20xx數(shù)學分析中的一致收斂及其應用初稿(編輯修改稿)
2025-01-17 01:20 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 式判別法和根式判別法相結合,可以推出函數(shù)項級數(shù)一致收斂性的比式判別法和根式判別法,相應的可以借用P級數(shù)的收斂性和優(yōu)級數(shù)判別法得到函數(shù)項級數(shù)一致收斂性的對數(shù)判別法。
比式判別法 定理 (比式判別法) 設(x) 為定義在數(shù)集D上正的函數(shù)列,記 (x) = 存在正整數(shù)N 及實數(shù)q、M ,使得: ≤ q N , x ∈D 成立,則函數(shù)項級數(shù)在D 上一致收斂。
證明： ,而等比級數(shù)，當公比時收斂，從而由函數(shù)項級數(shù)一致收斂的優(yōu)級數(shù)判別法知，在上一致收斂. 推論3 (比式判別法的極限形式) 設為定義在數(shù)集Ｄ上的函數(shù)項級數(shù), 記, 若, 且在Ｄ上一致有界, 則函數(shù)項級數(shù)在Ｄ上一致收斂。
證明: 由則存在正整數(shù), 使得當時, 有 , 由在Ｄ上一致有界, 則對任意的正整數(shù), 及任意的, 存在正整數(shù), 使得, 令 , 則有, 而幾何級數(shù)當時收斂, 由函數(shù)項級數(shù)一致收斂的M判別法知在Ｄ上一致收斂, 得證。
例8 試證函數(shù)項級數(shù)在 ()上一致收斂。
證明: 因為 , 而 , 所以由比式判別法的極限形式知函數(shù)項級數(shù)在 ()上一致收斂。
根式判別法 定理 (根式判別法) 設為定義在數(shù)集Ｄ上的函數(shù)項級數(shù), 若, 則函數(shù)項級數(shù)在Ｄ上一致收斂。
證明 由定理條件，，成立，而幾何級數(shù)收斂，由優(yōu)級數(shù)判別法，函數(shù)項級數(shù)在上一致收斂. 例9 試證函數(shù)項級數(shù)在上一致收斂, 其中()。
證明: 設=, 因為 , 所以 由根式判別法可知函數(shù)項級數(shù)在上一致收斂。
推論4 (根式判別法的極限形式) 設為定義在數(shù)集Ｄ上的函數(shù)列, 若一致收斂于, 即, 且, ,對成立, 則函數(shù)項級數(shù)在Ｄ上一致收斂。
證明: 由一致收斂于 , 取, , 當時, 對一切有 , 所以 , 即 , 又因為 , 由M判別法知在上一致收斂。
推論5 有函數(shù)項級數(shù), 若對, 有, 則函數(shù)項級數(shù)在Ｄ上一致收斂。
例10 判別函數(shù)項級數(shù)在上的一致收斂性。
證明: 因為 , 所以由推論5知函數(shù)項級數(shù)在上一致收斂。
對數(shù)判別法 定理 (對數(shù)判別法) 設為定義在數(shù)集Ｄ上的函數(shù)列, 若有存在, 對 則函數(shù)項級數(shù)在Ｄ上一致收斂。
例11 證在上一致收斂。
證明: , 因為 , 所以由對數(shù)判別法知函數(shù)項級數(shù)在上一致收斂。
導數(shù)判別法 定理 (導數(shù)判別法) 設函數(shù)列在區(qū)間上連續(xù), 可微, 且存在一點使得在點收斂；在上一致收斂；則函數(shù)項級數(shù)在上一致收斂。
例12 設, , 證在上一致收斂。
解： 對于每一個, 易見為上的增函數(shù), 故連續(xù)且可微, 對于有, 故收斂級數(shù)為的優(yōu)級數(shù), 所以由M判別法知在上一致收斂。故原級數(shù)在上一致收斂。
連續(xù)性判別法 定理 設函數(shù)項級數(shù) 在區(qū)域Ｄ上點態(tài)收斂于, 如果 (1) ()在Ｄ上連續(xù), (2) 在Ｄ上連續(xù), (3) 對Ｄ上每個固定的, 不變號, 則 在Ｄ上一致收斂于。
例13 證明 ()的一致收斂性。
證明: 由于 , 在R上點態(tài)斂于, 在R上連續(xù), 而在R上連續(xù), 對R上每個固定的, 不變號。則由定理12知原級數(shù)一致收斂于。
推論6 設在上連續(xù), 又在上收斂于連續(xù)函數(shù), 則函數(shù)項級數(shù)在一致收斂。
例14 試證 在()內(nèi)一致收斂。
解: 對, 都有,又當充分大時單調(diào)遞減, 故連續(xù), 和函數(shù)在上連續(xù), 故由推論知在上一致收斂。
迫斂性判別法 定理 (迫斂性定理) 設, 都有成立, 且 和在I上都一致收斂于, 則在I也一致收斂于。
推論7 已知數(shù)項級數(shù), 都收斂, 若存在, 當時有 , 則函數(shù)項級數(shù)于Ｄ一致收斂。
(顯然, 當, 則為常數(shù)項級數(shù), 則可判斷收斂)。
推論8 設函數(shù)列{}, , , 在單調(diào), 且及都絕對收斂, 則級數(shù)在上一致收斂。
M判別法的推論 推論9 設有函數(shù)項級數(shù), 存在一收斂的正項級數(shù)使得對, 有(), 則函數(shù)項級數(shù)在區(qū)間一致收斂。
證明: 已知(), 即有 , 即 , 從而 , 又因為收斂, 則也收斂, 由M判別法得函數(shù)項級數(shù)在區(qū) 間上一致收斂。
注意 我們知道廣義調(diào)和級數(shù), 當時是收斂的, 故當時, 則有下列推論： 推論10 設函數(shù)項級數(shù), 若存在, ,則函數(shù)項級數(shù)在區(qū)間一致收斂。
例15 證明函數(shù)項級數(shù)在上是一致收斂的。
證明: 對于, 存在收斂的正項級數(shù), 且 , 由推論10知函數(shù)項級數(shù)在上是一致收斂的。
3. 關于函數(shù)項級數(shù)一致收斂的三個重要判別法 阿貝爾判別法 定理5 (Able判別法) 定義在區(qū)間上的函數(shù)項級數(shù) (4) (1)
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