【正文】 本文以兩輪車為研究對象，在總結(jié)國內(nèi)外各種兩輪車構(gòu)。其體積小，運(yùn)動靈活，適于在狹小和危險的空間內(nèi)工作，具有重大的理論和實(shí)際意義。通過對低重心式兩輪車的磁流變阻尼仿真得知加入了剪切式磁流變阻尼器會大大減緩配重?cái)[角的震蕩，充分說明了通過磁流變減震的可控性和可行性。通過改變仿真參數(shù)獲得了期望中的低重心式兩輪車的配重?cái)[角、車體擺角以及運(yùn)動軌跡曲線，充分證明了所建立的低重心式兩輪車動力學(xué)模型的正確性與有效性。而且通過比較可以發(fā)現(xiàn)經(jīng)過磁流變的調(diào)節(jié)后在相同的仿真參數(shù)下低重心式兩輪車的轉(zhuǎn)彎半徑有減小的趨勢，這從側(cè)面反映了低重心式兩輪車減震后的積極影響，充分說明了低重心式兩輪車減震的必要性與可行性。圖412 磁流變阻尼仿真前向運(yùn)動配重?cái)[角圖413 磁流變阻尼仿真配重?cái)[角角速度仿真分析：通過低重心式兩輪車的配重?cái)[角和配重?cái)[角角速度隨時間的變化曲線可以看出在磁流變阻尼的調(diào)解下低重心式兩輪車的配重?cái)[角的配重?cái)[角角速度的震蕩效果明顯減弱，除了在開始的一段時間內(nèi)配重?cái)[角有相對于以前比較輕微的震蕩外，隨著時間的延續(xù)配重?cái)[角逐漸保持不變漸漸穩(wěn)定下來，這充分說明通過磁流變阻尼器的調(diào)節(jié)作用在運(yùn)動過程中低重心式兩輪車的配重逐漸穩(wěn)定在某一個擺角保持穩(wěn)定，避免了配重?cái)[角震蕩引起的不穩(wěn)定性，這也充分驗(yàn)證了通過磁流變阻尼器來對低重心式兩輪車配重震蕩現(xiàn)象進(jìn)行調(diào)節(jié)和避免的方法在理論上的可行性和有效性。為了驗(yàn)證磁流變的減震效果我們做了關(guān)于磁流變阻尼的仿真。通過與前面的仿真結(jié)果比較，可以看出此時低重心式兩輪車做的是順時針的轉(zhuǎn)向運(yùn)動這充分驗(yàn)證了前面的轉(zhuǎn)向機(jī)理：當(dāng)?shù)椭匦氖絻奢嗆嚨淖笥逸斎朕D(zhuǎn)矩不相等的時候若左輪的輸入轉(zhuǎn)矩大于右輪的輸入轉(zhuǎn)矩時低重心式兩輪車做順時針方向的轉(zhuǎn)向；當(dāng)?shù)椭匦氖絻奢嗆嚨淖筝嗇斎朕D(zhuǎn)矩小于右輪的輸入轉(zhuǎn)矩時，低重心式兩輪車做逆時針方向的轉(zhuǎn)向運(yùn)動。在這里設(shè)定仿真參數(shù)如下：。圖49 任意半徑轉(zhuǎn)向運(yùn)動配重?cái)[角圖410 任意半徑轉(zhuǎn)向運(yùn)動車體擺角仿真分析：通過以上仿真曲線可以看出，配重的擺角隨時間的變化而變化，車體的擺角也隨時間的增加而增加，低重心式兩輪車的運(yùn)動軌跡是近似的圓弧，這說明低重心式兩輪車在此輸入轉(zhuǎn)矩下做的的轉(zhuǎn)彎運(yùn)動，同時可以發(fā)現(xiàn)若使低重心式兩輪車做任意半徑的轉(zhuǎn)向運(yùn)動在轉(zhuǎn)彎過程中需要對低重心式兩輪車左右輪的輸入力矩做相應(yīng)的改變才能使得低重心式兩輪車的運(yùn)動軌跡為一個圓。 低重心式兩輪車任意半徑轉(zhuǎn)向運(yùn)動仿真分析 圖48 任意半徑轉(zhuǎn)向運(yùn)動運(yùn)動軌跡由前面低重心式兩輪車前向運(yùn)動機(jī)理分析可知，若想使低重心式兩輪車能夠做任意半徑的轉(zhuǎn)向運(yùn)動需要使低重心式兩輪車左右車輪的輸入轉(zhuǎn)矩大小不等方向相同，低重心式兩輪車左右車輪輸入轉(zhuǎn)矩的差值大小決定了低重心式兩輪車轉(zhuǎn)彎半徑的大小。這充分說明了在此輸入轉(zhuǎn)矩下低重心式兩輪車x方向沒有位移。 低重心式兩輪車零半徑轉(zhuǎn)向運(yùn)動仿真分析由前面低重心式兩輪車前向運(yùn)動機(jī)理分析可知，若想使低重心式兩輪車能夠前向運(yùn)動，需要使低重心式兩輪車左右車輪的輸入轉(zhuǎn)矩大小相等方向相反，在這里設(shè)定仿真的輸入?yún)?shù)為：。圖43 前向運(yùn)動配重?cái)[角圖44 前向運(yùn)動配重?cái)[角角速度仿真分析：由低重心兩輪車配重?cái)[角隨時間變化曲線和配重?cái)[角角速度隨時間變化曲線可以看出，在固定輸入轉(zhuǎn)矩的情況下兩輪車的配重?cái)[角和配重?cái)[角角速度隨時間呈現(xiàn)震蕩性變化，這充分說明了兩輪車在前向運(yùn)動時配重?cái)[動的周期性震蕩變化導(dǎo)致低重心兩輪車前向運(yùn)動的重力矩呈現(xiàn)周期性震蕩變化，這也使得低重心式兩輪車運(yùn)動不穩(wěn)。 低重心式兩輪車前向運(yùn)動仿真分析由前面低重心式兩輪車前向運(yùn)動機(jī)理分析可知，若想使低重心式兩輪車能夠前向運(yùn)動，需要使低重心式兩輪車左右車輪的輸入轉(zhuǎn)矩相同，在這里設(shè)定仿真的輸入?yún)?shù)為：。按照上述方法分別建立描述系統(tǒng)動力學(xué)模型，就得到了低重心式兩輪車完整動力學(xué)系統(tǒng)的仿真模型，如下圖所示：圖41 低重心式兩輪車動力學(xué)MATLAB仿真模型根據(jù)低重心式兩輪車樣機(jī)具體的結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)，我們在此設(shè)定低重心式兩輪車動力學(xué)模型方程中的各已知參數(shù)如下：。 低重心式兩輪車MATLAB仿真模型描述控制系統(tǒng)動態(tài)特性的一階微分方程組是由狀態(tài)變量組成的，對于同一個系統(tǒng)，其狀態(tài)變量的選擇不是惟一的。這樣仿真思路清晰且編程具有更高的效率，而且當(dāng)模型改變時只需要在M 文件中更改與之相關(guān)的參數(shù)即可，而且S 函數(shù)可以用多種編程語言例如MATLAB、C、C++、Ada或Fortran 語言來編寫。SFunction 的形式是非常通用的，且適用于連續(xù)、離散和混合系統(tǒng)。但是MATLAB同時提供了一種簡潔而高效的二次建模方法，這便是S函數(shù)。MATLAB仿真技術(shù)能夠在一定程度上對前面建立的動力學(xué)模型進(jìn)行有效的驗(yàn)證，同時通過仿真得到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)反過來能夠有效的對低重心式兩輪車的構(gòu)型設(shè)計(jì)等具有很大的參考意見。MATLAB下建立低重心式兩輪車的動力學(xué)和運(yùn)動學(xué)模型，并仿真其運(yùn)動狀態(tài)。仿真軟件的應(yīng)用還可以使設(shè)計(jì)更加優(yōu)化，即在計(jì)算機(jī)上修改設(shè)計(jì)缺陷，仿真實(shí)驗(yàn)不同的設(shè)計(jì)方案，對整個系統(tǒng)不斷的修改，直至獲得最優(yōu)的設(shè)計(jì)方案。不過，國內(nèi)外的一些學(xué)者已經(jīng)嘗試著將各種仿真技術(shù)引入到兩輪自平衡機(jī)器人的研究中來。4 低重心式兩輪車MATLAB仿真 引言目前，動力學(xué)和運(yùn)動學(xué)仿真技術(shù)己經(jīng)迅速發(fā)展，各式各樣的仿真技術(shù)和應(yīng)用軟件相繼誕生，并投入到低重心式兩輪車的設(shè)計(jì)和研究中來。為了消去引入的拉格朗日乘子向量，我們設(shè)為低重心式兩輪車約束矩陣的化零空間中的線性無關(guān)向量，若那么必然存在，由此可知存在一個速度向量滿足： （357）其中： 其中為低重心式兩輪車前進(jìn)方向的速度我們把方程（23）代入方程（22）中，那么方程（22）可以重新寫成下面的形式： （358）方程（24）兩邊乘以，我們可以得到以下方程： (359)由于，那么也一定成立，方程（25）可以化簡為以下形式： （360）由于變量的變化完全取決于另外四個變量，所以從控制的角度出發(fā)我們可以不必關(guān)注這兩個變量，從而我們可以把方程劃分為以下兩個方程： （361） （362）我們定義，那么根據(jù)方程（26）我們可以得到： （363）于是我們可以得到： （364）其中： 于是我們可以得到如下形式的方程： （365）其中： 本章小結(jié)完全而準(zhǔn)確的描述低重心式兩輪車在平面上的運(yùn)動時至少需要六個獨(dú)立坐標(biāo)，本章詳細(xì)的分析了這六個獨(dú)立參數(shù)的具體選取原則和定義方法，為更好的分析和控制低重心式兩輪車系統(tǒng)奠定了基礎(chǔ)。在前一節(jié)我們建立了低重心式兩輪車的完整動力學(xué)模型，得到了低重心式兩輪車動力學(xué)模型的一般形式，但是我們知道僅僅建立上一節(jié)所示的模型還僅僅不夠，為了能夠?qū)恿W(xué)模型的成果應(yīng)用在低重心式兩輪車控制策略的探索和低重心式兩輪車結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)上，甚至后邊需要對低重心式兩輪車進(jìn)行仿真的時候僅僅的到上面的模型還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，所以需要對上一節(jié)得到的低重心式兩輪車的動力學(xué)模型進(jìn)行處理，使得到的低重心式兩輪車的模型能夠適用于低重心式兩輪車控制和仿真的要求。其中： 是低重心式兩輪車的輸入向量， 其中、分別為低重心式兩輪車右輪和左輪電機(jī)的輸入力矩，為磁流變阻尼器給配重?cái)[臂的磁流變阻力矩。由分析力學(xué)的知識可以知道低重心式兩輪車的拉格朗日函數(shù) （346）根據(jù)先前的假設(shè)低重心式兩輪車在運(yùn)動過程中為純滾動并且沒有側(cè)滑，由此我們可以得到低重心式兩輪車的約束方程如下：低重心式兩輪車在運(yùn)動過程中沒有側(cè)滑的約束方程可以寫作： （347）低重心式兩輪車在運(yùn)動過程中為純滾動，即低重心式兩輪車在滾動過程中左右車輪與地面的接觸點(diǎn)的瞬時速度為零： （348） （349）將低重心式兩輪車的約束方程（348）、（349）改寫成的形式我們可以得到將廣義坐標(biāo)將其代入非完整約束的拉格朗日方程（12）我們可以得到： （350） （351） （352） （353） （354） （355）其中為三個約束方程對應(yīng)的拉格朗日乘子，為廣義力，它們可以通過虛功求得。于是,當(dāng) ≠0 時,計(jì)算剪切式磁流變液阻尼器阻尼力矩的控制方程為： （343）根據(jù)實(shí)驗(yàn)測得的阻力矩曲線，我們可以擬合得到下面的式子： （344）式中為勵磁電流。于是我們可以得到剪切式磁流變液阻尼器粘性阻尼力矩的表達(dá)式： （342）在剪切式磁流變液阻尼器阻尼片旋轉(zhuǎn)角速度以及間隙 一定的情況下，僅為 的單變量函數(shù),其表達(dá)式可通過磁流變液的剪切應(yīng)力與剪切率關(guān)系圖擬合得到。依據(jù)流體力學(xué)的理論:當(dāng)兩個平行圓盤間盛有流體,且二者以相對角速度旋轉(zhuǎn)時,如果圓盤半徑 遠(yuǎn)大于盤間距， 則可認(rèn)為剪切率是極半徑 的線性函數(shù)。為了便于計(jì)算剪切式磁流變液阻尼器磁場誘導(dǎo)阻尼力矩，我們可以作如下離散化處理:將磁流變液和阻尼盤片接觸面分成 個同心微圓環(huán),每一個微圓環(huán)上磁流變液屈服應(yīng)力可以被近似地看作是相同的, 為第個微圓環(huán)中心線上的磁流變液屈服應(yīng)力大??；每一微圓環(huán)上各點(diǎn)到對稱軸距離也被認(rèn)為是相同的, 為第 個微圓環(huán)中心線上的點(diǎn)到對稱軸的距離；為第 個微圓環(huán)面積的大小。由于阻尼器是軸對稱的,故與無關(guān),因此剪切式磁流變液阻尼器磁場誘導(dǎo)阻尼力矩僅為 的函數(shù)。 綜上所述，可以得到低重心式兩輪車車輪總的動能模型： （330）其中： 低重心式兩輪車的配重在局部坐標(biāo)系中軸方向的速度分量為： （331）其中：為低重心式兩輪車配重的質(zhì)心到兩輪軸的距離低重心式兩輪車的配重在局部坐標(biāo)系中軸方向的速度分量為： （332）低重心式兩輪車的配重在局部坐標(biāo)系中軸方向的速度分量為： （333）則低重心式兩輪車配重的速度在局部坐標(biāo)系中可以表示成如下形式： （334）則低重心式兩輪車的配重的動能模型可以表示如下： （335）其中：為低重心式兩輪車配重的質(zhì)量，為低重心式兩輪車配重的質(zhì)心到兩輪軸的距離，為低重心式兩輪車左右車輪的半徑。（2）低重心式兩輪車車輪繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動動能低重心式兩輪車左輪繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動動能： （326）低重心式兩輪車右輪繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動動能： （327）式中：為低重心式兩輪車左輪繞自身軸的轉(zhuǎn)動慣量為低重心式兩輪車右輪繞自身軸的轉(zhuǎn)動慣量（3）低重心式兩輪車車輪繞直徑的轉(zhuǎn)動動能低重心式兩輪車左輪繞直徑的轉(zhuǎn)動動能: （328）低重心式兩輪車右輪繞直徑的轉(zhuǎn)動動能： （329）其中：為低重心式兩輪車左輪繞其豎直直徑的轉(zhuǎn)動慣量。由上圖分析可得： （323）式中： R——車輪半徑(m)，根據(jù)前面的假設(shè)可知左右車輪的半徑相等；——低重心式兩輪車左側(cè)車輪的轉(zhuǎn)速(rad/s)；——低重心式兩輪車車體轉(zhuǎn)角(rad)。（1） 低重心式兩輪車車輪的質(zhì)心平動動能圖32 左側(cè)車輪速度分解圖圖中x方向?yàn)槌跏紩r刻小車前進(jìn)方向，y方向?yàn)槌跏紩r刻小車車輪軸向，z方向?yàn)樨Q直向上（在上圖中是垂直于紙面向外的方向）。根據(jù)理論力學(xué)的知識低重心式兩輪車車輪部分的動能可以分為質(zhì)心的平動動能、車輪繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動動能和車輪繞豎直中心軸(z軸)的轉(zhuǎn)動動能。低重心式兩輪車車體的動能主要包括左右車輪的動能和車架的動能。 低重心式兩輪車動能模型通過前面的敘述我們可以發(fā)現(xiàn)低重心式兩輪車的質(zhì)量主要可以分為兩部分：一部分是半徑為R勻質(zhì)球殼的質(zhì)量，一部分是通過長度為的連桿接于轉(zhuǎn)軸處的質(zhì)量為的配重的質(zhì)量。寫成數(shù)學(xué)表達(dá)式的形式如下所示： （320）