數(shù)列習(xí)題課(一)(參考版)
2025-03-28 02:51本頁(yè)面
【正文】 2n－1＝.即an＝.{an}滿足a1＝1，a2＝4，an＋2＝4an＋1－3an(n∈N*).(1)求a3，a4的值；(2)證明：數(shù)列{an＋1－an}是等比數(shù)列；(3)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.考點(diǎn) 遞推數(shù)列通項(xiàng)公式求法題點(diǎn) 一階線性遞推數(shù)列(1)解 a3＝4a2－3a1＝13，a4＝4a3－3a2＝40.(2)證明 ∵an＋2＝4an＋1－3an，∴an＋2－an＋1＝3(an＋1－an).又a1＝1，a2＝4，∴＝3，則{an＋1－an}是以a2－a1＝3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.(3)解 由(2)得an＋1－an＝3n，則當(dāng)n≥2時(shí)，an－an－1＝3n－1，故an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝3n－1＋3n－2＋…＋3＋1＝＝.又a1＝1適合上式，故an＝，n∈N*.。n－1，∴Sn＝4－an－＝4－na4＝a2…2＝2n－1，∴an＝.{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，則an等于( )＋ln n ＋(n－1)ln n＋nln n ＋n＋ln n考點(diǎn) 遞推數(shù)列通項(xiàng)公式求法題點(diǎn) an＋1＝pan＋f(n)型答案 A解析 由an＋1＝an＋ln得an＋1－an＝ln＝ln ，∴(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝ln ＋ln ＋…＋ln ＝ln ＝ln n，即an－a1＝ln n，an＝ln n＋2.{an}的首項(xiàng)為a1＝1，且滿足an＋1＝an＋，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式an等于( ) (n＋1)C. D.考點(diǎn) 遞推數(shù)列通項(xiàng)公式求法題點(diǎn) an＋1＝pan＋f(n)型答案 C解析 ∵an＋1＝an＋，∴2n＋1an＋1＝2nan＋2，即2n＋1an＋1－2nan＝2.又21a1＝2，∴數(shù)列{2nan}是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，∴2nan＝2＋(n－1)2＝2n，∴an＝.{an}滿足a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，那么an等于( )－1 －1－1＋1 －1考點(diǎn) 遞推數(shù)列通項(xiàng)公式求法題點(diǎn) 一階線性遞推數(shù)列答案 A解析 由題意，得an－an－1＝2n－1，∴a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋21＋22＋…＋2n－1＝＝2n－1，即an＝2n－1.(表中下一行中的數(shù)的個(gè)數(shù)是上一行中數(shù)的個(gè)數(shù)的2倍)：第1行1第2行2 3第3行4 5 6 7……則第8行中的第5個(gè)數(shù)是( ) 考點(diǎn) 數(shù)列的通項(xiàng)公式題點(diǎn) 根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出通項(xiàng)公式答案 B解析 前7行中共有1＋2＋22＋…＋26＝27－1＝127個(gè)數(shù)，則第8行中的第5個(gè)數(shù)是127＋5＝132.二、填空題{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝2，且對(duì)于任意大于1的整數(shù)n，點(diǎn)(，)在直線x－y－＝0上，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為________________.考點(diǎn) an與Sn關(guān)系題點(diǎn) 由Sn與an遞推式求通項(xiàng)答案 an＝4n－2解析 由題意得－＝，n∈N*，n≥2，∴{}是首項(xiàng)為＝＝，公差為的等差數(shù)列.∴＝n，∴Sn＝2n2，∴an＝Sn－Sn－1＝2n2－2(n－1)2＝4n－2，n∈N*，n≥2，
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