【正文】 下面我們將 結(jié)合具體實(shí)例談一談數(shù)。到這里我們就完整的把問題全部解決了，對于此類問題的解決，化“抽象”為“具體 ”、化繁為簡、先分后和以及正難則反等策略的運(yùn)用是非常有效的，同學(xué)們在平時(shí)的學(xué)習(xí)中要注意體會(huì)。 于是可得 22 2 2 223 3 3 3nnTn? ? ? ?? ? ? ? ???? ?? ? ? ?? ? ? ? 兩式 相減得 , 211 2 2 2 213 3 3 3 3nnnTn?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 223 1 ,33nnn??? ? ? ?? ? ???? ? ? ?? ? ? ??? 故12 2 ( 3 ) 29 1 3 933 3nn nnnnTn??? ?? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ??? 所有的準(zhǔn)備工作都做好了，下面來求 nS 。對于 n3 我們很容易求出它的前 n 項(xiàng)和 ，比較困難的是132??nnn 的前 n 項(xiàng)和 ，可以把它單獨(dú)分離出來考慮，化繁為簡。回頭看看題目已知條件與第一問的結(jié)論。 對于第二問，是要我們求 數(shù)列 {}nna 的前 n 項(xiàng)和 nS 。所以 {}nb 是公比為 32 的等比數(shù)列，且 首項(xiàng)是 ,32121 ??? aab由此可寫出 ? ?2 1, 2 ,3nnbn??? ? ???????。于是可以尋找一下 1?nb 與 nb 之間的關(guān)系。這是一種比較常規(guī)的思考方向，我相信大部分同學(xué)都會(huì)想到這些。通過此題希望同學(xué)們理解遞推公式的作用與處 理方法。 例 1 設(shè) ? ?1 2 2 15 5 21 , , , 1 , 2 ,3 3 3n n na a a a a n??? ? ? ? ? ??? （ Ⅰ ）令 1 , ( 1, 2. ... ..)n n nb a a n?? ? ?求數(shù)列 {}nb 的通項(xiàng)公式； （ Ⅱ ）求數(shù)列 {}nna 的前 n 項(xiàng)和 nS . 選題意圖： 此題將兩個(gè)數(shù)列“糾纏”在一起，通過相互兩者之間的相互聯(lián)系，互相求出。除去偽裝，從而將那種隱藏的關(guān)系找出，解決問題。如何實(shí)現(xiàn)這種由“抽象”到“具體”的轉(zhuǎn)化乃是我們要研究的 核心 內(nèi)容，即求遞推數(shù)列的通項(xiàng)。遞推公式是給出數(shù)列的一種重要方法。 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn) 掌握各知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)部聯(lián)系，能熟練運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，進(jìn)行解題。 （ 1）求 nx 與 1nx? 的關(guān)系式； （ 2）求證：數(shù)列 1123nx????????是等比數(shù)列； （ 3）求證： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?23 *1 2 31 1 1 1 1n nx x x x n N? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? 數(shù)列綜合題習(xí)題課 第 24 頁 共 36 頁 第四講： 其他數(shù)列綜合問題 授課題目 其他數(shù)列綜合 問題 課型 習(xí)題課 年級 高三 教學(xué)目標(biāo) 知識(shí)與技能 掌握各知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)部聯(lián)系，能熟練運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，進(jìn)行解題 . 過程與方法 通過實(shí)例，幫助學(xué)生了解題型與考查方式，培養(yǎng)學(xué)生的綜合解題能力 . 情感、態(tài)度與價(jià)值觀 在解決問題的過程中，使學(xué)生認(rèn)識(shí)并感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值 . 學(xué)情分析 本節(jié)課 是對上一節(jié)補(bǔ)充，也是對整個(gè)數(shù)列綜合題的總結(jié)。 結(jié)論已經(jīng)得出，此題到此結(jié)束。故只要比較 4n 與 3 10n? 的大小即可。第一問到此便解決了。再看看 nb 的構(gòu)造， 故可得 ? ? ? ?2 1 2 1 2 1 2 2 2 1n n n n n n nb x x x x x x? ? ? ?? ? ? ? ? ?2 2 2 3 2 31 1 1 ,2 2 2n n n? ? ?? ? ? ? 這里是一個(gè)思考難點(diǎn)，同學(xué)們很少能發(fā)現(xiàn) ? ? ? ?2 1 2 1 2 1 2 2 2 1n n n n n n nb x x x x x x? ? ? ?? ? ? ? ? ?，其實(shí)只要仔細(xì)分析從上面得出相鄰項(xiàng)的關(guān)系，就能很自然的建立起這其中的“橋梁”。第一問是要證數(shù)列 ??nb 是等比數(shù)列，那么要明確等比數(shù)列的定義與性質(zhì)，由題目條件可知 數(shù)列綜合題習(xí)題課 第 22 頁 共 36 頁 ? ? ? ?1 1 1, , ,n n n n n nP x y P x y? ? ?都在直線與拋物線上，據(jù)此可建立 nx 與 ny ， 1nx? 與 1ny? 之間的關(guān)系式?？梢酝ㄟ^“它是什么？如何表示？能否畫出圖像？能否用其他形式表示？”這樣的話來提示自己挖掘題目的深層含義。同學(xué)們?nèi)菀捉邮?，思路也比較清晰，只要在解題中注意細(xì)節(jié)，解題就能很順利。 例 2 已知拋物線 2 4xy? ，過原點(diǎn)作斜率為 1的直線交拋物線與第一象限內(nèi)一點(diǎn) 1P ，又過點(diǎn) 1P 作斜率為 12 的直線交拋物線于點(diǎn) 2P ，再過 2P 作斜率為 14 的直線交拋物線于點(diǎn)3P ，??如此繼續(xù)，一般地，過點(diǎn) nP 作斜率為 12n 的直線交拋物線于點(diǎn) 1nP? ，設(shè)點(diǎn)? ?,.n n nP x y （ 1）令 2 1 2 1n n nb x x????，求證：數(shù)列 ??nb 是等比數(shù)列； （ 2）設(shè)數(shù)列 ??nb 的前 n 項(xiàng)和為 nS ，試比較 3 14nS?與 13 10n? 的大小。解決點(diǎn)列問題的關(guān)鍵是充分利用解析幾何的有關(guān)性質(zhì)、公式，建立數(shù)列的遞推關(guān)系或通項(xiàng)公式之間的關(guān)系，然后借助數(shù)列的知識(shí)加以解決，這些都需要學(xué)習(xí)者有較高的融會(huì)貫通能力，比較困難。 數(shù)列綜合題習(xí)題課 第 21 頁 共 36 頁 能力考察： 已知數(shù)列 ??na 的前 n 項(xiàng)和為 nS ，并且滿足 ? ?112 , 1 .nna na S n n?? ? ? ? （ 1）求 ??na 的通項(xiàng)公式； （ 2）令 45nnnTS???????，問是否存在正整數(shù) m ，對一切正整數(shù) n ，總有 nmTT? ？若存在，求出 m 的值；若不存在，說明理由。 ∵111( ) 1 6 2 7 3 ng n n ?? ? ? ?是關(guān)于 n 的增函數(shù)， ∴當(dāng) 2n? 時(shí)， ()gn 取最小值 18，∴ ? 本題將函數(shù)、不等式與數(shù)列融合在一起進(jìn)行考查，綜合考查了不等式、函數(shù)的性質(zhì)、數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列的求和等知識(shí)。當(dāng) 1n? 時(shí)， 111aS??，當(dāng) 2n? 時(shí)，有 ? ? ? ? ? ?221 4 4 1 4 1 4 2 5n n na S S n n n n n? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???， ∴ 1, 1 .2 5, 2n na nn??? ? ??? 數(shù)列綜合題習(xí)題課 第 20 頁 共 36 頁 第三問又多出了兩個(gè)數(shù)列 ??nb 與數(shù)列 ??nc ，由條件知 ? ? 25 1163,na n n nnnnnb b bbc bb? ??????這里數(shù)列 ??nb 與數(shù)列 ??nc 可謂來勢洶洶，然而卻是一只紙老虎，我們不要自亂陣腳，來慢慢分析， ∵ 1, 12 5, 2n na nn??? ? ???， ∴ ? ? 5 2 7 , 13,3 , 2nan n nb n? ????? ??∴ 1227, 9,bb??此題是讓我們解不等式 nT n m?? ，很顯然我們要求出 nT ，由上可知 21 2 11 126 21 8 ,27b b bc bb??? ? ? 當(dāng) 2n? 時(shí)， 21116 3 3 3 1 12,3 3 3 3n n nn n n n nc???? ? ?? ? ? ??觀察 ??nc 的形式，要考慮到用裂項(xiàng)求和法來求 nT 。 又當(dāng) ? 時(shí)，函數(shù) 2( ) 4 4f x x x? ? ?，在定義域內(nèi)存在 12,xx，使得 120xx??，且12( ) ( ).f x f x? 滿足題設(shè)條件。 所以當(dāng) 2m?? ，函數(shù) 2()f x x? 是一個(gè)偶函數(shù)，圖像關(guān)于 y 軸對稱， 021 ??xx 時(shí)必有? ? ? ?21 xfxf ? 。再看看條件②說在定義域內(nèi)存在 12,xx，使得 120xx??，但 12( ) ( )f x f x? 。 ∵ ( ) 0fx? 的解集有且只有一個(gè)元素，也就是說圖像與 x 軸只有一個(gè)交點(diǎn)。 解析： 解決這類問題，同 學(xué)們一定要在題目的文字中理解出一個(gè)“表征方式”，可以是語義的、表象的、圖式的、圖表的，這里對于問題在學(xué)生頭腦中的“表征方式”就起著很重要的作用。使同學(xué)們在以后的學(xué)習(xí)中善于總結(jié)知識(shí)間的聯(lián)系。 選題意圖： 此題將函數(shù)、不等式與數(shù)列融合在一起進(jìn)行考查，綜合考查了不等式、函數(shù)的性質(zhì)、數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列的求和等知識(shí)。設(shè)數(shù)列 ??na 的前 n 項(xiàng)和 ()nS f n? 。當(dāng)然這節(jié)的學(xué)習(xí)，可以幫助我們檢查自己對于以前學(xué)習(xí)過的知識(shí)的掌握程度?？疾榉绞街饕腥c(diǎn)，一是判斷數(shù)列問題中的一些不等關(guān)系，二是以數(shù)列為載體，考查不等式的恒成立問題，三是考查與數(shù)列問題有關(guān) 的不等式的證明問題。由于圖像是函數(shù)的一種重要表示形式，所以有些數(shù)列問題借助其對應(yīng)函數(shù)的圖像可以得到直觀形象的解答，同時(shí)有些函數(shù)問題，例如求函數(shù)解析式，也可以借助數(shù)列中的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解。由于在等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 ? ? ? ?1 10na a n d d? ? ? ?中， na 是關(guān)于 n 的一次函數(shù)，在前 n 項(xiàng)和公式? ?1 12n nnS na d??? 中， nS 是關(guān)于 n 的 二 次 函 數(shù) ， 在 等 比 數(shù) 列 的 通 項(xiàng) 公 式? ?11 0 , 1nna a q q q?? ? ?中， na 和 n 的關(guān)系類似于指數(shù)函數(shù)，所以等差數(shù)列與一次函數(shù)、二次函數(shù)，等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)有著密切的關(guān)系。 能力考察：： 設(shè)函數(shù) 211 2 3() nnf x a a x a x a x ?? ? ? ? ????，若已知 1(0) 2f ? ，且數(shù)列 ??na 滿足? ?2*(1) nf n a n N??，則數(shù)列 ??na 的前 n 項(xiàng)和 nS = 數(shù)列綜合題習(xí)題課 第 17 頁 共 36 頁 第三講：數(shù)列與函數(shù)、不等式、解析幾何的綜合問題 授課題目 數(shù)列與函數(shù)、不等式、解析幾何的綜合問題 課型 習(xí)題課 年級 高三 教 學(xué)目標(biāo) 知識(shí)與技能 使學(xué)生了解數(shù)列與函數(shù)、不等式、解析幾何之間的關(guān)系，掌握這類題型的解題思路和常規(guī)解題方法，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系 . 過程與方法 結(jié)合實(shí)例，通過觀察、分析、歸納、猜想，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)列與函數(shù)、不等式、解析幾何綜合問題的解題過程，發(fā)現(xiàn)此類問題的命題特點(diǎn)與考查方式，以及體驗(yàn)函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論等數(shù)學(xué)思想 . 情感、態(tài)度與價(jià)值觀 在解決實(shí)際問題的過程中，體會(huì)如何去分析問題、解決問題，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力 . 學(xué)情分析 本節(jié)課 的學(xué)習(xí)是對以前所學(xué)知識(shí)的一個(gè)總結(jié) 與考查，學(xué)生對于數(shù)列、函數(shù)、不等式、解析幾何的相關(guān)知識(shí)也已經(jīng)相當(dāng)熟悉，然而將這些知識(shí)綜合起來，題型是什么樣的，到底會(huì)如何考查，基本的解題思路是什么，該如何分析問題，從何處下手等問題，是每個(gè)學(xué)生的困惑，而且由于學(xué)生對知識(shí)間的聯(lián)系不夠清楚，雖然具有一定的分析和解決問題的能力，邏輯思維能力也已經(jīng) 形成，但缺乏冷靜、深刻，思維上具 有片面性、不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奶攸c(diǎn)，對問題解決的一般性思維過程認(rèn)識(shí)比較模糊等情況，往往會(huì)導(dǎo)致解題失敗 . 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn) 熟練掌握函數(shù)、不等式、解析幾何、數(shù)列所涉及的各個(gè)知識(shí)點(diǎn)，能熟練運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)， 以及有一定的綜合運(yùn)用能力， 能 掌握知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系 . 數(shù)列綜合題習(xí)題課 第 18 頁 共 36 頁 教學(xué)方法 講授法 教具 粉筆、直尺 數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題 方法引導(dǎo)： 數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù)，數(shù)列的通項(xiàng)公式相當(dāng)于函數(shù)的解析式，我們可以用函數(shù)的觀點(diǎn)來研究數(shù)列。 下面要分析一下 nS 的構(gòu)造，由于 nS 受 ? ? 11??n 的影響，必須對其進(jìn)行討論， 故先考慮當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?22 2 21 2 1 3 2 1 11 2 1 3 7 2 1 2 2 2n n n n n nnS a a a a n n n? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??????? 再考慮當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)， ? ? ? ? ? ?1 2 3 4 2