函數項級數一致收斂的判別(5049)(編輯修改稿)
2025-06-12 01:47 本頁面
【文章內容簡介】 通過分析級數本身的結構和組合特點，并對相關的判別法進行比較，選擇最恰當的方法，下面給出Cauchy判別法。三 利用Cauchy準則判別定理2[3] 函數項級數在區(qū)間上一致收斂的充要條件為：對任意給定的存在正整數，使得當時，對一切和任意的，都有: .或例3 證明：函數項級數在區(qū)間上一致收斂證 .即 要使不等式= 解得 取 N=，于是，N=，，有 ,即級數在區(qū)間上一致收斂。通過上文的幾個例題，我們可以看出，判別函數項級數的一致收斂性的方法有很多，這就要求大家在平時學習時，要學會善于總結。在做題目的過程中，我們會發(fā)現有這樣一類級數，它們可以通過各項的特點來判別，比如對級數的通項進行適當放大，這樣就會顯得更加簡便，下面給出利用weierstrass判別法。四 利用weierstrass判別法定理3 [4] 設函數項級數定義在數集上，為收斂的正項級數，若，每一項滿足 ，則函數項級數在數集上一致收斂.例4 證明：函數項級數在閉區(qū)間上一致收斂.證 對通項求導，令得出全部極值可疑點，1，,因為所以，為在上的最大值，因此， 又收斂，故由M判別法知，函數項級數在上一致收斂.注意 定理3是一種很簡便而又有技巧性的判別法，但是這個方法有很大的局限性，即用它判別的函數項級數不僅一致收斂，而且還是絕對收斂的。但如果函數項級數是一致收斂的，并且它還是條件收斂的，此時運用定理3進行判別就會失效。[5
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