【文章內(nèi)容簡介】 數(shù)列綜合題習題課 第 9 頁 共 36 頁 第二講： 數(shù)列的求和 授課題目 數(shù)列求和 課型 習題課 年級 高三 教學目標 知識與技能 熟悉各種求和方法的定義以及運用的條件，能熟練地運用各種求和方法來求數(shù)列的和 . 過程與方法 通過對數(shù)列的各種求和公式的運用來培養(yǎng)學生歸納、分類討論、遷移的能力 . 情感、態(tài)度與價值觀 在解決實際問題的過程中，體會如何去分析問題、解決問題，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，培養(yǎng)學生的綜合能力 . 學情分析 在本節(jié)課之前學生已經(jīng) 學習了各種求和公式的推導以及主要的求和思想，本節(jié)是對學生能否用已學知識來解決問題的一次考查。通過上節(jié)的講 解與練習，學生們已經(jīng)對等差等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識相當熟悉，各種思想方法也得到了一次訓練，對于數(shù)列求和，因為有很多方法，致使學生在解題時不知道用哪種方法，所以本文從最基本的求和方法開始講解，層層遞進地介紹了包括 錯位相減法 、 倒序相加法 、 裂項相消法 、 并項轉(zhuǎn)化法 的相關(guān)應用，符合學生的認知規(guī)律 . 教學重點與難點 會用各種求和方法進行求和，理解公式法求和，錯位相減法求和，倒序相加法求和，裂項相消法求和，并項轉(zhuǎn)化法求和的基本思想以及會靈活運用 . 教學方法 講授法 教具 粉筆、直尺 公式法求和 數(shù)列綜合題習題課 第 10 頁 共 36 頁 方法引導： 所 謂公式法，就是直接應用等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式，以及正整數(shù)的平方和公式、立方和公式等公式求解。而我們常用的幾個求和公式如下： （ 1） ? ? ? ?2 2 2 2 11 2 3 1 2 1 .6n n n n? ? ? ??? ? ? ? ? （ 2） ? ? 23 3 3 3 211 2 3 1 .4n n n? ? ? ???? ? ? （ 3） 0 1 2 n n nC C C C? ? ? ???? ? 熟練這些公式，是能求出數(shù)列前 n 項和的保障。所以公式的記憶是很重要的。 例 1 已知函數(shù) ? ? ? ?2 2 *( ) 2 1 5 7 .f x x n x n n n N? ? ? ? ? ? ? （ 1）若函數(shù) ()fx的圖像的頂點的橫坐標構(gòu)成數(shù)列 ??na ，試證明數(shù)列 ??na 是等差數(shù)列； （ 2）設函數(shù) ()fx的圖像的頂點到 x 軸的距離構(gòu)成數(shù)列 ??nb ，試求數(shù)列 ??nb 的前 n 項和nS 。 選題意圖： 此題是在數(shù)列的知識框里鑲上了函數(shù)知識，兩類知識結(jié)合的天衣無縫，即考查了數(shù)列求和的知識，又考查了函數(shù)的最值點等相關(guān)知識。這種結(jié)合在數(shù)列綜合題問題的考查中時有發(fā)生，屬于常規(guī)考法，比較典型。 解析： 首先分析問題 ,對于第一問說 ??na 是由 函數(shù) ()fx的圖像的頂點的橫坐標構(gòu)成的，這里充分的利用了數(shù)列的函數(shù)特點，成功地將數(shù)列問題“嫁接 ”在了我們已經(jīng)非常熟悉的一元二次方程的“樹干”上，這類題型在高考中很是常見，只要學生們能從熟悉的知識入手，從而聯(lián)想到一個可行的解決方案，那么接下來的事，就水到渠成了。接著看，既然說 ??na 是由 函數(shù) ()fx的圖像的頂點的橫坐標構(gòu)成的，所以我們要看看 ()fx的頂點橫坐標是什么。由 ? ? ? ? 222( ) 2 1 5 7 1 3 8 .f x x n x n n x n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????（這里還可以直 數(shù)列綜合題習題課 第 11 頁 共 36 頁 接用對稱軸為 12 ???? nabx ），于是 可得 1nan??，我們知道題目是要我們證數(shù)列 ??na是等差數(shù)列，這里只要考慮一下等差數(shù)列通項的特征，就能立即得到結(jié)果，當然如果你不放心，也可以檢驗相鄰兩項的關(guān)系， 即 ? ? ? ?1 1 1 1 1nna a n n? ? ? ? ? ? ? ?，隱藏的等差數(shù)列終于暴露出來了，到此就證明了數(shù)列 ??na 是等差數(shù)列。 而對于第二個問題，又出現(xiàn)了另一個數(shù)列 ??nb ，其實只要對第一問很熟悉，我們自己都可以“猜測”到第二問的問題，一個框架，造出來的樓也是很相似的，由上面的分析可得 3 ??很顯然下一步我們要去掉絕對值，于是 當 12n??時， 38nbn?? ? ，數(shù)列 ??nb 為等差數(shù)列， 1 5b? ，由公式 ? ?21n naanS ??, ∴ ? ? 25 3 8 3 1322n nn nnS ?? ????； 當 3n? 時， 38nbn??，數(shù)列 ??nb 是等差數(shù)列，這里的首項是 3 1b? ，共有 2?n 項， ∴ ? ? ? ? 22 2 1 3 8 3 13 2822n nn nnSS ? ? ? ??? ? ? ∴223 13 , 1 22 .3 13 28 ,32nnn nS nnn? ?? ????? ? ??? ???到 此問題就全部解決了。 從某種意義上說，這里我們只是再認了一個由舊問題“喬裝打扮”而成的新問題而已，需要提醒的是用等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和公式時，一定要看清數(shù)列的哪些項構(gòu)成等差數(shù)列或等比數(shù)列。在第（ 2）問的求解中， 12n??或 3n? 時，都可以用等差數(shù)列的前 n 項和公式，但當 12n??時，不要誤求為數(shù)列的前 2 項和；當 3n? 時，數(shù)列的首項為 3b ，項數(shù)為 2n? ，不要誤求為 n 項的和，也不要誤求為 3n? 項的和。 數(shù)列綜合題習題課 第 12 頁 共 36 頁 能力考察： 已知數(shù)列 ??na 是首項為 1 4a? ，公比為 1?q 的等比數(shù)列， nS 是其前 n 項和，且 1 5 34 , , 2a a a? 成等差數(shù)列。 （ 1）求公比 q ； （ 2）設 12nnA S S S? ? ? ????，求 .nA 錯位相減法求和 方法引導： 如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應項的乘積組成的，此時可把式子 12nnS a a a? ? ? ????的兩邊同乘以公比 q ，得到1 2 2 3n n n nq S a q a q a q a a a q a? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ?，兩式錯位相減整理即可求出 nS 。利用錯位相減法求和是一種非常重要的求和方法，這種方法的計算過程較為復雜，對計算能力的要求較高，應加強訓練，并注意通過訓練，掌握在錯位相減過程中幾個容易出錯的環(huán)節(jié)。下面就來看看錯位相減法求和是怎么一回事。 例 2 已知數(shù)列 ??na 是首項、公比都為 ? ?0, 1q q q??的等比數(shù)列，? ?*4lo gn n nb a a n N??. （ 1）當 5q? 時，求數(shù)列 ??nb 的前 n 項和 nS （ 2）當 1415q? 時，若 1nnbb?? ，求 n 的最小值。 選題意圖： 從 ? ?*4lo gn n nb a a n N??一看便知，此題是借著對數(shù)模型發(fā)揮，綜合考查學生對于 ??nb 與 nS 之間的關(guān)系的理解、錯位相減法的應用、以及比較大小的處理方法。構(gòu)造簡單，思路也很明顯，對于大多數(shù)同學來說，容易接受。也希望通過此題讓同學們類比函數(shù)模型與數(shù)列結(jié)合這一類問題的解題思路。 解析： 數(shù)列綜合題習題課 第 13 頁 共 36 頁 等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和，對于我們來說是很 容易的，畢竟我們有現(xiàn)成的公式可以套用，那么如果把等差與等比數(shù)列糅合在一起，導致項與項之間沒有了明顯的關(guān)系，你還能作出來嗎？錯位相減法，就是為了培養(yǎng)和訓練學生的“創(chuàng)造”思想的。依然分析一下問題，第一問想求 數(shù)列 ??nb 的前 n 項和 nS ，想求 nS ，就得求 ??nb ，想求 ??nb 就得求??na ，這里依然遵循“從基本的想法試下去”這一原則，所以 由題得 nnaq? , ∴ 4 4 4l o g l o g 5 l o g 5n n nn n nb a a q q n? ? ? ? ? ? ?, ∴ ? ?2 41 5 2 5 5 l o g 5nnSn? ? ? ? ? ???? ?， 要求出 nS ,關(guān)鍵是求出 nn 55251 2 ????????? . 故可設 21 5 2 5 5 nnTn? ? ? ? ? ???? ?，①（這里出現(xiàn)了運用錯位相減法的時機） 故 ? ?2 3 15 1 5 2 5 1 5 5nnnT n n ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ?，② 于是由① ? ②得 ? ?2 3 1 15 5 14 5 5 5 5 5 54nn n nnT n n???? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ∴ ? ? ? ?4554 5 5 1 , 4 5 5 1 l o g 51 6 1 6n n n nnnT n S n? ? ? ? ? ? ? ? 到此第一問運用錯位相減法就解決了。 而第二問是解不等式 1nnbb?? ，對于解不等式，我們常常能想到是作差和相除，不妨我們嘗試一下相除， ∵441 4 1 4l o g l o g ,1 5 1 5nn n nb a a n ???? ???? 數(shù)列綜合題習題課 第 14 頁 共 36 頁 ∴? ? ? ?0114 151514l o g151411514l o g15144141????????????????? ?? nnnnbbnnnn ，于是 14n? ，即取 15n? 時，1nnbb?? 。 當然也可通過作差的方法，建立關(guān)于 n 的不等式，求出 n 的取值范圍， 即 ∵441 4 1 4l o g l o g ,1 5 1 5nn n nb a a n ???? ???? ∴ ? ? 11 4 4 41 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 41 l o g l o g l o g 01 5 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5n n nnn nb b n n?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?， 此處 的式子乍一看很復雜，其實仔細分析一下就變成了 14 015 15n??的樣子。 ∴ 14n? ，即取 15n? 時， 1nnbb?? 故所求的 n 的最小值是 15，結(jié)論與上所求一致。 此類問題應該從整體進行觀察、分析、處理，從全局把握條件與結(jié)論間的聯(lián)系，抓住問題的本質(zhì)，使問題變得簡潔、明晰，從中發(fā)現(xiàn)解決問題的辦法，即“整體 化策略”。 能力考察： 已知函數(shù) ()fx滿足 ( ) ( ) ( )f x y f x f y? ? ?且 1(1) 2f ? （ 1）當 *nN? 時，求 ()fn的表達式； （ 2）設 *( ),na n f n n N? ? ?，求證： 1 2 3 2na a a a? ? ? ???? ?； （ 3）設 ? ? *( 1 )9 , ,()nnfnb n n N Sfn?? ? ?為 ??nb 的前 n 項和，當 nS 最大時，求 n 的值。 數(shù)列求和的其他方法 方法引導： 數(shù)列求和的方法有很多，這里再重點說說倒序相加法、裂項相消法、并項轉(zhuǎn)化法這三種方法。所謂倒序相加法即如果一個數(shù)列 ??na ，與首末兩項等距離的兩項 數(shù)列綜合題習題課 第 15 頁 共 36 頁 之和等于首末兩項之和，可采用把正著寫 和倒著寫的兩個式子相加，就得到一個常數(shù)列的和，進而求出數(shù)列的前 n 項和。當然運用倒序相加法求和具有一定的局限性，只有與首尾兩項等距離的兩項之和是常數(shù)時才可以用。而裂項相消法就是把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時一些正負項相互抵消，于是前 n 項和變成首尾若干少數(shù)項之和，從而求出數(shù)列的前 n 項和。 這里列舉了一些常用的裂項技巧： （ 1） ? ?1 1 1 1n n k k n n k?????????? （ 2） ? ?11 n k nkn k n ? ? ??? （ 3） ? ? ? ?1 1 1 12 1 2 1 2 2 1 2 1n n n n??????? ? ? ??? （ 4） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 1 11 2 2 1 1 2n n n n n n n??????? ? ? ? ??? （ 5） 1 1m m mn n nC C C? ??? （ 6） ? ?! 1 ! !n n n n? ? ? ? 最后看看并項轉(zhuǎn)化法，即在求數(shù)列的前 n 項和時，如果一個數(shù)列的項是正負交錯的，尤其是當各項的絕對值又構(gòu)成等