【文章內(nèi)容簡介】 則 0)4(5)22( 222 ??????? Tyyyy , 整理得 ，16888165 22 ?????? yyT 當(dāng)且僅當(dāng) 42?y 時 ,得 ，516min ?T 即 ),( yxF 的最小值是516. 在二次曲線中的應(yīng)用 (1) 二次曲線之間的位置關(guān)系 . 李永根老師在文 [11]中介紹了二次曲線的定義和性質(zhì) . 二次曲線 在平面上 ,由二元二次方程 0222 33231322212211 ?????? ayaxayaxyaxa (其中 221211 , aaa 不全為零 ) 所表示的曲線 ,叫做二次曲線 . 例 10 已知拋物線與橢圓的方程分別為 mmxy 522 ?? , 1243 22 ?? yx . 當(dāng) m 為何實(shí)數(shù)時 ,拋物線與圓相切 ,相交 ,相離 . 解 聯(lián)立拋物線方程和橢圓方程 ,整理得 0)35(483 2 ???? mmxx , 其判別式為 )35(4864 2 ???? mm , 當(dāng) 0?? 時 ,拋物線與橢圓相切 ,即 濟(jì)南大學(xué)畢業(yè)論文 8 43?m 或 3?m ； 當(dāng) 0?? 時 ,拋物線與橢圓相交 ,即 3?m 或 43?m ； 當(dāng) 0?? 時 ,拋物線與橢圓相離 ,即 343 ??m . (2) 求二次曲線方程 . 例 11 已知經(jīng)過圓錐曲線 0322 ???? yxyx 和 02 ??? yxyx 的交點(diǎn)與直線 xy 2? 相切 ,求此曲線方程 . 解 構(gòu)造函數(shù) ，)()3( 222 yxyxyxyxF ??????? ? 將 xy 2? 代入上式得 ，xxF )12()33( 2 ???? ?? 由題意得 0?F 時必有相等的根 ,所以 ，0)12( 2 ???? ? 即 21???. 將21???代 入構(gòu)造函數(shù)使其等于零即為所求圓錐曲線 , 所以所求圓錐曲線為 0362 22 ????? yxyxyx . 在二次不等式的應(yīng)用 研究二次不等式在文 [12]介紹了討論二次函數(shù) )0(2 ???? acbxaxy 0?y 或 0?y的自變量 x 的取值范圍 ,其本質(zhì)當(dāng)于回歸到二次函數(shù)中研究 . (1) 不等式的證明 . 例 12 已知： x ,y ,z 是實(shí)數(shù) ,且滿足等式 0782 ???? xyzx , 06622 ????? xyzzy , 濟(jì)南大學(xué)畢業(yè)論文 9 求證： 91 ??x . 證 由題意得 782 ??? xxyz , 662 ???? xyzzy ）（ ， 上式整理得 ，（ 222)1( 6678)?? ??????x xxxzy 即為 ，2)1( ???? xzy 因?yàn)?,t 和 z 是方程 0)78()1( 22 ????? xxtxt ? 的兩個根 ,由于 t 是實(shí)數(shù)，所以 ，0)78(4)1( 22 ??????? xxx 解得 91 ??x . (2) 不等式的有關(guān)極值 . 例 13 已知 1x 和 2x 是方程 0)53()2( 22 ?????? kkxkx (k 為實(shí)數(shù) )的兩個實(shí)根 ,求證2221 xx ? 的最大值為 19. 解 由韋達(dá)定理得 ，19)5( 22221 ????? kxx 由此得到 5?k 時 ,最大值為 19. (3) 三角不等式的證明 . 例 14 已知： 10 ??? ,求證 )c os ( a r c s in)a r c s in( c os ?? ? . 證 因?yàn)?10 ??? ,所以 ，02)]2(a r c s in[ s in)a r c s in( c os?????????? 濟(jì)南大學(xué)畢業(yè)論文 10 又因?yàn)? ，01)( a r c s ins in1)c os ( a r c s in22???????? 下面證明 ，212 ??? ??? 為此構(gòu)造一個關(guān)于 ? 的二次函數(shù) ，4 42)1()2()(22222????????????????f 這是一個關(guān)于 ? 的二次 函數(shù) ,由于二次項(xiàng)系數(shù) 大于零 , ，084424222???????????? 所以對所有 ? ,恒有 0)( ??f ,即 ，（ 222 )1()2 ??? ??? 再由 ，01,02 2 ???? ??? 得 ，212 ??? ??? 即 )c os ( a r c s in)a r c s in( c os ?? ? . 陳英飛在文 [13]中介紹了不等式通過構(gòu)造函數(shù) ,應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)來解決不等式證明 . (4) 柯西 施瓦茨不等式 . 柯西 施瓦茨不等式定理 若 naaa ,..., 21 和 nbbb ,..., 21 是任意實(shí)數(shù) ,則有 )( 1 21 221 ??? ??? ? nk knk knk kk baba ）（）（ ， 此外 ,如果某個 0?ia ,則上式中的等號當(dāng)且僅當(dāng)存在一個實(shí)數(shù) x 使得對于每一個 濟(jì)南大學(xué)畢業(yè)論文 11 nk ,2,1 ?? 都有 0?? kk bxa 成立 . 分析 在數(shù)學(xué)分析中有 柯西 施瓦茨不等式 的證明 [14],其實(shí)也可以用判別式的方法證明 . 證 當(dāng) naaa ,..., 21 全為零時 ,命題顯然成立 . 當(dāng) naaa ,..., 21 不全為零時 ,令 ，?? ?? ni ii bxay 1 2)( 即 ，??? ??? ??? ni ini iini i bxbaxay 1 211 22 )2()( 這是關(guān)于 x 的一元二次函數(shù) . 由于 012 ???ni ia, 0?y 恒成立 , 所以判別式 0?? ,即 ，0)(4)2( 1 21 221 ??? ??? ??? ni ini ini ii baba 化簡得 ，）（）（ )( 1 21 221 ??? ??? ? ni ini ini ii baba 等號 是 存在 x 使得 0?? ii bxa ),2,1( ni ?? 時成立 . 例 15 已知實(shí)數(shù) a ,b ,c ,d ,e ,滿足等式 8????? edcba , ，1622222 ????? edcba 求證 5160 ??e. 分析 這題用一般的證法比較困難 ,但是利用了柯西 施瓦茨不等式來證明較為方便 . 證 由于 22 1111 ）（）（ ??????????? dcbadcba )1111( 22222222 ??????? ）（ dcba ）（ 22224 dcba ???? , 濟(jì)南大學(xué)畢業(yè)論文 12 因?yàn)? edcba ????? 8, 22222 16 edcba ????? , 所以 )16(48 22 ee ??? ）（ . 解得 .5160 ??e 可以看出 ,一元二次方程判別式用途廣泛 ,若能在解題時準(zhǔn)確的應(yīng)用 ,會給人簡單明快的感覺 ,在解題過要注意使用條件和本質(zhì) ,有時應(yīng)分情況討論，要避免誤用、漏用 .通過對判別式的性質(zhì)和特點(diǎn) ,有效地構(gòu)造一個一元二次方程或二次函數(shù) ,使得問題簡單化 ,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識的交叉與遷移 . 濟(jì)南大學(xué)畢業(yè)論文 13 3 一元三次方程判別式的應(yīng)用 一元三次方程判別式的定理 文 [14]中介紹了可以把一個標(biāo)準(zhǔn)的一元三次方程化為下面式子 , ),(,03 Rqpqpxx ???? 其判別式記為 ，）（ 32 )3(2 pqD ?? (1) 當(dāng) 0?D ,方程有一個實(shí)數(shù)根和一對共軛虛數(shù)根； (2) 當(dāng) 0?D ,方程有三個實(shí)數(shù)根，且其中兩個相等； (3) 當(dāng) 0?D ,方程有三個不相等的實(shí)數(shù)根 . 首先，我們都知道方程 013 ??x 的三個根可以寫為 ,2 311 121 ixx ????? ?， .2 3123 ix ???? ? 關(guān)于 1的立方根的一些性質(zhì) : )1( ,212 ?? ? ；221, ?? ? )2( ；01 21 ??? ?? )3( ；121 ??? )4( .13231 ???? 我們研究三次方程 ),(02