【正文】 (Ⅲ)若數(shù)列是B數(shù)列，則存在正數(shù)M，對任意的有 .因?yàn)?.記，則有 .因此.故數(shù)列是B數(shù)列. 。此命題為真命題。解: （Ⅰ）設(shè)滿足題設(shè)的等比數(shù)列為, ==所以首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列是B數(shù)列 .（Ⅱ）命題1：若數(shù)列是B數(shù)列，.事實(shí)上設(shè)=1，易知數(shù)列是B數(shù)列，但=n， .由n的任意性知，數(shù)列不是B數(shù)列。（Ⅱ）：A組：①數(shù)列是B數(shù)列, ②數(shù)列不是B數(shù)列。因此n是滿足的最小整數(shù)，而因而，n是滿足最小整數(shù)。解答下列問題：（Ⅰ）證明數(shù)列是等比數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列的前n項(xiàng)和為；（Ⅲ）是滿足的最大整數(shù)時，用表示n的滿足的條件。例63 已知數(shù)集具有性質(zhì)；對任意的，與兩數(shù)中至少有一個屬于.（Ⅰ）分別判斷數(shù)集與是否具有性質(zhì)，并說明理由；（Ⅱ）證明：，且；（Ⅲ）證明：當(dāng)時，成等比數(shù)列.解：（Ⅰ）由于與均不屬于數(shù)集，∴該數(shù)集不具有性質(zhì)P. 由于都屬于數(shù)集， ∴該數(shù)集具有性質(zhì)P.（Ⅱ）∵具有性質(zhì)P，∴與中至少有一個屬于A，由于，∴，故. 從而，∴.∵， ∴，故.由A具有性質(zhì)P可知.又∵，∴，從而，∴. （Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)時，有，即， ∵，∴，∴，由A具有性質(zhì)P可知. ，得，且，∴，∴，即是首項(xiàng)為1，公比為成等比數(shù)列...例64 給定項(xiàng)數(shù)為的數(shù)列，其中.若存在一個正整數(shù)，若數(shù)列中存在連續(xù)的k項(xiàng)和該數(shù)列中另一個連續(xù)的k項(xiàng)恰好按次序?qū)?yīng)相等，則稱數(shù)列是“k階可重復(fù)數(shù)列”，例如數(shù)列因?yàn)榕c按次序?qū)?yīng)相等，所以數(shù)列是“4階可重復(fù)數(shù)列”.（Ⅰ）分別判斷下列數(shù)列① ②是否是“5階可重復(fù)數(shù)列”？如果是，請寫出重復(fù)的這5項(xiàng)；（Ⅱ）若數(shù)為的數(shù)列一定是 “3階可重復(fù)數(shù)列”，則的最小值是多少？說明理由；（III）假設(shè)數(shù)列不是“5階可重復(fù)數(shù)列”，若在其最后一項(xiàng)后再添加一項(xiàng)0或1，均可使新數(shù)列是“5階可重復(fù)數(shù)列”，且，求數(shù)列的最后一項(xiàng)的值.解：（Ⅰ）記數(shù)列①為，因?yàn)榕c按次序?qū)?yīng)相等，所以數(shù)列①是“5階可重復(fù)數(shù)列”，重復(fù)的這五項(xiàng)為0,0,1,1,0。因此 又 。2－7　(Sn＝例59 數(shù)列的通項(xiàng)，其前n項(xiàng)和為. (1) 求。2∴bn＝(Ⅱ)Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn當(dāng)n為偶數(shù)時，Sn＝(b1＋b3＋…＋bn－1)＋(b2＋b4＋…＋bn)＝＋＝7 n∈N*　即an＝又∵bn＝an＋an＋1當(dāng)n為奇數(shù)時，bn＝2＋2＝3a2＝2∴a1，a3，…，a2n－1是前項(xiàng)為a1＝1公比為2的等比數(shù)列，a2，a4，…，a2n是前項(xiàng)為a2＝2公比為2的等比數(shù)列　∴a2n－1＝2n－139。a2＝239。an＋1＝2n∴＝＝＝239。 （Ⅱ）求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅲ）,試估計(jì)該校新生的近視率的大小. 解：（I）由題意知：，∵數(shù)列是等比數(shù)列，∴公比∴ . (II) ∵=13,∴，∵數(shù)列是等差數(shù)列，∴設(shè)數(shù)列公差為，則得，∴＝87， ， (III) =, (或=)答:估計(jì)該校新生近視率為91%. 例57從原點(diǎn)出發(fā)的某質(zhì)點(diǎn)M, 按向量=(0,1)移動的概率為,按向量=(0,2)移動的概率為,設(shè)可達(dá)到點(diǎn)(0,n)的概率為Pn,求： (1).求P1和P2的值. (2).求證:Pn+2=Pn+Pn+1. (3).求Pn的表達(dá)式. 解: (1). P1= (2).證明:到達(dá)點(diǎn)(0,n+2)有兩種情況:從點(diǎn)(0,n)按向量移動。左邊不等式的等號成立當(dāng)且僅當(dāng) n=1時成立。 （2） 由（1）和（2）即得 。 （1）又因?yàn)?，所以，即? 因?yàn)?，所以。證明：記 ，則 。綜合（１）（２）（３），得。當(dāng)時，即。對于任意，, 則。 （２）如果，由題意 ，,. 則① 當(dāng) 時，（）. 事實(shí)上，當(dāng)時，, 設(shè)時成立（為某整數(shù)），則對， .② 當(dāng) 時，（）.事實(shí)上，當(dāng)時，, 設(shè)時成立（為某整數(shù)），則對，有.注意到 當(dāng)時,總有，即 . ，推出 。 因此，對一切都有的充要條件是或。 因?yàn)樗运械木笥?，因此與同號。另一方面，若則；若，則根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，綜合所述，對一切都有的充要條件是或。 根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，對任何，都是奇數(shù)。解：（Ⅰ）當(dāng)時，又 數(shù)列成等比數(shù)列，其首項(xiàng)，公比是（Ⅱ）由（Ⅰ）知 = 又當(dāng)當(dāng) （Ⅲ）由（Ⅰ）知一方面，已知恒成立，取n為大于1的奇數(shù)時，設(shè)則 對一切大于1的奇數(shù)n恒成立只對滿足的正奇數(shù)n成立，矛盾。（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）記，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：對任意正整數(shù)都有；（III）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為。 （1）求證數(shù)列是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式； （2）求證：； （3）當(dāng)?shù)那皀項(xiàng)和Sn。又過點(diǎn)P1作曲線C的切線，切點(diǎn)為M2，設(shè)M2在x軸上的投影是點(diǎn)P2，…。 證明（1）由由猜想：數(shù)列是遞減數(shù)列下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1）當(dāng)n=1時，已證命題成立 （2）假設(shè)當(dāng)n=k時命題成立，即易知，那么=即也就是說，當(dāng)n=k+1時命題也成立，結(jié)合（1）和（2）知，命題成立（2）當(dāng)n=1時，結(jié)論成立當(dāng)時，易知 例47 已知函數(shù)（I）求（II）已知數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項(xiàng)公式。 =3(2n+1－2)－3nn+1∴－Sn=(3－3n)2n+1－6Sn=6+(3n－3)2n+1 （3） ∴T1T2=T3T4…Tn 故Tn的最大值是T2=T3= ∴m≥。2n+1 =3（2+22+…+2n）－3n23+…321+32n+3n22+62n－1+3n22+92n Sn=3（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若，問是否存在，使成立，若存在，求出值；若不存在，說明理由；（Ⅲ）對任意正整數(shù)，不等式成立，求正數(shù)的取值范圍?！唷?……+設(shè)……+，∴……，∴∴ （Ⅲ）設(shè),數(shù)列的前項(xiàng)和為,求證: 解：(Ⅰ)由得　　　　，即　， 是以２為公比的等比數(shù)列　　　　　　 (Ⅱ) 又　　　　　　　　　　即 ，　　　　　　　　　　　　故　　　　　　　?。á螅　　∮掷?6 給定正整數(shù)和正數(shù)，對于滿足條件的所有無窮等差數(shù)列，試求的最大值，并求出取最大值時的首項(xiàng)和公差．解：設(shè)公差為，則．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　又．∴，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴．　　　　　　　　　　　　當(dāng)數(shù)列首項(xiàng)，公差時，∴的最大值為．　　　　　　　　　　　　　　　　例37 已知數(shù)列{an}滿足a1=5，a2=5，an+1=an+6an－1（n≥2，n∈N*），若數(shù)列是等比數(shù)列. （Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）求證：當(dāng)k為奇數(shù)時，； （Ⅲ）求證： 得=2或=－3 當(dāng)=2時，可得為首項(xiàng)是 ，公比為3的等比數(shù)列，則 ①當(dāng)=－3時，為首項(xiàng)是，公比為－2的等比數(shù)列，∴ ②①－②得， （注：也可由①利用待定系數(shù)或同除2n+1得通項(xiàng)公式）（Ⅱ）當(dāng)k為奇數(shù)時， ∴ （Ⅲ）由（Ⅱ）知k為奇數(shù)時， ①當(dāng)n為偶數(shù)時， ②當(dāng)n為奇數(shù)時，= 例 38 如圖，把正分成有限個全等的小正三角形，且在每個小三角形的頂點(diǎn)上都放置一個非零實(shí)數(shù)，使得任意兩個相鄰的小三角形組成的菱形的兩組相對頂點(diǎn)上實(shí)數(shù)的乘積相等．設(shè)點(diǎn)A為第一行，．．．，BC為第n行，記點(diǎn)A上的數(shù)為，第i行中第j個數(shù)為．若．（1）求；（2）試求第n行中第m個數(shù)的表達(dá)式（用n、m表示）；（3）記，求證：.解：（1）（2） （3）當(dāng)時，所以當(dāng)時，則又所以例39 已知，且，數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)時，令，則在遞增。（2）當(dāng)時，綜上。則。又易知單調(diào)遞增，故，得(3)由得=……13分由，得n=1005,即存在滿足條件的自然數(shù)n=1005. 例33 已知數(shù)列中，當(dāng)時，其前項(xiàng)和滿足，（1） 求的表達(dá)式及的值；（2） 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3） 設(shè)，求證：當(dāng)且時。(2)若,求證：對任意都成立；(3)若,求證：對任意都成立.解 (1)由得：即，求得（2）由知，兩邊同除以，得（3） ，將代入，得； ㈠ 而， ㈡ 由㈠㈡知，命題成立.例32 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為?！?分當(dāng)，[來源:Z+xx+]則