數(shù)列習(xí)題課(一)-文庫(kù)吧資料
2025-03-31 02:51本頁(yè)面
【正文】 a1＝2也適合上式.∴an＝4n－2，n∈N*.{an}中，a1＝3，an＋1－2an＝0，數(shù)列{bn}的通項(xiàng)滿足關(guān)系式anbn＝(－1)n(n∈N*)，則bn＝________.考點(diǎn) 遞推數(shù)列通項(xiàng)公式求法題點(diǎn) 一階線性遞推數(shù)列答案 解析 易知{an}是首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列，∴an＝32n－1，∴bn＝＝.{an}中，a1＝1，an＋1＝an，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________.考點(diǎn) 遞推數(shù)列通項(xiàng)公式求法題點(diǎn) 累乘法求通項(xiàng)答案 n解析 an＝…＝212223…2n－1，即＝21＋2＋3＋…＋(n－1)＝，故an＝a1＝.故選C.(2)在數(shù)列{an}中，a1＝1，an－an－1＝n－1 (n＝2,3,4…)，求{an}的通項(xiàng)公式.考點(diǎn) 遞推數(shù)列通項(xiàng)公式求法題點(diǎn) an＋1＝pan＋f(n)型解 ∵當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1，當(dāng)n≥2時(shí)，這n－1個(gè)等式累加得，an－a1＝1＋2＋…＋(n－1)＝，故an＝＋a1＝且a1＝1也滿足該式，∴an＝(n∈N*).例3 已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，求an.考點(diǎn) 遞推數(shù)列通項(xiàng)公式求法題點(diǎn) 一階線性遞推數(shù)列解 遞推公式an＋1＝2an＋3可以轉(zhuǎn)化為an＋1－t＝2(an－t)，即an＋1＝2an－t，則t＝－3.故遞推公式為an＋1＋3＝2(an＋3).令bn＝an＋3，則b1＝a1＋3＝4，且＝＝2.所以{bn}是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.所以bn＝42n－1＝2n＋1，即an＝2n＋1－3.反思與感悟 型如an＋1＝pan＋q(其中p，q為常數(shù)，且pq(p－1)≠0)可用待定系數(shù)法求得通項(xiàng)公式，步驟如下：第一步 假設(shè)將遞推公式改寫(xiě)為an＋1＋t＝p(an＋t)；第二步 由待定系數(shù)法，解得t＝；第三步 寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)公式；第四步 寫(xiě)出數(shù)列{an}通項(xiàng)公式.跟蹤訓(xùn)練3 已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝2an＋35n，a1＝6，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.考點(diǎn) 遞推數(shù)列通項(xiàng)公式求法題點(diǎn) an＋1＝pan＋f(n)型解 設(shè)an＋1＋x5n＋1＝2(an＋x5n)，①將an＋1＝2an＋35n代入①式，得2an＋35n＋x5n＋1＝2an＋2x5n，等式兩邊消去2an，得35n＋x5n＋1＝2x5n，兩邊除以5n，得3＋5x＝2x，則x＝－1，代入①式得an＋1－5n＋1＝2(an－5n).②由a1－51＝6－5＝1≠0及②式得an－5n≠0，則＝2，則數(shù)列{an－5n}是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則an－5n＝2n－1，故an＝2n－1＋5n.類(lèi)型三 利用前n項(xiàng)和Sn與an 的關(guān)系求通項(xiàng)公式例4 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn＝2an－4，n∈N*，則an等于( )＋1 －1 －2考點(diǎn) an與Sn關(guān)系題點(diǎn) 由Sn與an遞推式求通項(xiàng)答案 A解析 因?yàn)镾n＝2an－4，所以Sn－1＝2an－1－4，兩式相減可得Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－2an－1，整理得an＝2an－1，即＝2，因?yàn)镾1＝a1＝2a1－4，即a1＝4，所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，則an＝42n－1＝2n＋1，故選A.反思與感悟 已知Sn＝f(an)或Sn＝f(n)解題步驟：第一步 利用Sn滿足條件p，寫(xiě)出當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1的表達(dá)式；第二步 利用an＝
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