出的各項(xiàng)指標(biāo)運(yùn)動(dòng)指標(biāo)的要求，這些有力的說明了低重心式兩輪車設(shè)計(jì)的合理性與有效性。3 基于拉格朗日方程的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模 引言要定量、準(zhǔn)確地分析設(shè)計(jì)一個(gè)控制系統(tǒng)，提高對(duì)研究對(duì)象的認(rèn)識(shí)水平和控制能力，一定要建立控制對(duì)象的數(shù)學(xué)模型。精確地確立研究對(duì)象的數(shù)學(xué)模型，是控制理論能否成功地用于解決實(shí)際問題的關(guān)鍵之一?，F(xiàn)階段兩輪自平衡機(jī)器人在力學(xué)分析和控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)等方面具有很大的難度。一般來講，兩輪自平衡機(jī)器人所構(gòu)成的是一個(gè)受非完整約束、強(qiáng)耦合、欠驅(qū)動(dòng)、非線性的系統(tǒng)，這些領(lǐng)域都是當(dāng)今力學(xué)和控制學(xué)領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，所以它能為從事機(jī)器人理論的人員提供一個(gè)非常有效的研究平臺(tái)?，F(xiàn)階段兩輪自平衡機(jī)器人控制系統(tǒng)開發(fā)的主要途徑在于通過建立兩輪自平衡機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型探索優(yōu)化控制策略。動(dòng)力學(xué)建模的方法有牛頓法、拉格朗日法等。拉格朗日法簡(jiǎn)單，有規(guī)律；應(yīng)用時(shí)只需計(jì)算系統(tǒng)的能量和廣義力。牛頓法容易分析每個(gè)力對(duì)系統(tǒng)構(gòu)成的影響，但它需要分析每一時(shí)刻力的相互作用，使得建模過程復(fù)雜。牛頓法動(dòng)力學(xué)建模需要通過對(duì)機(jī)器人的受力分析得出機(jī)器人各部分的受力情況。由于兩輪自平衡機(jī)器人工作環(huán)境以及運(yùn)動(dòng)姿態(tài)的時(shí)變性，使得機(jī)器人的受力情況變得非常復(fù)雜。拉格朗日法是建立在能量的基礎(chǔ)上。而通過傳感器可以測(cè)量出機(jī)器人的前進(jìn)速度和傾角隨時(shí)間的變化規(guī)律，求出機(jī)器人的動(dòng)能和勢(shì)能。另外，為了將來進(jìn)一步對(duì)機(jī)器人進(jìn)行能量分析，也需要求出機(jī)器人的能量表達(dá)式作為能量分析的理論基礎(chǔ)。綜上，對(duì)于兩輪自平衡機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)建模，拉格朗日法更加適合，在實(shí)現(xiàn)方面更加簡(jiǎn)單?，F(xiàn)階段兩輪車在力學(xué)分析和控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)等方面具有很大的難度。一般來說由于兩輪車所構(gòu)成的是一個(gè)受非完整約束、強(qiáng)耦合、欠驅(qū)動(dòng)、非線性的系統(tǒng)，這些領(lǐng)域都是當(dāng)今力學(xué)和控制學(xué)領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，所以它能為從事機(jī)器人理論的人員提供一個(gè)非常有效的研究平臺(tái)。現(xiàn)階段兩輪車控制系統(tǒng)開發(fā)的主要途徑在于通過建立兩輪車的動(dòng)力學(xué)模型探索優(yōu)化控制策略。動(dòng)力學(xué)模型是對(duì)兩輪車的準(zhǔn)確描述。建立兩輪車的動(dòng)力學(xué)模型有利于對(duì)兩輪車的深入了解。針對(duì)兩輪車的不同結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，國(guó)內(nèi)外的很多學(xué)者分別進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)的研究，呈現(xiàn)出多元化的特點(diǎn)。其中建立動(dòng)力學(xué)模型的方法，大致可以歸納為以下幾類：拉格朗日方程是從動(dòng)力學(xué)普遍方程出發(fā)，推導(dǎo)出的關(guān)于質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)微分方程。該方法具有一定的普遍性，是建立動(dòng)力學(xué)模型的主要研究方法。拉格朗日方程法將系統(tǒng)作為整體看待，處理的是功、勢(shì)能、動(dòng)能等標(biāo)量。由于建模過程中不需要求解約束力，且利于設(shè)計(jì)控制算法以及從控制角度分析系統(tǒng)的性質(zhì)，因此拉格朗日方法在機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)建模中得到廣泛應(yīng)用。 Abeygunawardhana和Murakami Toshiyuki利用拉格朗日方法建立了兩輪車的完整系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，并根據(jù)動(dòng)力學(xué)方程的結(jié)果探討了兩輪車幾種不同模式下的控制策略，但是此模型只考慮了球體在前向驅(qū)動(dòng)平面內(nèi)的沿直線滾動(dòng)的動(dòng)力學(xué)問題,并沒有考慮轉(zhuǎn)向運(yùn)動(dòng)對(duì)機(jī)器人系統(tǒng)的影響 ,方程不具有一般性。無獨(dú)有偶，阮曉剛和陳靜利用非完整系統(tǒng)勞斯方程建立了兩輪車的完整方程，在這個(gè)模型中則考慮了轉(zhuǎn)向運(yùn)動(dòng)的影響。李團(tuán)結(jié)教授等利用拉格朗日勞斯方程建立了機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型并給出了消去拉格朗日乘子的策略。牛頓歐拉方法將系統(tǒng)拆成單個(gè)剛體(及質(zhì)點(diǎn))，分別考慮其受力關(guān)系和運(yùn)動(dòng)特性。牛頓歐拉方法處理的是力、加速度等矢量之間的關(guān)系，所得方程為微分代數(shù)方程。該方法推導(dǎo)過程簡(jiǎn)潔，各項(xiàng)物理概念清楚，得到的方程較短。這種方法易于發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)局部間的動(dòng)力學(xué)行為特征，對(duì)機(jī)器人的結(jié)構(gòu)優(yōu)化、控制方法的研究具有很大的價(jià)值。例如北京郵電大學(xué)的孫漢旭教授等在進(jìn)行機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)建模時(shí)，將系統(tǒng)視為由球殼、配重兩部分組成的系統(tǒng)，利用牛頓歐拉方程分別建立他們的動(dòng)力學(xué)方程，同時(shí)考慮了球體與地面之間的摩擦力的影響，結(jié)果證明減少配重質(zhì)量、增加配重的擺長(zhǎng)可以改善機(jī)器人的加速性能，仿真結(jié)果證明了該模型的有效性。凱恩方法以矢量運(yùn)算為基礎(chǔ)，不需要計(jì)算各部件的動(dòng)能、勢(shì)能的導(dǎo)數(shù)和偏導(dǎo)數(shù)。已處理問題統(tǒng)一規(guī)范，所得方程形式簡(jiǎn)單，便于編寫計(jì)算機(jī)的數(shù)值仿真程序。例如北京郵電大學(xué)的王亮清等在動(dòng)力學(xué)建模中使用了基于矢量運(yùn)算的Kane方法，由于無需計(jì)算系統(tǒng)各部分的動(dòng)能和勢(shì)能的導(dǎo)數(shù)和偏導(dǎo)數(shù)，有效地減少了計(jì)算量，并且在考慮地面滾動(dòng)摩阻力偶矩及系統(tǒng)各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)摩擦力矩的情況下，對(duì)所建立的通用機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行了修正。比較而言牛頓歐拉方法在動(dòng)力學(xué)建模中不具有普遍性，需要對(duì)不同的機(jī)器人結(jié)構(gòu)具體分析。當(dāng)機(jī)器人的剛體數(shù)增加時(shí)，其未知量及方程數(shù)會(huì)急劇增多，也大大加大了方程求解的困難。凱恩方法的推導(dǎo)過程較為繁冗，且該方法中的偏速度、偏角速度等量是凱恩本人提出的獨(dú)特概念，并不具備物理意義。因此，使用凱恩方程分析機(jī)器人的結(jié)構(gòu)參數(shù)和動(dòng)力學(xué)特性的關(guān)系較為困難。由于大多數(shù)機(jī)器人樣機(jī)都是兼具轉(zhuǎn)向和滾動(dòng)兩種運(yùn)動(dòng)形式，而且這兩種運(yùn)動(dòng)是相互影響、互相耦合在一起的，所以在理論分析上不可避免的會(huì)遇到非完整約束的問題。非完整約束一種典型的非線性問題，目前采用的方法一般是利用拉格朗日乘子法將非完整約束引入到系統(tǒng)的原方程，使系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為無約束問題來處理。所以用拉格朗日乘子法建立低重心式兩輪車的動(dòng)力學(xué)模型成為首先考慮的方法。拉格朗日方程是從系統(tǒng)的能量角度出發(fā)，基于達(dá)朗貝爾原理和虛功原理建立起來的。通過選取適當(dāng)?shù)拿枋鱿到y(tǒng)的廣義坐標(biāo)，分別計(jì)算出系統(tǒng)的所有質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能和勢(shì)能，由動(dòng)能和勢(shì)能表達(dá)式可以最終推導(dǎo)出拉格朗日函數(shù)L，在求出包括拉格朗日函數(shù)在內(nèi)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)之后，建模時(shí)所進(jìn)行的工作完全轉(zhuǎn)變?yōu)榧償?shù)學(xué)上的推演。由于引入了廣義坐標(biāo)的概念，在分析時(shí)可以不考慮系統(tǒng)內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)所受的各種約束力的影響，所以與其它動(dòng)力學(xué)建模方法相比，具有簡(jiǎn)單有效的優(yōu)點(diǎn)，現(xiàn)已成為機(jī)器人建模中最常用的方法 非完整系統(tǒng)概述完整約束：質(zhì)點(diǎn)系的約束是對(duì)系統(tǒng)內(nèi)各個(gè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的一種限制，這種限制可以用約束方程表示。若約束方程僅僅對(duì)位形加以限制，則這種約束稱為幾何約束或完整約束。狀態(tài)變量：運(yùn)動(dòng)中的質(zhì)點(diǎn)在任意瞬時(shí)所占據(jù)的位置以及所具有的速度和起來稱為質(zhì)點(diǎn)在該瞬時(shí)的狀態(tài)變量，有3個(gè)坐標(biāo)及其導(dǎo)數(shù)共6個(gè)標(biāo)量組成。非完整約束：約束除限制質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位置外，也可以限制各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的速度。這種同時(shí)對(duì)位置和速度加以限制的約束稱為非完整約束。非完整系統(tǒng)：全部約束都是完整約束的系統(tǒng)稱為完整系統(tǒng)，若約束中存在非完整約束，則稱為非完整系統(tǒng)。確定質(zhì)點(diǎn)系位形的獨(dú)立參數(shù)（長(zhǎng)度或者角度）稱為廣義坐標(biāo)，記作。廣義坐標(biāo)根據(jù)系統(tǒng)的具體結(jié)構(gòu)和問題的要求選取。選定廣義坐標(biāo)以后，系統(tǒng)內(nèi)各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的笛卡爾坐標(biāo)由廣義坐標(biāo)單值來確定。若個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)受到個(gè)完整約束的限制，則個(gè)笛卡爾坐標(biāo)中只有個(gè)獨(dú)立變量，此獨(dú)立變量數(shù)稱為自由度。完整系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)數(shù)與自由度數(shù)相等，若系統(tǒng)除個(gè)完整約束外，還受到個(gè)非完整約束的限制，則系統(tǒng)的自由度為。由于個(gè)非完整約束不能積分為聯(lián)系廣義坐標(biāo)的關(guān)系式，因此對(duì)于非完整系統(tǒng)，確定系統(tǒng)位形空間的廣義坐標(biāo)仍為個(gè)，大于系統(tǒng)的自由度數(shù)。在質(zhì)點(diǎn)系中，約束對(duì)質(zhì)點(diǎn)的作用力稱為約束力，凡約束力對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系的任意虛位移所做的元功之和為零的約束稱為理想約束，相應(yīng)的約束力稱為理想約束力，滿足以下條件： （）質(zhì)點(diǎn)系中除約束力以外的力稱為主動(dòng)力，設(shè)第個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為，加速度為，定義質(zhì)點(diǎn)的慣性力為 （） 基本形式的拉格朗日方程（1）達(dá)朗貝爾原理：在矢量力學(xué)中，牛頓第二定律的敘述可以用達(dá)朗貝爾原理代替：作用于質(zhì)點(diǎn)的力（包括主動(dòng)力和約束力）與慣性力相平衡，即： （）達(dá)朗貝爾原理將動(dòng)力學(xué)問題化作靜力學(xué)問題，成為工程中常用的動(dòng)靜法的理論基礎(chǔ)。（2） 虛功形式的動(dòng)力學(xué)普遍方程動(dòng)力學(xué)普遍方程是分析力學(xué)的基礎(chǔ)，可以敘述為：具有理想雙側(cè)約束的質(zhì)點(diǎn)系在運(yùn)動(dòng)的任意時(shí)刻，其主動(dòng)力和慣性力在系統(tǒng)的任意虛位移中所做的元功之和等于零，也就是： （）（3）用動(dòng)能表示的動(dòng)力學(xué)普遍方程設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，設(shè)系統(tǒng)存在個(gè)完整約束和個(gè)非完整約束，選取個(gè)廣義坐標(biāo)表示系統(tǒng)的位形，系統(tǒng)的自由度為。各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的矢徑可以用廣義坐標(biāo)確定為： （）將各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的虛位移用廣義坐標(biāo)的等時(shí)變分表示為： （）代入動(dòng)力學(xué)普遍方程可以得到： （）然后經(jīng)過一系列化簡(jiǎn)與代換我們可以得到用動(dòng)能表示的動(dòng)力學(xué)普遍方程的最終形式： （）（4）適用于完整系統(tǒng)的拉格朗日方程若系統(tǒng)為無多余坐標(biāo)的完整系統(tǒng)，則廣義坐標(biāo)數(shù)與自由度數(shù)相等動(dòng)力學(xué)普遍方程可以寫作： （）由于個(gè)廣義坐標(biāo)的變分為獨(dú)立變量，可以任意選取，因此動(dòng)力學(xué)普遍方程成立的充分必要條件為變分前的系數(shù)等于零。我們可以得到： （）此個(gè)獨(dú)立方程稱為拉格朗日方程，他們完全確定了質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。（5）非完整系統(tǒng)的拉格朗日方程拉格朗日方程和哈密頓方程只適用于不含多余坐標(biāo)的完整系統(tǒng)。對(duì)于非完整系統(tǒng)或含有多余坐標(biāo)的完整系統(tǒng)，必須采用另外的分析方法，拉格朗日乘子法便是處理非完整系統(tǒng)的一種實(shí)用方法。設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由N個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，以個(gè)笛卡爾坐標(biāo)確定其位形。設(shè)系統(tǒng)存在個(gè)完整約束和個(gè)非完整約束，約束方程可以統(tǒng)一寫作微分方程的形式： （）將主動(dòng)力相對(duì)于某個(gè)參考坐標(biāo)系的個(gè)分量依次排列為則動(dòng)力學(xué)普遍方程的標(biāo)量形式為： （）引入個(gè)未定乘子分別與式（）中標(biāo)號(hào)相同的各式相乘，然后將它們的和式與（）式相加，得到如下形式的方程： （）如果選擇適當(dāng)?shù)膫€(gè)未定乘子，使式（）中個(gè)事先指定為不獨(dú)立的變分前的系數(shù)等于零，可得到 個(gè)方程。于是在方程(4)中只包含個(gè)與獨(dú)立變分相關(guān)的和式。這個(gè)坐標(biāo)變分既然是獨(dú)立變量，則方程（）成立的充分必要條件就是各坐標(biāo)變分前的系數(shù)等于零，共