【文章內容簡介】 很顯然下一步我們要去掉絕對值，于是當時，數(shù)列為等差數(shù)列，由公式,∴；當時，數(shù)列是等差數(shù)列，這里的首項是，共有項，∴∴到此問題就全部解決了。從某種意義上說，這里我們只是再認了一個由舊問題“喬裝打扮”而成的新問題而已，需要提醒的是用等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和公式時，一定要看清數(shù)列的哪些項構成等差數(shù)列或等比數(shù)列。在第（2）問的求解中，或時，都可以用等差數(shù)列的前項和公式，但當時，不要誤求為數(shù)列的前2項和；當時，數(shù)列的首項為，項數(shù)為，不要誤求為項的和，也不要誤求為項的和。能力考察：已知數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，是其前項和，且成等差數(shù)列。（1）求公比；（2）設，求 錯位相減法求和方法引導：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應項的乘積組成的，此時可把式子的兩邊同乘以公比，得到，兩式錯位相減整理即可求出。利用錯位相減法求和是一種非常重要的求和方法，這種方法的計算過程較為復雜，對計算能力的要求較高，應加強訓練，并注意通過訓練，掌握在錯位相減過程中幾個容易出錯的環(huán)節(jié)。下面就來看看錯位相減法求和是怎么一回事。例2 已知數(shù)列是首項、公比都為的等比數(shù)列，. （1）當時，求數(shù)列的前項和（2）當時，若，求的最小值。選題意圖：從一看便知，此題是借著對數(shù)模型發(fā)揮，綜合考查學生對于與之間的關系的理解、錯位相減法的應用、以及比較大小的處理方法。構造簡單，思路也很明顯，對于大多數(shù)同學來說，容易接受。也希望通過此題讓同學們類比函數(shù)模型與數(shù)列結合這一類問題的解題思路。解析：等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和，對于我們來說是很容易的，畢竟我們有現(xiàn)成的公式可以套用，那么如果把等差與等比數(shù)列糅合在一起，導致項與項之間沒有了明顯的關系，你還能作出來嗎？錯位相減法，就是為了培養(yǎng)和訓練學生的“創(chuàng)造”思想的。依然分析一下問題，第一問想求數(shù)列的前項和，想求，就得求，想求就得求，這里依然遵循“從基本的想法試下去”這一原則，所以由題得,∴,∴，要求出,關鍵是求出.故可設，①（這里出現(xiàn)了運用錯位相減法的時機）故，②于是由①②得∴到此第一問運用錯位相減法就解決了。而第二問是解不等式，對于解不等式，我們常常能想到是作差和相除，不妨我們嘗試一下相除，∵∴，于是，即取時。當然也可通過作差的方法，建立關于的不等式，求出的取值范圍，即∵∴，此處的式子乍一看很復雜，其實仔細分析一下就變成了的樣子。∴，即取時，故所求的的最小值是15，結論與上所求一致。此類問題應該從整體進行觀察、分析、處理，從全局把握條件與結論間的聯(lián)系，抓住問題的本質，使問題變得簡潔、明晰，從中發(fā)現(xiàn)解決問題的辦法，即“整體化策略”。 能力考察：已知函數(shù)滿足且（1）當時，求的表達式；（2）設，求證：；（3）設為的前項和，當最大時，求的值。 數(shù)列求和的其他方法方法引導：數(shù)列求和的方法有很多，這里再重點說說倒序相加法、裂項相消法、并項轉化法這三種方法。所謂倒序相加法即如果一個數(shù)列，與首末兩項等距離的兩項之和等于首末兩項之和，可采用把正著寫和倒著寫的兩個式子相加，就得到一個常數(shù)列的和，進而求出數(shù)列的前項和。當然運用倒序相加法求和具有一定的局限性，只有與首尾兩項等距離的兩項之和是常數(shù)時才可以用。而裂項相消法就是把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時一些正負項相互抵消，于是前項和變成首尾若干少數(shù)項之和，從而求出數(shù)列的前項和。這里列舉了一些常用的裂項技巧：（1）（2）（3）（4）（5）（6）最后看看并項轉化法，即在求數(shù)列的前項和時，如果一個數(shù)列的項是正負交錯的，尤其是當各項的絕對值又構成等差數(shù)列時，可以先將相鄰的兩項或幾項合并，然后再利用其他相關的方法進行求和。說了這么多，接著我們來看看下面的這道例題。例3 二次函數(shù)，當時，的函數(shù)值中所有整數(shù)值的個數(shù)為，則A. B. C. D.選題意圖：此題依然是將數(shù)列問題“嫁接”在函數(shù)的“樹干”上，對于此類問題的解決，一定要從函數(shù)的思想方法入手，深入研究，找出那些被函數(shù)所隱藏的信息。只要找出了“隱藏性信息”，剩下的就是對學生的運算能力的考察。同時本題對于并項轉化法求和的訓練也是相當?shù)挠猩疃鹊?，希望同學們能體會。解析：先考慮的對稱軸為，即在時，函數(shù)為增函數(shù)。故當時，函數(shù)的值隨的增大而增大，則的值域為，∴.既然已經求出。下面要分析一下的構造，由于受的影響，必須對其進行討論，故先考慮當為偶數(shù)時，再考慮當為奇數(shù)時，∴，故選A。注意在利用并項轉化法求和時，由于數(shù)列的各項是正負交替的，所以一般需要對項數(shù)進行分類討論，但最終的結果卻往往可以用一個公式來表示。能力考察：：設函數(shù)，若已知，且數(shù)列滿足，則數(shù)列的前項和= 第三講：數(shù)列與函數(shù)、不等式、解析幾何的綜合問題授課題目數(shù)列與函數(shù)、不等式、解析幾何的綜合問題課型習題課年級高三教學目標知識與技能使學生了解數(shù)列與函數(shù)、不等式、解析幾何之間的關系，掌握這類題型的解題思路和常規(guī)解題方法，讓學生體會數(shù)學知識間的聯(lián)系.過程與方法結合實例，通過觀察、分析、歸納、猜想，讓學生經歷數(shù)列與函數(shù)、不等式、解析幾何綜合問題的解題過程，發(fā)現(xiàn)此類問題的命題特點與考查方式，以及體驗函數(shù)與方程、轉化與化歸、分類討論等數(shù)學思想.情感、態(tài)度與價值觀在解決實際問題的過程中，體會如何去分析問題、解決問題，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，培養(yǎng)學生的綜合能力.學情分析本節(jié)課的學習是對以前所學知識的一個總結與考查，學生對于數(shù)列、函數(shù)、不等式、解析幾何的相關知識也已經相當熟悉，然而將這些知識綜合起來，題型是什么樣的，到底會如何考查，基本的解題思路是什么，該如何分析問題，從何處下手等問題，是每個學生的困惑，而且由于學生對知識間的聯(lián)系不夠清楚，雖然具有一定的分析和解決問題的能力，邏輯思維能力也已經形成，但缺乏冷靜、深刻，思維上具有片面性、不嚴謹?shù)奶攸c，對問題解決的一般性思維過程認識比較模糊等情況，往往會導致解題失敗. 教學重點與難點熟練掌握函數(shù)、不等式、解析幾何、數(shù)列所涉及的各個知識點，能熟練運用這些知識點，以及有一定的綜合運用能力，能掌握知識間的內在聯(lián)系.教學方法講授法教具粉筆、直尺 數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題方法引導：數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù)，數(shù)列的通項公式相當于函數(shù)的解析式，我們可以用函數(shù)的觀點來研究數(shù)列。例如要研究數(shù)列的單調性、周期性，可以通過研究其通項公式所對應函數(shù)的單調性、周期性來實現(xiàn)，但要注意數(shù)列與函數(shù)的不同，數(shù)列只能看作是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù)，在解決問題時要注意這一特性。由于在等差數(shù)列的通項公式中，是關于的一次函數(shù)，在前項和公式中，是關于的二次函數(shù)，在等比數(shù)列的通項公式中，和的關系類似于指數(shù)函數(shù)，所以等差數(shù)列與一次函數(shù)、二次函數(shù)，等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)有著密切的關系。一方面我們要了解這種關系，另一方面也要能夠利用數(shù)列與函數(shù)的這種關系解決問題。由于圖像是函數(shù)的一種重要表示形式，所以有些數(shù)列問題借助其對應函數(shù)的圖像可以得到直觀形象的解答，同時有些函數(shù)問題，例如求函數(shù)解析式，也可以借助數(shù)列中的相關知識進行求解。而數(shù)列與不等式的綜合問題是高考考查的熱點內容。考查方式主要有三點，一是判斷數(shù)列問題中的一些不等關系，二是以數(shù)列為載體，考查不等式的恒成立問題，三是考查與數(shù)列問題有關的不等式的證明問題。在解決這些問題時，要充分利用數(shù)列自身的特點，例如在需要用數(shù)列的單調性的時候，可以通過比較相鄰兩項的大小進行判斷。當然這節(jié)的學習，可以幫助我們檢查自己對于以前學習過的知識的掌握程度。例1 已知二次函數(shù)同時滿足：①不等式的解集有且只有一個元素；②在定義域內存在，使得，但。設數(shù)列的前項和。（1）求的表達式；（2）求數(shù)列的通項公式；（3）若，數(shù)列的前項和為對恒成立，求的取值范圍。選題意圖：此題將函數(shù)、不等式與數(shù)列融合在一起進行考查，綜合考查了不等式、函數(shù)的性質、數(shù)列的通項公式、數(shù)列的求和等知識。內容豐富，知識點也比較多，通過此題的解答過程，想給同學們一些啟發(fā)。使同學們在以后的學習中善于總結知識間的聯(lián)系。當然裂項法求數(shù)列的和，也是我們必須掌握的技能。解析：解決這類問題，同學們一定要在題目的文字中理解出一個“表征方式”，可以是語義的、表象的、圖式的、圖表的，這里對于問題在學生頭腦中的“表征方式”就起著很重要的作用。依然是先分析一下問題，第一問求的表達式，關鍵是求出的值，從題目已知的條件①不等式的解集有且只有一個元素，再結合一元二次函數(shù)的性質我們或許可以得到一些啟示，嘗試一下?！叩慕饧星抑挥幸粋€元素，也就是說圖像與軸只有一個交點。∴或這里解出了的值。再看看條件②說在定義域內存在，使得，但。故可將的值代入之后一一驗證即可。所以當，函數(shù)是一個偶函數(shù)，圖像關于軸對稱，時必有。故不存在，使得，且這里“數(shù)形結合”思想的運用，是很重要的。又當時，函數(shù)，在定義域內存在，使得，且滿足題設條件。故.對于第二問是求數(shù)列的通項公式，由條件已知，故由第一問的結果可知，這里考查與之間的關系。當時，當時，有，∴第三問又多出了兩個數(shù)列與數(shù)列，由條件知這里數(shù)列與數(shù)列可謂來勢洶洶，然而卻是一只紙老虎，我們不要自亂陣腳，來慢慢分析，∵，∴∴此題是讓我們解不等式，很顯然我們要求出，由上可知當時，觀察的形式，要考慮到用裂項求和法來求。∴數(shù)列的前項和∴即對恒成立，由于是想求出的取值，常用策略就是分離變量，于是分離變量之后可轉化為：對恒成立，此處要理解“恒成立”的意義，將問題轉化一下，其實就是考查的增減性，來找最值。∵是關于的增函數(shù)，∴當時，取最小值18，∴本題將函數(shù)、不等式與數(shù)列融合在一起進行考查，綜合考查了不等式、函數(shù)的性質、數(shù)列的通項公式、數(shù)列的求和等知識。尤其是第（3）問，需要用裂項法求數(shù)列的和，這是學習中的一個難點，需要我們慢慢體會與理解。能力考察：已知數(shù)列的前項和為，并且滿足（1）求的通項公式；（2）令，問是否存在正整數(shù)，對一切正整數(shù)，總有？若存在，求出的值；若不存在，說明理由。 數(shù)列與解析幾何的綜合問題方法引導：數(shù)列與解析幾何的綜合問題，尤其是解析幾何中的點列問題正成為高考的熱點內容。解決點列問題的關鍵