【正文】 到將廣義坐標將其代入非完整約束的拉格朗日方程（12）我們可以得到： （350） （351） （352） （353） （354） （355）其中為三個約束方程對應(yīng)的拉格朗日乘子，為廣義力，它們可以通過虛功求得。將求得的方程（350）—（355）寫成矩陣的形式，我們可以得到低重心式兩輪車的動力學模型如下： （356）其中是的對稱正定慣性矩陣， 是離心力和科氏力向量，為廣義力向量，為約束力矩陣。其中： 是低重心式兩輪車的輸入向量， 其中、分別為低重心式兩輪車右輪和左輪電機的輸入力矩，為磁流變阻尼器給配重擺臂的磁流變阻力矩。為拉格朗日乘子向量。在前一節(jié)我們建立了低重心式兩輪車的完整動力學模型，得到了低重心式兩輪車動力學模型的一般形式，但是我們知道僅僅建立上一節(jié)所示的模型還僅僅不夠，為了能夠?qū)恿W模型的成果應(yīng)用在低重心式兩輪車控制策略的探索和低重心式兩輪車結(jié)構(gòu)的設(shè)計上，甚至后邊需要對低重心式兩輪車進行仿真的時候僅僅的到上面的模型還遠遠不夠，所以需要對上一節(jié)得到的低重心式兩輪車的動力學模型進行處理，使得到的低重心式兩輪車的模型能夠適用于低重心式兩輪車控制和仿真的要求。對低重心式兩輪車完整動力學模型進行處理的一個主要任務(wù)就是消去引入的拉格朗日乘子，得到廣義坐標的狀態(tài)函數(shù)。為了消去引入的拉格朗日乘子向量，我們設(shè)為低重心式兩輪車約束矩陣的化零空間中的線性無關(guān)向量，若那么必然存在，由此可知存在一個速度向量滿足： （357）其中： 其中為低重心式兩輪車前進方向的速度我們把方程（23）代入方程（22）中，那么方程（22）可以重新寫成下面的形式： （358）方程（24）兩邊乘以，我們可以得到以下方程： (359)由于，那么也一定成立，方程（25）可以化簡為以下形式： （360）由于變量的變化完全取決于另外四個變量，所以從控制的角度出發(fā)我們可以不必關(guān)注這兩個變量，從而我們可以把方程劃分為以下兩個方程： （361） （362）我們定義，那么根據(jù)方程（26）我們可以得到： （363）于是我們可以得到： （364）其中： 于是我們可以得到如下形式的方程： （365）其中： 本章小結(jié)完全而準確的描述低重心式兩輪車在平面上的運動時至少需要六個獨立坐標，本章詳細的分析了這六個獨立參數(shù)的具體選取原則和定義方法，為更好的分析和控制低重心式兩輪車系統(tǒng)奠定了基礎(chǔ)。本章首先建立了低重心式兩輪車的動能、勢能與磁流變阻力矩的數(shù)學模型，然后通過拉格朗日乘子法建立了低重心式兩輪車的完整動力學方程，并在此基礎(chǔ)上對低重心式兩輪車的動力學模型進行了處理，給出了消去拉格朗日乘子的方法最后求出了低重心式兩輪車的狀態(tài)方程，為下一步對低重心式兩輪車的動力學模型進行仿真以驗證所建立動力學模型的準確性打下了良好的基礎(chǔ)。4 低重心式兩輪車MATLAB仿真 引言目前，動力學和運動學仿真技術(shù)己經(jīng)迅速發(fā)展，各式各樣的仿真技術(shù)和應(yīng)用軟件相繼誕生，并投入到低重心式兩輪車的設(shè)計和研究中來。由于低重心式兩輪車的設(shè)計和研究仍處于起步階段，仿真技術(shù)在兩輪自平衡機器人的應(yīng)用并不廣泛。不過，國內(nèi)外的一些學者已經(jīng)嘗試著將各種仿真技術(shù)引入到兩輪自平衡機器人的研究中來。利用仿真技術(shù)可以方便的建立機器人的虛擬樣機模型，在設(shè)計之初就可以實現(xiàn)對整個系統(tǒng)的運動分析、動力分析、載荷及應(yīng)力分析，可大大提高機器人的設(shè)計效率和質(zhì)量。仿真軟件的應(yīng)用還可以使設(shè)計更加優(yōu)化，即在計算機上修改設(shè)計缺陷，仿真實驗不同的設(shè)計方案，對整個系統(tǒng)不斷的修改，直至獲得最優(yōu)的設(shè)計方案。同時，通過用計算機仿真實驗和物理實驗相結(jié)合的辦法，可以更加科學有效的對物理樣機做出準確的評價和改型建議。MATLAB下建立低重心式兩輪車的動力學和運動學模型，并仿真其運動狀態(tài)。這種仿真方法大多以建立低重心式兩輪車的數(shù)學模型為基礎(chǔ)，通過編程技術(shù)得到低重心式兩輪車的速度和角速度等數(shù)據(jù)。MATLAB仿真技術(shù)能夠在一定程度上對前面建立的動力學模型進行有效的驗證，同時通過仿真得到的實驗數(shù)據(jù)反過來能夠有效的對低重心式兩輪車的構(gòu)型設(shè)計等具有很大的參考意見。 低重心式兩輪車MATLAB仿真分析雖然MATLAB的仿真模塊提供現(xiàn)成的狀態(tài)空間和離散狀態(tài)空間模塊來進行仿真，但是由于我們所建立的低重心式兩輪車動力學方程的系數(shù)矩陣是與狀態(tài)有關(guān)的時變矩陣，如果一味的依靠MATLAB現(xiàn)有的模塊進行仿真將十分困難，因此不宜直接引用此類模塊來構(gòu)建仿真模型。但是MATLAB同時提供了一種簡潔而高效的二次建模方法，這便是S函數(shù)。SFunction 使用一種特殊的調(diào)用格式來與MATLAB現(xiàn)有仿真模塊Simulink 的方程求解器相互作用，這與發(fā)生在求解器和內(nèi)置Simulink 模塊之間的相互作用非常相似。SFunction 的形式是非常通用的，且適用于連續(xù)、離散和混合系統(tǒng)。具體說來就是用S 函數(shù)就是語法編寫M 文件來構(gòu)成仿真模型。這樣仿真思路清晰且編程具有更高的效率，而且當模型改變時只需要在M 文件中更改與之相關(guān)的參數(shù)即可，而且S 函數(shù)可以用多種編程語言例如MATLAB、C、C++、Ada或Fortran 語言來編寫。經(jīng)過以上分析可知使用SFunction對低重心式兩輪車動力學模型進行仿真分析將會十分方便和有效，而且這種方法建立的模型復用性比較強，改動仿真參數(shù)也十分方便。 低重心式兩輪車MATLAB仿真模型描述控制系統(tǒng)動態(tài)特性的一階微分方程組是由狀態(tài)變量組成的，對于同一個系統(tǒng)，其狀態(tài)變量的選擇不是惟一的。對于式(356) 所描述的低重心式兩輪車動力學模型， 在這里可以選擇 作為其狀態(tài)向量，這樣可將式(365)所描述的二階控制微分方程組轉(zhuǎn)化為等效的一階控制微分方程組，這時可應(yīng)用S 函數(shù)建立描述系統(tǒng)動力學模型的模塊。按照上述方法分別建立描述系統(tǒng)動力學模型，就得到了低重心式兩輪車完整動力學系統(tǒng)的仿真模型，如下圖所示：圖41 低重心式兩輪車動力學MATLAB仿真模型根據(jù)低重心式兩輪車樣機具體的結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)，我們在此設(shè)定低重心式兩輪車動力學模型方程中的各已知參數(shù)如下：，。選取系統(tǒng)的狀態(tài)變量為 ，初態(tài)狀態(tài)。 低重心式兩輪車前向運動仿真分析由前面低重心式兩輪車前向運動機理分析可知，若想使低重心式兩輪車能夠前向運動，需要使低重心式兩輪車左右車輪的輸入轉(zhuǎn)矩相同，在這里設(shè)定仿真的輸入?yún)?shù)為：。圖42 前向運動x方向位移仿真分析：由上圖可以看出在固定輸入轉(zhuǎn)矩的情況下，低重心式兩輪車在x方向的位移隨時間的增加而逐漸增加，通過仿真曲線我們可以看出低重心式兩輪車的位移增長速度越來越快，同時也說明了其在x方向上的位移加速度越來越大。圖43 前向運動配重擺角圖44 前向運動配重擺角角速度仿真分析：由低重心兩輪車配重擺角隨時間變化曲線和配重擺角角速度隨時間變化曲線可以看出，在固定輸入轉(zhuǎn)矩的情況下兩輪車的配重擺角和配重擺角角速度隨時間呈現(xiàn)震蕩性變化，這充分說明了兩輪車在前向運動時配重擺動的周期性震蕩變化導致低重心兩輪車前向運動的重力矩呈現(xiàn)周期性震蕩變化，這也使得低重心式兩輪車運動不穩(wěn)。圖45 前向運動運動軌跡仿真分析：通過低重心式兩輪車前向運動軌跡曲線可以看出，前向運動過程中低重心式兩輪車的車體擺角隨時間沒有變化，一直為零，也就是說仿真過程中低重心式兩輪車一直保持前向運動而沒有轉(zhuǎn)彎出現(xiàn)，同時從運動軌跡曲線可以看出低重心式兩輪車的運動軌跡為一條直線，充分說明了固定輸入轉(zhuǎn)矩的情況下低重心式兩輪車做前向運動。 低重心式兩輪車零半徑轉(zhuǎn)向運動仿真分析由前面低重心式兩輪車前向運動機理分析可知，若想使低重心式兩輪車能夠前向運動，需要使低重心式兩輪車左右車輪的輸入轉(zhuǎn)矩大小相等方向相反，在這里設(shè)定仿真的輸入?yún)?shù)為：。圖46 零半徑轉(zhuǎn)向運動x方向位移圖47 零半徑轉(zhuǎn)向運動車體擺角仿真分析：由x方向位移隨時間變化曲線可以看出在左右車輪輸入轉(zhuǎn)矩相反的情況下，低重心式兩輪車在x方向的位移隨時間的增加而保持不變，始終為零。這充分說明了在此輸入轉(zhuǎn)矩下低重心式兩輪車x方向沒有位移。由車體擺角隨時間變化曲線可以看出隨時間變化車體擺角一直增大，這說明在此輸入轉(zhuǎn)矩下低重心式兩輪車一直在做轉(zhuǎn)向運動。 低重心式兩輪車任意半徑轉(zhuǎn)向運動仿真分析 圖48 任意半徑轉(zhuǎn)向運動運動軌跡由前面低重心式兩輪車前向運動機理分析可知，若想使低重心式兩輪車能夠做任意半徑的轉(zhuǎn)向運動需要使低重心式兩輪車左右車輪的輸入轉(zhuǎn)矩大小不等方向相同，低重心式兩輪車左右車輪輸入轉(zhuǎn)矩的差值大小決定了低重心式兩輪車轉(zhuǎn)彎半徑的大小。在這里設(shè)定仿真的輸入?yún)?shù)為：。圖49 任意半徑轉(zhuǎn)向運動配重擺角圖410 任意半徑轉(zhuǎn)向運動車體擺角仿真分析：通過以上仿真曲線可以看出，配重的擺角隨時間的變化而變化，車體的擺角也隨時間的增加而增加，低重心式兩輪車的運動軌跡是近似的圓弧，這說明低重心式兩輪車在此輸入轉(zhuǎn)矩下做的的轉(zhuǎn)彎運動，同時可以發(fā)現(xiàn)若使低重心式兩輪車做任意半徑的轉(zhuǎn)向運動在轉(zhuǎn)彎過程中需要對低重心式兩輪車左右輪的輸入力矩做相應(yīng)的改變才能使得低重心式兩輪車的運動軌跡為一個圓。為了深入的探討低重心式兩輪車任意半徑轉(zhuǎn)向運動中的參數(shù)變化，我們改變仿真參數(shù)看看低重心式兩輪車的運動軌跡會發(fā)生怎樣的變化。在這里設(shè)定仿真參數(shù)如下：。圖411 任意半徑轉(zhuǎn)向運動運動軌跡仿真分析：通過上圖可以看出在此輸入轉(zhuǎn)矩下低重心式兩輪車的運動軌跡仍然為一近似的圓弧，這也從另外一個側(cè)面說明了此時低重心式兩輪車做的仍然是轉(zhuǎn)向運動。通過與前面的仿真結(jié)果比較，可以看出此時低重心式兩輪車做的是順時針的轉(zhuǎn)向運動這充分驗證了前面的轉(zhuǎn)向機理：當?shù)椭匦氖絻奢嗆嚨淖笥逸斎朕D(zhuǎn)矩不相等的時候若左輪的輸入轉(zhuǎn)矩大于右輪的輸入轉(zhuǎn)矩時低重心式兩輪車做順時針方向的轉(zhuǎn)向；當?shù)椭匦氖絻奢嗆嚨淖筝嗇斎朕D(zhuǎn)矩小于右輪的輸入轉(zhuǎn)矩時，低重心式兩輪車做逆時針方向的轉(zhuǎn)向運動。 磁流變阻尼仿真分析為了克服低重心式兩輪車在運動過程中因配重擺角的震蕩引起的低重心式兩輪車的運動不穩(wěn)性，減小低重心式兩輪車配重擺角的震蕩，我們在低重心式兩輪車中引入了剪切式磁流變阻尼器，利用磁流變液的可控性來提供磁流變阻尼矩來調(diào)節(jié)配置擺角的震蕩，從而達到減震的效果。為了驗證磁流變的減震效果我們做了關(guān)于磁流變阻尼的仿真。仿真參數(shù)如下： 為根據(jù)低重心式兩輪車擺角角速度變化的控制阻尼力矩。圖412 磁流變阻尼仿真前向運動配重擺角圖413 磁流變阻尼仿真配重擺角角速度仿真分析：通過低重心式兩輪車的配重擺角和配重擺角角速度隨時間的變化曲線可以看出在磁流變阻尼的調(diào)解下低重心式兩輪車的配重擺角的配重擺角角速度的震蕩效果明顯減弱，除了在開始的一段時間內(nèi)配重擺角有相對于以前比較輕微的震蕩外，隨著時間的延續(xù)配重擺角逐漸保持不變漸漸穩(wěn)定下來，這充分說明通過磁流變阻尼器的調(diào)節(jié)作用在運動過程中低重心式兩輪車的配重逐漸穩(wěn)定在某一個擺角保持穩(wěn)定，避免了配重擺角震蕩引起的不穩(wěn)定性，這也充分驗證了通過磁流變阻尼器來對低重心式兩輪車配重震蕩現(xiàn)象進行調(diào)節(jié)和避免的方法在理論上的可行性和有效性。圖414 磁流變阻尼仿真前向運動運動軌跡圖415 磁流變阻尼仿真零半徑轉(zhuǎn)向運動車體擺角圖416 磁流變阻尼仿真任意半徑運動軌跡仿真分析：通過對磁流變阻尼影響下的低重心式兩輪車各個仿真曲線的分析可以發(fā)現(xiàn)，盡管加入了磁流變阻尼器但是除了對配重的擺角產(chǎn)生較大的積極影響外，磁流變阻尼器并沒有對低重心式兩輪車的其他運動參數(shù)產(chǎn)生特別明顯的影響，低重心式兩輪車的其他性能并沒有因加裝磁流變阻尼器而發(fā)生改變。而且通過比較可以發(fā)現(xiàn)經(jīng)過磁流變的調(diào)節(jié)后在相同的仿真參數(shù)下低重心式兩輪車的轉(zhuǎn)彎半徑有減小的趨勢，這從側(cè)面反映了低重心式兩輪車減震后的積極影響，充分說明了低重心式兩輪車減震的必要性與可行性。 本章小結(jié)在本章中通過利用MATLAB中的SFunction對前一章建立的低重心式兩輪車完整動力學模型建立了仿真模型。通過改變仿真參數(shù)獲得了期望中的低重心式兩輪車的配重擺角、車體擺角以及運動軌跡曲線，充分證明了所建立的低重心式兩輪車動力學模型的正確性與有效性。通過MATLAB仿真得知低重心式兩輪車的配重擺角隨時間的震蕩性變化，由于這種震蕩會對低重心式兩輪車產(chǎn)生不良影響。通過對低重心式兩輪車的磁流變阻尼仿真得知加入了剪切式磁流變阻尼器會大大減緩配重擺角的震蕩，充分說明了通過磁流變減震的可控性和可行性。結(jié) 論兩輪車是基于倒立擺模型的復雜非線性系統(tǒng)，是輪式移動機器人一個重要分支。其體積小，運動靈活，適于在狹小和危險的空間內(nèi)工作，具有重大的理論和實際意義。隨著社會的發(fā)展，兩輪車的研究與應(yīng)用必將得到越來越多的重視。本文以兩輪車為研究對象，在總結(jié)國內(nèi)外各種兩輪車構(gòu)