【正文】 1n n n nS a a a a a a a??? ? ? ? ? ???? ? ?? ? ? ?21 1122nn n n n nS a n? ??? ? ? ? ? ? ∴ ? ? ? ?1 11 2nn nnS ? ???，故選 A。 數(shù)列綜合題習(xí)題課 第 16 頁 共 36 頁 解析： 先考慮 2()f x x x??的對稱軸為 21??x ，即在 ?????? ???? ,21x時，函數(shù)為增函數(shù)。只要找出了“隱藏性信息”，剩下的就是對學(xué)生的運(yùn)算能力的考察。說了這么多，接著我們來看看下面的這道例題。而裂項(xiàng)相消法就是把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時一些正負(fù)項(xiàng)相互抵消，于是前 n 項(xiàng)和變成首尾若干少數(shù)項(xiàng)之和，從而求出數(shù)列的前 n 項(xiàng)和。所謂倒序相加法即如果一個數(shù)列 ??na ，與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng) 數(shù)列綜合題習(xí)題課 第 15 頁 共 36 頁 之和等于首末兩項(xiàng)之和，可采用把正著寫 和倒著寫的兩個式子相加，就得到一個常數(shù)列的和，進(jìn)而求出數(shù)列的前 n 項(xiàng)和。 能力考察： 已知函數(shù) ()fx滿足 ( ) ( ) ( )f x y f x f y? ? ?且 1(1) 2f ? （ 1）當(dāng) *nN? 時，求 ()fn的表達(dá)式； （ 2）設(shè) *( ),na n f n n N? ? ?，求證： 1 2 3 2na a a a? ? ? ???? ?； （ 3）設(shè) ? ? *( 1 )9 , ,()nnfnb n n N Sfn?? ? ?為 ??nb 的前 n 項(xiàng)和，當(dāng) nS 最大時，求 n 的值。 ∴ 14n? ，即取 15n? 時， 1nnbb?? 故所求的 n 的最小值是 15，結(jié)論與上所求一致。 而第二問是解不等式 1nnbb?? ，對于解不等式，我們常常能想到是作差和相除，不妨我們嘗試一下相除， ∵441 4 1 4l o g l o g ,1 5 1 5nn n nb a a n ???? ???? 數(shù)列綜合題習(xí)題課 第 14 頁 共 36 頁 ∴? ? ? ?0114 151514l o g151411514l o g15144141????????????????? ?? nnnnbbnnnn ，于是 14n? ，即取 15n? 時，1nnbb?? 。 解析： 數(shù)列綜合題習(xí)題課 第 13 頁 共 36 頁 等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和，對于我們來說是很 容易的，畢竟我們有現(xiàn)成的公式可以套用，那么如果把等差與等比數(shù)列糅合在一起，導(dǎo)致項(xiàng)與項(xiàng)之間沒有了明顯的關(guān)系，你還能作出來嗎？錯位相減法，就是為了培養(yǎng)和訓(xùn)練學(xué)生的“創(chuàng)造”思想的。構(gòu)造簡單，思路也很明顯，對于大多數(shù)同學(xué)來說，容易接受。 例 2 已知數(shù)列 ??na 是首項(xiàng)、公比都為 ? ?0, 1q q q??的等比數(shù)列，? ?*4lo gn n nb a a n N??. （ 1）當(dāng) 5q? 時，求數(shù)列 ??nb 的前 n 項(xiàng)和 nS （ 2）當(dāng) 1415q? 時，若 1nnbb?? ，求 n 的最小值。利用錯位相減法求和是一種非常重要的求和方法，這種方法的計(jì)算過程較為復(fù)雜，對計(jì)算能力的要求較高，應(yīng)加強(qiáng)訓(xùn)練，并注意通過訓(xùn)練，掌握在錯位相減過程中幾個容易出錯的環(huán)節(jié)。 數(shù)列綜合題習(xí)題課 第 12 頁 共 36 頁 能力考察： 已知數(shù)列 ??na 是首項(xiàng)為 1 4a? ，公比為 1?q 的等比數(shù)列， nS 是其前 n 項(xiàng)和，且 1 5 34 , , 2a a a? 成等差數(shù)列。 從某種意義上說，這里我們只是再認(rèn)了一個由舊問題“喬裝打扮”而成的新問題而已，需要提醒的是用等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和公式時，一定要看清數(shù)列的哪些項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列或等比數(shù)列。由 ? ? ? ? 222( ) 2 1 5 7 1 3 8 .f x x n x n n x n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????（這里還可以直 數(shù)列綜合題習(xí)題課 第 11 頁 共 36 頁 接用對稱軸為 12 ???? nabx ），于是 可得 1nan??，我們知道題目是要我們證數(shù)列 ??na是等差數(shù)列，這里只要考慮一下等差數(shù)列通項(xiàng)的特征，就能立即得到結(jié)果，當(dāng)然如果你不放心，也可以檢驗(yàn)相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系， 即 ? ? ? ?1 1 1 1 1nna a n n? ? ? ? ? ? ? ?，隱藏的等差數(shù)列終于暴露出來了，到此就證明了數(shù)列 ??na 是等差數(shù)列。 解析： 首先分析問題 ,對于第一問說 ??na 是由 函數(shù) ()fx的圖像的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成的，這里充分的利用了數(shù)列的函數(shù)特點(diǎn)，成功地將數(shù)列問題“嫁接 ”在了我們已經(jīng)非常熟悉的一元二次方程的“樹干”上，這類題型在高考中很是常見，只要學(xué)生們能從熟悉的知識入手，從而聯(lián)想到一個可行的解決方案，那么接下來的事，就水到渠成了。 選題意圖： 此題是在數(shù)列的知識框里鑲上了函數(shù)知識，兩類知識結(jié)合的天衣無縫，即考查了數(shù)列求和的知識，又考查了函數(shù)的最值點(diǎn)等相關(guān)知識。所以公式的記憶是很重要的。通過上節(jié)的講 解與練習(xí)，學(xué)生們已經(jīng)對等差等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識相當(dāng)熟悉，各種思想方法也得到了一次訓(xùn)練，對于數(shù)列求和，因?yàn)橛泻芏喾椒?，致使學(xué)生在解題時不知道用哪種方法，所以本文從最基本的求和方法開始講解，層層遞進(jìn)地介紹了包括 錯位相減法 、 倒序相加法 、 裂項(xiàng)相消法 、 并項(xiàng)轉(zhuǎn)化法 的相關(guān)應(yīng)用，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律 . 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn) 會用各種求和方法進(jìn)行求和，理解公式法求和，錯位相減法求和，倒序相加法求和，裂項(xiàng)相消法求和，并項(xiàng)轉(zhuǎn)化法求和的基本思想以及會靈活運(yùn)用 . 教學(xué)方法 講授法 教具 粉筆、直尺 公式法求和 數(shù)列綜合題習(xí)題課 第 10 頁 共 36 頁 方法引導(dǎo)： 所 謂公式法，就是直接應(yīng)用等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式，以及正整數(shù)的平方和公式、立方和公式等公式求解。重點(diǎn)是對等差等比數(shù)列性質(zhì)的考查，對于這種選擇題型，抓住題目所給條件，細(xì)心分析，關(guān)注兩種數(shù)列之間的聯(lián)系，就一定能得出結(jié)論。 例 3 假設(shè) 1 2 3 4, , ,a a a a是 一 個 等 差 數(shù) 列 ， 且 滿 足 130 2, ? ? ? 若? ?2 1, 2, 3, 4 .nanbn?? 給出以下命題：（ 1）數(shù)列 ??nb 是等比數(shù)列；（ 2） 2 4b? ；（ 3） 4 32b? ；（ 4） 24256bb? 。 （ 1） 用 nx 表示 1nx? ； （ 2） 若 1 4x? ，記 2lg2nn nxa x ?? ?，證明數(shù)列 ??na 是等比數(shù)列，并求數(shù)列 ??nx 的通項(xiàng)公式； （ 3） 若 1 4, 2,n n nx b x T? ? ?是數(shù) 列 ??nb 的前 n 項(xiàng)和，證明 ? 等差數(shù)列的綜合問題與等比數(shù)列的綜合問題 方法引導(dǎo)： 解決等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題，關(guān)鍵是理清兩個數(shù)列的關(guān)系。其實(shí)只要抓住問題的本源，掌握數(shù)列的性質(zhì)，就一定能找出頭緒。不妨令 ? ?12116 3nnfn ??? ?，顯然 ??fn隨著 n 的增大而減小，故 ? ? ? ? 30116f n f? ? ?，故13 2 1 30 1 6 1 6 3 1 6nn ??? ? ??，即 nT?? 等比數(shù)列的綜合問題，其實(shí)并不是很 難，然而這類問題的考察，常常會伴有大量的計(jì)算與“丑陋”而又“粗獷”的式子。 對于第二問，由于 ? ?45 nnabnak?? ，這個關(guān)系式很復(fù)雜，我們可以不關(guān)注其“長相”，依然從深層去理解，緊抓問題之間的關(guān)系，聯(lián)系第一問我們可得 14 3 4 3nnab n?? ? ? ，故1nnab n??，從而 11 .43n nnb ??? ? 到這里我們就把剛剛題目中的“隱性信息”轉(zhuǎn)化成了“顯性信息”，接下來的求解就可水到渠成。針對第一問，條件告訴我們 ??na 是一個等比數(shù)列，如果我們知道首項(xiàng)與公比，那么第一問就沒有問題，關(guān)鍵題目給的條件還是和 nS 有關(guān)，結(jié)合 nnn SSa ?? ?? 11 ，我們依然采取例 1 的思想，于是，當(dāng) 1n? 時， 116,a S k? ? ? 當(dāng) 2n? 時， 11 4 3 ,nn n na S S ??? ? ? ?由于 ??na 是等比數(shù)列，所以 321 2 1 ,nnaaaa a a?? ? ????因此有 12 3,6 k?? 解得 2,k?? 這時 14 3 .nna ??? 到此第一問就解決了。 解析： 還是一樣，先看看問題。對于不等式 nT??考查同學(xué)們函數(shù)思想的應(yīng)用。閑話不多說我們來看看這道題。 能力考察： 在數(shù)列 ??na 中 ? ?*1 1 11 , 3 0 2 , .n n n na a a a a n n N??? ? ? ? ? ? （ 1） 判斷數(shù)列 1na??????是否為等差數(shù)列； （ 2） 若11nna a?????對任意 2n? 的正整數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù) ? 的取值范圍。 ∴ 數(shù)列 ??na 是首項(xiàng)為 1，公差為 5 的等差數(shù)列。 故得 ? ? ? ?2215 1 8 2 2 0 1 8 .n n nn a S S n? ? ?? ? ? ? ? ? ?② 則② ? ①得， 2 1 2 15 ( 1 ) 5 8 2 20 ,n n n nn a na a a? ? ? ?? ? ? ? ? ? 即 ? ?21( 5 3 ) 5 2 2 0 .nnn a n a??? ? ? ? ?③ 還是這種想法，將 n 向前加一位得 ? ? ? ?325 2 5 7 2 0 .nnn a n a??? ? ? ? ?④ 則④ ? ③得， ? ?? ?3 2 15 2 2 0 ,n n nn a a a? ? ?? ? ? ?⑤ 這里我們已經(jīng)將開始條件里的 nS 之間的關(guān)系，徹底轉(zhuǎn)化為了 na 之間的關(guān)系，充分體 現(xiàn)了解題基本路徑中的“變更問題”思想，這種轉(zhuǎn)化使得問題的初始狀態(tài)與目標(biāo)狀態(tài)愈來愈接近。 而第二問要我們證明數(shù)列 ??na 為等差數(shù)列，而條件給我們的只是有關(guān)前 n 項(xiàng)和 nS 之間的關(guān)系，所以第二問解題的關(guān)鍵就是要找出 nS 與 na 之間的關(guān)系，這里仍然考察 nS 與 na的關(guān)系。這里我們對于題意的表層理解就是找出了 nS 與 na 的關(guān)系，其實(shí)只要我們更深一層的理解，就會發(fā)現(xiàn)這里其實(shí)所要表達(dá)的是等差數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)與方程思想的運(yùn)用。 解析： 首先看看三個問題，第一問是要求 A 與 B 的值，第二問要證明數(shù)列 ??na 為等差數(shù)列，第三問是要證明不等式 51mn m na a a??對任何正整數(shù) m 、 n 都成立，針對第一問，這里同學(xué)們很容易盯著 ? ? ? ?15 8 5 2 , 1 , 2 , 3 ,nnn S n S A n B n?? ? ? ? ? ? ???不放，而忽視1 2 31, 6, 1 1,a a a? ? ?，導(dǎo)致此題無從下手，這就是沒有理解題意的表現(xiàn)，我們往往只盯著題目中比較大，比較長的式子，而忽視一些細(xì)節(jié)，所以在作題時，要把題設(shè)中所有對 數(shù)列綜合題習(xí)題課 第 4 頁 共 36 頁 象“是什么，有什么性質(zhì)，如何表示”盡可能理清楚的寫下來。 （ 1） 求 A 與 B 的值； （ 2） 證明數(shù)列 ??na 為等差數(shù)列； （ 3） 證明不等式 51mn m na a a??對任何正整數(shù) m 、 n 都成立。 然而將這些知識綜合在一起來考查，學(xué)生們往往感覺比較困難， 針對學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，本節(jié)課采取了循序漸進(jìn)、層層深入的 教學(xué)方式，以問題解答的形式，通過分析、討論、歸納、探索而獲得知識 ，為學(xué)生積極思考、自主探究搭建 了理想的平臺，讓學(xué)生見識到這類題型的考查方式與解題的基本思路，為學(xué)生后來更深一層的研究 數(shù)列綜合題習(xí)題課 第 3 頁 共 36 頁 數(shù)列問題打下基礎(chǔ) . 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn) 通過對等差、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的運(yùn)用，滲透函數(shù)與方程思想，以及對數(shù)列前 n 項(xiàng)和 nS 與數(shù)列 ??na 之間的關(guān)系理解 . 教學(xué)方法 講授法 教具 粉筆、直尺 等差數(shù)列的綜合問題 方法引導(dǎo)： 解決等差數(shù)列的綜合問題時，首先要熟練掌握等差數(shù)列的定義，能夠用定義法或等差中