【正文】 t l c t w t lamp。amp。 amp。amp。q= +得到 1 1 1( ) 39。39。( ) 1 [ ( ) p q ( t) ( ) 39。( ) ]i i i i i ii i iq t l c t q t lamp。amp。 amp。amp。amp。amp。ゥ ?= = =j = h + + j邋 ? （ 534） 即 ( ) ( ) ( )2111 1 1( ) [ ( ) ] [ ( ) ]i i i i i j i jj i iq t c p l c t p q t l q tamp。amp。 amp。amp。amp。amp。w j h jゥ ?= = =ⅱ+ = + +邋 ? （ 535） 因此有 21( ) [ 39。( ) ] [ ( ) ( ) ] 0i i i i iit p l q t w q tamp。amp。amp。amp。165。=h + + j + =229。 （ 536） 同理由邊界條件 039。39。39。( , ) [ ( ) ( , ) ]w t l c t w t lamp。amp。q=+可得 21( ) [ ( ) ] [ ( ) ( ) ] 0i i i i iit p l q t w q tamp。amp。amp。amp。165。=h + + j + =229。 （ 537） 這樣單桿柔性機(jī)械手無因次動力學(xué)方程為 ( ) ( )( ) ( ) ( )2 , 1 , . . . ,j j j jt u tq t q t e p u t jamp。amp。amp。amp。hw=+ = = ? （ 538） 反帶回?zé)o因次參數(shù)，化為實際物理量表達(dá)的動力學(xué)方程。 截斷誤差，由此所導(dǎo)出的結(jié)論更加接近實際柔性機(jī)械手系統(tǒng)。即使是邊界條件發(fā)生變化，方程表達(dá)形式不變，只是動力學(xué)參數(shù)如 e,pi 有所 變化 [17]。 指出：上述解耦動力學(xué)方程是在假定剛體運動不影響柔性模態(tài)振型和模態(tài)頻率前提下導(dǎo)出柔性機(jī)械手系統(tǒng)動力學(xué)研究 26 的。事實上，剛體運動表達(dá)在柔性機(jī)械臂 振動方程的邊界條件中，按經(jīng)典模態(tài)分析理論，理論上有影響?？梢娂词故菃螚U柔性機(jī)械手，其動力學(xué)描述也是很復(fù)雜的。但是這種假設(shè)下得出的動力學(xué)方程能夠比較真實的描述實際的柔性機(jī)械手動力學(xué)行為。 假定模態(tài)的形函數(shù)選擇方法概括有 簡單多項式（ 2）有限單元法得到的特征向量解 （ 3）選擇特偵函數(shù)（ 4）模態(tài)實驗結(jié)果擬合多項式 兩個 常用假定模態(tài)是 懸梁臂 模態(tài)函數(shù)和簡支梁模態(tài)函數(shù)，他們不考慮剛?cè)徇\動耦合 對彈性變形的影響，這兩個模態(tài)函數(shù) 相對柔性機(jī)械手而言是約束模態(tài)，強(qiáng)制去掉了耦合因素。這兩個約束模態(tài)是： 懸臂梁 ( ) [ c o sh ( ) c o s sinh ( ) sinc o s c o shsin sinhc i c i c i c i c i c ic i c icic i c ix l x x k x xllkl l l lllj = +=+ （ 539） cil 滿足 1 c o s . c o sh 0ci cillll+= 簡支梁： ( ) .sinpi pipix l xiljlpl== （ 540） 柔性梁既會發(fā)生彎曲振動又會發(fā)生扭轉(zhuǎn)振動，動力學(xué)模型變得更復(fù)雜。用 ( ),txf 表示柔性梁的 位置 x 處和時刻 t 處的扭轉(zhuǎn)角，則系統(tǒng)動力學(xué)模型描述如下： ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )2424222 2 21,0, 0 39。 , 0 0 , , 0 0, 39。39。39。 ,39。 , 39。39。 , 1, 39。 , 0y t x y t xEIxtttt x t xGJtxy t y t ty t l EI y t l ly t l M EI y t l tt l G J t lamp。amp。amp。amp。amp。amp。amp。amp。amp。amp。qrffrkfqff抖+ = 抖抖=抖= = =輊輊 輊犏犏 犏犏+ = 犏犏 犏犏臌臌臌 （ 541） 這里 M 是正定的慣性矩陣 青島科技大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 27 200 z x zx z xm m eJJMm e J J m e輊犏犏犏=犏 +犏犏臌 （ 542） GJ 是柔性梁 的扭轉(zhuǎn)剛度， pk178。是柔性梁單位長度的質(zhì)量極慣性矩， ,x z xzJ J J 是負(fù)載質(zhì)量對各 慣量軸的慣性矩和慣性積， 考慮水平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)細(xì)長柔性梁，桿長為 l 單位長度的質(zhì)量密度為ρ各 處的抗彎剛度為 EI，扭轉(zhuǎn)剛度為 GJ，一端固連在電機(jī)軸上，一端連接剛性負(fù)載。定義慣性笛卡爾坐標(biāo)系 0 0 0xyz ，Z0 與電機(jī)軸重合，定義牽連旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系 1 1 1xyz ， Z1 與 Z0 重合Θ（ t）表示旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)角。 圖 55單桿柔性機(jī)械手彎曲和扭轉(zhuǎn) Fig. 55 Bending and torsion of a single rod flexible manipulator Q 表示末端剛性負(fù)載質(zhì)量中心， P 表示柔性梁末端的切線與通過剛性負(fù) 載質(zhì)量中心垂直平面的交點， c 表示柔性梁末端的到 P 點的距離， e 表示 PQ 之間的距離，定義末端剛性負(fù)載連體坐標(biāo)系 2 2 2xyz ，其中 X2 是柔性梁末端切線，仍然在水平面內(nèi)，它相對于 X1 軸的轉(zhuǎn)角Θ 1 表示，在運動過程中剛性負(fù)載相對剪切中心軸 PX2 像倒擺一樣做扭轉(zhuǎn)振動，定義負(fù)載對 PX2 軸的扭轉(zhuǎn)較為Θ，軸 22yz 也跟隨剛性負(fù)載做扭轉(zhuǎn)振動。負(fù)載為剛性的，用質(zhì)量m 慣性力矩 J0 和 Je 描述， J0 是剛性負(fù)載對平行于 PZ2 的中心慣量主軸 QZ2’的慣性 力矩，JE 是負(fù)載對平行于 PX2 的中心慣量主軸 QX2’的慣性力矩。讓 w(t,x)和Φ（ t,x）分別表示柔性梁在時刻 t 和位置 x 處相對坐標(biāo)軸 11xy 的橫向變形和扭轉(zhuǎn)位移，假設(shè)均為小量，材料各向同性梁的橫向彎曲振動方程 2 2 41 1 12 4 4( , ) ( , ) ( , )x 2 ( )w t x E I w t x E I w t x x t y zt t X X q抖 ?+ + = 抖抖 amp。amp。d rr （ 543） 柔性機(jī)械手系統(tǒng)動力學(xué)研究 28 其中柔性梁阻尼常數(shù) 0d ，關(guān)節(jié)的角加速度 ()tamp。amp。q ， 在 x=0 處邊界條件w(t,0)=0,w’(t,0)=0,w’(t,l)=Θ（ l,t）扭轉(zhuǎn)力矩 T(t,x)=GJδΦ (t,x)/δ x 假設(shè)梁在扭轉(zhuǎn)振動時材料各向同性 ,內(nèi)部粘性阻尼常數(shù)同彎曲振動時一樣，扭轉(zhuǎn)振動方程 2 3 22 2 2 2 2( , ) ( , ) ( , )20t x G J t x G J t xt t x x秄 秄 秄 d =秗 k 抖 r k ? （ 544） 其中 pk178。是柔性梁單位長度質(zhì)量及慣性矩，邊界處有Φ (t,0)=0，Φ (t,l),Φ (t,l)=Φ (t)柔性梁彎曲振動和扭轉(zhuǎn)振動通過末端負(fù)載運動相互耦合，由拉格朗日得末端負(fù)載運動方程。末端負(fù)載動能K= 2 2 201 1 1[ ( , ) ] [ ( ) 39。( , ) ] [ ( ) ( ) ( , ) ] 39。( , ) ( , ) ]2 2 2J t l J t w t l m l c t w t l c w t l e t lamp。 amp。 amp。amp。 amp。 amp。qqe f + + + + + + + f（ 545） 項① 繞質(zhì)量中心慣性主軸 QX’2 旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動動能） 項②（中心慣性主軸 QZ’2 的轉(zhuǎn)動動能） 項③（負(fù)載質(zhì)量中心平動動能）對于末端負(fù)載的運動，可以用 ( ) ( ), , 39。 ,y t l y t l和 ( ),tlf 作為廣義坐標(biāo)來描述。相應(yīng)的廣義力是剪力 ( )39。39。39。39。 ,EIy t l )彎曲力矩 ( )39。39。 ,Iy t l ，扭轉(zhuǎn)力矩 ( )39。,GJ t lf 若繼續(xù)考慮各自內(nèi) 部 相 應(yīng) 方 向 的 粘 滯 阻 尼 ， 則 相 應(yīng) 廣 義 力 分 別 為( ) ( ) ( ) 39。39。( , 0)mJ t t t E Iw tamp。amp。 amp。qq+ x = t + 這里 Jm—— 電機(jī)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動慣量，ξ —— 電機(jī)的摩擦阻尼系數(shù)，τ（ t） —— 電機(jī)產(chǎn)生作用力矩， ( )39。39。 ,0EI tw —— 柔性梁對電機(jī)軸反作用彎曲力矩。 同一條線體上它的鉛垂軸和水平軸都通過桿連為“一體”的連桿機(jī)械手在一條線體上其主動電機(jī)只有兩個，成本大大降低。 力學(xué)方程 =M C K Qf f f++ 式中 M—— 系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣， C—— 系統(tǒng)的阻尼矩陣， K—— 系統(tǒng)的剛度矩陣 ， Q—— 系統(tǒng)的廣義力陣列，Φ —— 系統(tǒng)的廣義坐標(biāo) 采用有限元法、假設(shè)模態(tài)法、奇異攝動法得出不同形式的動力學(xué)方程，有限元法推導(dǎo)出線性和非線性動力學(xué)方程；假設(shè)模態(tài)法得出高度非線性的積分微分方程；采用奇異攝動法導(dǎo)出雙時標(biāo)動力學(xué)模型，利于控制算法實現(xiàn)。 Kane 方程描述對應(yīng)于每一個廣義速率的廣義主動力與廣義慣性率之和等于零。 Fl+Fl’=0(l=1,2,......,6+n)式中 Fl’和 Fl 分別為系統(tǒng)的廣義主動力和廣義慣性力。 手臂連桿長度遠(yuǎn)大于其截面尺寸，建模過程可忽略二者影響。柔性關(guān)節(jié)和連桿之間存在耦合作用。 數(shù)值仿真分析 平面柔性兩連桿動力學(xué)方程進(jìn)行數(shù)值求解得到動力學(xué)響應(yīng)曲線，仿真步驟如下： 給定系統(tǒng)各部件結(jié)構(gòu)參數(shù)，給定驅(qū)動力矩 青島科技大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 29 調(diào)用 Mthematica 求解子程序 調(diào)動動力學(xué)方程各子塊計算程序 組裝動力學(xué)方程 調(diào)用四階龍格庫塔積分求解動力學(xué)方程廣義坐標(biāo)變量 繪制各參量動力學(xué)響應(yīng)曲線 模型結(jié)構(gòu)參數(shù) 柔性連桿長度為： l1=,l2=,密度ρ =179。 連桿的截面積為：4 2 4 2129 .0 1 0 , 4 .0 1 0 ,s m s m= ? ? 連桿抗彎強(qiáng)度為：3 2 2 21. 42 10 , 2. 8 10 ,E I N m E I N m= 醋 = 醋， 輸入驅(qū)動力矩為： 1220 / , 6 / ,N m N mtt== 設(shè)定初始條件為 1 2 1 2 1 244 , 56 , 0a a b bqq= ? ? = = = 數(shù)值及仿真結(jié)果分析： 說明一：相鄰連桿間為理想約束，忽略關(guān)節(jié)約束處摩擦力和阻尼力 說明二：初始狀態(tài) 各連桿有重力作用，連桿初始變形不為零，假設(shè)連桿初始彈性變形為零 圖 56連桿 1末端在 x、 y方向位移隨時間變化曲線 Fig 56 The displacement curves of the end point on Rod one at x and y directions 柔性機(jī)械手系統(tǒng)動力學(xué)研究 30 圖 57連桿 2末端在 x、 y方向位移隨時間變化曲線 Fig57 The displacement curves of the end point on Rod two at x and y directions 圖 58轉(zhuǎn)角θ 1θ 2隨時間變化曲線 The changing curves ofθ 1andθ 2 along with the time 圖 59轉(zhuǎn)角 12amp。 amp。qq、 、 隨時間變化曲線 The changing curves of 12amp。 amp。qq、 、 along with the time 青島科技大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 31 圖 510 模態(tài)坐標(biāo) a a2隨時間變化曲線 Fig. 510 The changing curves ofa a2 along with the time 圖 511 轉(zhuǎn)角加速度 12amp。amp。qq、 、 隨時間變化曲線 Fig. 511 The changing curves of 12amp。amp。qq、 、 along with the time 圖 512 模態(tài)坐標(biāo) b b2隨時間變化曲線 The changing curves ofb b2 along with the time 柔性機(jī)械手系統(tǒng)動力學(xué)研究 32 本章小結(jié) 建模主要參考了一下相關(guān)文獻(xiàn)，多種建模方法涉及多種動力學(xué)結(jié)構(gòu)學(xué)理論。非線性的建模存在一些難度 ,本章只研究了兩度自由系統(tǒng)的機(jī)械手。采用有限元法、假設(shè)模態(tài)法 得出不同形式的動力學(xué)方程，有限元法推導(dǎo)出線性和非線性動力學(xué)方程 ，進(jìn)行了一些模態(tài)仿真。