【文章內容簡介】 maxN? {3， 9? } ． （ 24） 證 任給 0?? ，取 maxN? {3， 9? }。據分析，當 nN? 時有 （ 23） 式成立。于是 本題得證。 注 本題在求 N 的過程中， （ 22） 式中運用了適當放大的方法，這樣求 N 就比較方便。但應注意這種放大必須適當，以根據給定的 ? 能確定出 N 。又 （ 24） 式給出的 N 不一定是正整數。一般地，在定義 1 中的 N 不一定限于正整數，而只要它是正數即可。 【例 2】證明數列 ???? ,1,34,23,2 nn ?收斂于 1。 證明：對 0??? ，要使得 ?????nnn 111，只須 ?1?n ，所以取 ??????? ?1N，當 Nn? 時，有????? nnn 111 ，所以 11lim ???? nnn 。 注 1： ? 是衡量 nx 與 a 的接近程度的，除要求為正以外，無任何 限制。然而，盡管 ? 具有任意性，但一經給出，就應視為不變。（另外， ? 具有任意性，那么 2,2,2 ??? 等也具有任意性，它們也可代替 ? ） 2： N 是隨 ? 的變小而變大的，是 ? 的函數，即 N 是依賴于 ? 的。在解題中， N 等于多少關系不大，重要的是它的存在性，只要存在一個 N ，使得當 Nn? 時，有 ???axn就行了，而不必求最小的 N 。 【例 3】證明 1lim 22 ???? nann。 證明：對 0??? ，因為nanann an an222222)(1 ?????? （此處不妨設 0?a ，若 0?a ，顯然有 1lim 22 ???? nann） 所以要使得 ???? 122n an，只須 ??na2 就行了。 黑河學院學士畢業(yè)論文（設計） 5 即有 ?2an? . 所以取 ][ 2?aN? ，當 Nn? 時，因為有 ??na2 ? ???? 122n an，所以 1lim 22 ???? nann。 注 3：有時找 N 比較困難，這時我們可把 axn? 適當地變形、放大（千萬不可縮?。。?，若放大后小于 ? ，那么必有 ???axn 。 在求數列極限時，常需要使用極限的四則運算法則。 應用四則運算求數列極限 四則運算法則 若 {}na 與 {}nb 為收斂數列，則 {}nnab? ， {}nnab? ， {}nnab? 也都是收斂數列，且有 lim( )nnn ab?? ??lim limnnnnab?? ??? lim( )nnn ab?? ? lim limnnnnab?? ????． 特別當 nb 為常數 c 時有 l i m ( ) l i mnnnna c a c? ? ? ?? ? ?， lim limnnnnca c a?? ???． 若再假設 0nb? 及 lim 0nn b?? ?，則 {}nnab 也是收斂數列，且有 l i m l i m l i mnnnn n nna abb? ? ? ? ? ???． 【例 4】 求 lim 1nnn aa?? ?，其中 1a?? ． 解 若 1a? ，則顯然有 1lim 12nnn aa?? ??； 若︱ a ︱ 1? ，則由 lim 0nn a?? ?得 lim 1nnn aa?? ? lim lim 1)nnnnaa?? ??? ?? ? ?0； 若︱ a ︱ 1? ，則 黑河學院學士畢業(yè)論文（設計） 6 lim 1nnn aa?? ?? 1lim11nna?? ??110? 1? ． 【例 5】 求 lim (s in 1 s in )n nn?? ?? 解，用有理化法，得 lim (s in 1 s in )n nn?? ?? = 11l i m 2 c o s s i n22nn n n n??? ? ? ? 因為 1cos 12nn??? ??，而 1lim 2nnn???? 有理化得 1lim 02 ( 1 )n nn?? ??? 所以 1lim sin 2nnn????sin0 0??， 故 lim ( sin 1 sin ) 0n nn?? ? ? ?． 【例 6】 求 2223lim( 1)n nn?? ?? 解 2223lim( 1)n nn?? ??= 2223lim 21n nnn?? ???= 2232lim 211nnnn?????= 223lim(2 )21lim(1 )nnnnn??????? = 223lim 2 lim21lim 1 lim limnnn n nnnn? ? ? ?? ? ? ? ? ????= 20 21 0 0? ??? ． 單調有界定理 有界數列的定義 定理 1 若數列 na??收斂，則為 na??有界數列，即存在正整數 M ， 使得對一切正整數 n 有 ︱ na ︱ ≤ M 證明 設 limnn aa?? ?。根據數列極限的定義，對于 1?? 存在正整數 N ，使得對于一切nN? 有 不等式 1naa? ??? 即 11na a a? ? ? ? 黑河學院學士畢業(yè)論文（設計） 7 記 maxM? {︱ 1a ︱，︱ 2a ︱， ，︱ Na ︱，︱ 1a? ︱，︱ 1a? ︱ }，那么對一切正整數 n 都滿足不等式︱ na ︱ M? ． 這就證明了數列 {}na 是有界的。 注 有界性只是數列收斂的必要條件，而非充要條件。例如數列 {( 1)}n? 有界，但它并不收斂。那什么條件才是充要條件呢，接下來第三章將會介紹。 【例 7】 判斷數列 12 ， 23 ，?， 1nn? ，? 是否有界。 解 因為存在 1M? ，使得對于一切 na 都滿足不等式 ︱ 1nn? ︱ ≤ 1，故數列1nn???????有界。 【例 8】 判斷數列 ??2n 是否有界。 解 因為當 n 無限增大時 2n 可超過任何正數，所以數列 ??2n 無界。 定理 2 單調有界定理 （實數連續(xù)性） 在實數系中，有界的單調數列必有極限． 證 不妨設 {}na 為有上界的遞增數列 ．由確界原理，數列 {}na 有上界，記supa? {}na ．下面證明 a 就是 {}na 的極限。事實上，任給 0?? ，按上確界的定義，存在數列 {}na 中某一項 Na ，使得 Naa??? 。又由 {}na 的遞增性，當 nN? 時有 a?? Na? ≤ na 另一方面，由于 a 是 {}na 的一個上界，故對一切 na 都有 na a a ?? ? ? 。所以當 nN? 時有 na a a??? ? ? ?， 這就證得 limnn aa?? ?。同理可證有下界的遞減數列必有極限，且其極限即為它的下確界。 公理的幾何意義十分明顯 .若數列 { na }單調增加有上界，設 na 在數軸上的對應點是 n? . 當 n 無限增大時，點 n? 在數軸上向右方移動，因為有上界，所以這些點必無限地趨近于某個點 ? .設 ? 的坐標為 a ，則 a 就是數列 {na }的極限 . 例如： 1 2 1 12 , 2 , , 2 , ,nna a a a a ?? ? ? ? ?研究數列 {}na 的收斂。 首先數列 {}na 是單調上升： 1nnaa?? ，這可以用數學歸納法予以驗證。 其次 ，同樣可以驗證數列 {}na 有界， 2na? ． 因此由這個知 ， 數列 {}na 必收斂。 該定理用來判別 數列 是否收斂 ，不用刻意地和常數聯(lián)系在 一起就可以判別某些數列 講解 的收斂問題，或解決極限的存在問題，為理論上探討數列的收斂問題奠定了基礎，隨著