【正文】 能力考察： 設(shè)數(shù)列 }{na 、 }{nb 、 }{nc 滿足： 2??? nnn aab ， 21 32 ?? ??? nnnn aaac （ ???? 3,2,1n ） , 證明： }{na 為等差數(shù)列的充分必要條件是 }{nc 為等差數(shù)列且 1?? nn bb （ ???? 3,2,1n ） . 數(shù)列與存在性問題 方法引導(dǎo)： 近年來 ,隨著高考改革的深化和新教材中研究性課題的不斷引入 ,探索題正逐漸成為高考的熱點(diǎn) ,尤其是以數(shù)列存在性問題為代表、考查學(xué)生創(chuàng)新意識與研究性 數(shù)列綜合題習(xí)題課 第 27 頁 共 36 頁 學(xué)習(xí)能力的題目倍受命題者的青睞 。 不妨記 數(shù)列 1123nnn?????????的前 n 項(xiàng)和為 nT ， 則 1221 2 ,33nnTn???? ? ? ? ? ?????這個式子的特征在前幾節(jié)數(shù)列求和中講過，可以利用錯位相減法來求和。想求出 nS ，那么我們就要知道{}nna 的“樣子”。 由 121 ??? ?? nnn aab ? ?1 1 15 2 2 23 3 3 3n n n n n na a a a a b? ? ?? ? ? ? ? ?，這里出現(xiàn)了等比數(shù)列的典型特點(diǎn)，我們的嘗試有了結(jié)果。 解析： 首先分析一下問題，第一問是要求 數(shù)列 {}nb 的通項(xiàng)公式 ，條件給出了 ??na 與 {}nb 的關(guān)系，又給出了 ??na 的遞推關(guān)系式，因此從此遞推關(guān)系式出發(fā)，想辦法求出 ??na 是解出此題關(guān)鍵。下面看看例題。如果說由通項(xiàng)公式給出的數(shù)列是直接的、具體的，那么相對而言遞推公式給出的數(shù)列則是間接的、抽象的。數(shù)列與很多知識都有關(guān)聯(lián)， 有很強(qiáng)的綜合性， 所出 題 型 信息量較大，涉及知識面廣，復(fù)雜難懂，學(xué)生往往讀完題后沒有任何頭緒，使同學(xué)們苦不堪言，其實(shí)單個的知識點(diǎn)，同學(xué)們都非常熟悉，可是當(dāng)這些知識點(diǎn)“糾纏”在一起時，同學(xué)們或許是因?yàn)轭}意理解有障礙，或許是因?yàn)槟承┲R點(diǎn)不夠清晰，導(dǎo)致無法解題，本節(jié)再次以例題講解為主，來幫助同學(xué)們體會這類題的解題方法。這里“轉(zhuǎn)化策略”的運(yùn)用，可以省去很多麻煩，由于 4n是指數(shù)形式， 3 10n? 是一次函數(shù)形式，考慮作差或者相除都必將導(dǎo)致運(yùn)算量增大，故索性就從“簡單自然”的方法 考慮，即可對 n 進(jìn)行討論，即 當(dāng) 1n? 時， 4 4, 3 10 13n n? ? ?， ∴ 4 3 10n n??； 當(dāng) 2n? 時， 4 16 , 3 10 16n n? ? ?， ∴ 4 3 10n n??； 數(shù)列綜合題習(xí)題課 第 23 頁 共 36 頁 當(dāng) 3n? 時， ? ? 1 2 24 1 3 1 3 3nn nnCC? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? 211 3 3 1 3 9 3 102nnn n n?? ? ? ? ? ? ? ?， ∴（ 1）當(dāng) 1n? 時， 3114 3 10nS n?? ?； （ 2）當(dāng) 2n? 時， 3114 3 10nS n?? ?； （ 3）當(dāng) 3n? ， *nN? 時， 3114 3 10nS n?? ?。結(jié)合問題考慮 1?nb ，故得 1 14nnbb? ?， 等比數(shù)列最鮮明的特征已經(jīng)展現(xiàn)在我們眼前了，所以 ??nb是以 14 為公比的等比數(shù)列。話不多說先看看問題。 選題意圖： 此題是解析幾何與數(shù)列結(jié)合考查的常見形式，求和、通項(xiàng)、比較大小也是大眾題型。 數(shù)列與解析幾何的綜合問題 方法引導(dǎo)： 數(shù)列與解析幾何的綜合問題，尤其是解析幾何中的點(diǎn)列 問題正成為高考的熱點(diǎn)內(nèi)容。 ∴數(shù)列 ??nc 的前 n 項(xiàng)和 ? ?1 2 1 2 1 11 1 2 1 12 1 1 8 2 23 3 2 7 9 3nn nnT c c c c n n????? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????1111 6 2 ,2 7 3 nn ?? ? ? ? ∴ nT n m?? 即1111 6 22 7 3 nn n m?? ? ? ? ?對 *,2n N n??恒成立，由于是想求出 m 的取值，常用策略就是分離變量， 于是分離變量之后可轉(zhuǎn)化為：11116 2 7 3 nmn ?? ? ? ?對*,2n N n??恒成立，此處要理解“恒成立”的意義，將問題轉(zhuǎn)化一下，其實(shí)就是考查11116 27 3nn ?? ? ?的增減性，來找最值。故不存在 12,xx，使得 120xx??，且 12( ) ( ).f x f x? 這里“數(shù)形結(jié)合”思想的運(yùn)用，是很重要的。 ∴ ? ? ? ?22 4 2 0 2m m m? ? ? ? ? ? ? ? ? ????? 或 ? 這里解出了 m 的值。當(dāng)然裂項(xiàng)法求數(shù)列的和，也是我們必須掌握的技能。 （ 1）求 ??xf 的表達(dá)式； （ 2）求數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)公式 ； （ 3 ）若 ? ? 25 1163,na n n nnnnnb b bbc bb? ??????， 數(shù)列 ??nc 的前 n 項(xiàng)和為 ,nnT T n m?? 對 數(shù)列綜合題習(xí)題課 第 19 頁 共 36 頁 *,2n N n??恒成立，求 m 的取值范圍。在解決這些問題時，要充分利用數(shù)列自身的特點(diǎn)，例如在需要用數(shù)列的單調(diào)性的時候，可以通過比較相鄰兩項(xiàng)的大小進(jìn)行判斷。一方面我們要了解這種關(guān)系，另一方面也要能夠利用數(shù)列與函數(shù)的這種關(guān)系解決問題。注意在利用并項(xiàng)轉(zhuǎn)化法求和時，由于數(shù)列的各項(xiàng)是正負(fù)交替的，所以一般需要對項(xiàng)數(shù) n 進(jìn)行分類討論，但最終的結(jié)果卻往往可以用一個公式來表示。同時本題對于并項(xiàng)轉(zhuǎn)化法求和的訓(xùn)練也是相當(dāng)?shù)挠猩疃鹊?，希望同學(xué)們能體會。 這里列舉了一些常用的裂項(xiàng)技巧： （ 1） ? ?1 1 1 1n n k k n n k?????????? （ 2） ? ?11 n k nkn k n ? ? ??? （ 3） ? ? ? ?1 1 1 12 1 2 1 2 2 1 2 1n n n n??????? ? ? ??? （ 4） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 1 11 2 2 1 1 2n n n n n n n??????? ? ? ? ??? （ 5） 1 1m m mn n nC C C? ??? （ 6） ? ?! 1 ! !n n n n? ? ? ? 最后看看并項(xiàng)轉(zhuǎn)化法，即在求數(shù)列的前 n 項(xiàng)和時，如果一個數(shù)列的項(xiàng)是正負(fù)交錯的，尤其是當(dāng)各項(xiàng)的絕對值又構(gòu)成等差數(shù)列時，可以先將相鄰的兩項(xiàng)或幾項(xiàng)合并，然后再利用其 他相關(guān)的方法進(jìn)行求和。 數(shù)列求和的其他方法 方法引導(dǎo)： 數(shù)列求和的方法有很多，這里再重點(diǎn)說說倒序相加法、裂項(xiàng)相消法、并項(xiàng)轉(zhuǎn)化法這三種方法。 當(dāng)然也可通過作差的方法，建立關(guān)于 n 的不等式，求出 n 的取值范圍， 即 ∵441 4 1 4l o g l o g ,1 5 1 5nn n nb a a n ???? ???? ∴ ? ? 11 4 4 41 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 41 l o g l o g l o g 01 5 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5n n nnn nb b n n?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?， 此處 的式子乍一看很復(fù)雜，其實(shí)仔細(xì)分析一下就變成了 14 015 15n??的樣子。也希望通過此題讓同學(xué)們類比函數(shù)模型與數(shù)列結(jié)合這一類問題的解題思路。下面就來看看錯位相減法求和是怎么一回事。在第（ 2）問的求解中， 12n??或 3n? 時，都可以用等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式，但當(dāng) 12n??時，不要誤求為數(shù)列的前 2 項(xiàng)和；當(dāng) 3n? 時，數(shù)列的首項(xiàng)為 3b ，項(xiàng)數(shù)為 2n? ，不要誤求為 n 項(xiàng)的和，也不要誤求為 3n? 項(xiàng)的和。接著看，既然說 ??na 是由 函數(shù) ()fx的圖像的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成的，所以我們要看看 ()fx的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)是什么。 例 1 已知函數(shù) ? ? ? ?2 2 *( ) 2 1 5 7 .f x x n x n n n N? ? ? ? ? ? ? （ 1）若函數(shù) ()fx的圖像的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列 ??na ，試證明數(shù)列 ??na 是等差數(shù)列； （ 2）設(shè)函數(shù) ()fx的圖像的頂點(diǎn)到 x 軸的距離構(gòu)成數(shù)列 ??nb ，試求數(shù)列 ??nb 的前 n 項(xiàng)和nS 。 分析解答： 四個命題我們一個一個看，首先第一個命題說數(shù)列 ??nb 是等比數(shù)列，由條件知4321 2,2,2,2 4321 aaaa bbbb ???? .不妨設(shè) 1 2 3 4, , ,a a a a 的公差為 d ，則 1 24ad??，又102a??，所以 12d??.易知數(shù)列 ??nb 是等比數(shù)列，公比為 d2 ，故（ 1）正確；其次第二個命題，由于 ? ?23 2,3a a d? ? ? ，所以 22 24ab ??，故（ 2）正確；再次第三個命 題，由于 43 5,a a d? ? ? ，所以 44 2 32ab??，故（ 3）正確；最后第四個命題因?yàn)? 4 328a a a? ? ?，所以 24 824 2 2 2 5 6aabb ?? ? ?，故（ 4）正確 .故四個命題都是正確的，選D. 等差與等比數(shù)列的綜合問題，我們只要能熟悉它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，按部就班地從基本的想法試下去，就一定可以做出來 . 能力考察： 已知數(shù)列 ??na 是首項(xiàng)為 1 4a? 的等比數(shù)列，且 1 5 34 , , 2a a a? 成等差數(shù)列，則其公比 q 等于 B. ? 1 或 ? 1 D. 2 數(shù)列綜合題習(xí)題課 第 9 頁 共 36 頁 第二講： 數(shù)列的求和 授課題目 數(shù)列求和 課型 習(xí)題課 年級 高三 教學(xué)目標(biāo) 知識與技能 熟悉各種求和方法的定義以及運(yùn)用的條件，能熟練地運(yùn)用各種求和方法來求數(shù)列的和 . 過程與方法 通過對數(shù)列的各種求和公式的運(yùn)用來培養(yǎng)學(xué)生歸納、分類討論、遷移的能力 . 情感、態(tài)度與價值觀 在解決實(shí)際問題的過程中，體會如何去分析問題、解決問題，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力 . 學(xué)情分析 在本節(jié)課之前學(xué)生已經(jīng) 學(xué)習(xí)了各種求和公式的推導(dǎo)以及主要的求和思想，本節(jié)是對學(xué)生能否用已學(xué)知識來解決問題的一次考查。如果同一數(shù)列中部分項(xiàng)成等差數(shù)列，部分項(xiàng)成等比數(shù)列，要把成等差數(shù)列或成等比數(shù)列的項(xiàng)抽出來，研究這些項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系；如果兩個數(shù)列通過運(yùn)算綜合在一起，要從分析運(yùn)算入手，把兩個數(shù)列分割開，弄清兩個數(shù)列各自的特征，再進(jìn)行求解 。同學(xué)們往往被這些附帶的東西迷惑，致使解題出現(xiàn)困難。這里體現(xiàn)了數(shù)學(xué)解題的元認(rèn)知中的“控制”，即當(dāng)我們遇到一道新題目時，對如何入手、如何策劃、如何構(gòu)思、如何選擇、如何組 織、如何猜想、如何修正等都應(yīng)該作出基本策劃和安排。這里也再次強(qiáng)調(diào)，對于數(shù)列問題而言，函數(shù)思想是必須具備的。 等比數(shù)列的綜合問題 方法引導(dǎo)： 解決等比數(shù)列的綜合問題時，首先要深刻理解等比數(shù)列的定義，能夠用定義法或等比中項(xiàng)法判斷或證明一個數(shù)列是等比數(shù)列；其次要熟練掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前 n 項(xiàng)和公式，能夠用等比數(shù)列的性質(zhì)解決有關(guān)問題。 觀察 ⑤式 ∵ 5 2 0,n?? ∴ 3 2 12 0 ,n n na a a? ? ?? ? ? 數(shù)列綜合題習(xí)題課 第 5 頁 共 36 頁 ∴ 3 2 2 1 3 2 5,n n n na a a a a a? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ?又 215,aa?? 等差數(shù)列最鮮明的特征在此處展現(xiàn)出來了。于是有1 2 31, 6, 1 1,a a a? ? ? 得 1 2 31, 7, 18 .S S S? ? ? 把 1,2n? 分別代入 ? ? ? ?15 8 5 2nnn S n S A n B?? ? ? ? ? 得 28 ,2 48ABAB? ???? ? ??? 解得 20, ? ? ? ?到此第一問解決，絕大多數(shù)同學(xué)，我想都能做出來。 選題意圖： 此題以方程為背景，綜合考查了數(shù)列 ??na 與其前 n 項(xiàng)和 nS 之間的關(guān)系、等差數(shù)列的定義、以及不等式的相關(guān)知識，對于學(xué)生的方程與函數(shù)思想、歸納與分析能力的訓(xùn)練都有一定的好處，此題屬于常規(guī)題型，具有代表性，且問題也不 是很難，學(xué)生可以接受，解法也很普遍，具有示范性。 數(shù)列綜合