【正文】 謹(jǐn)以此稚嫩的論文獻(xiàn)給所有關(guān)心 和幫助過(guò)我的老師、親人、同學(xué)、和朋友們。 黑河學(xué)院學(xué)士畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 14 主要參考資料 「 1」 劉玉璉 傅沛仁 著《數(shù)學(xué)分析講義》（上冊(cè)） 5464 北京高等教育出版社 2020年 「 2」 孫清華 孫昊 著《數(shù)學(xué)分析內(nèi)容、方 法與技巧》 華中科技大學(xué)出版社 2020年 「 3」 郭大鈞 陳云妹 裘卓明 著《數(shù)學(xué)分析》 山東科學(xué)技術(shù)出版社 1982年 「 4」 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 著《數(shù)學(xué)分析》 高等教育出版社 2020年 「 5」 李杰紅 關(guān)于遞推數(shù)列收斂的一種判別法 天津科技大學(xué)學(xué)報(bào) 2020年 第十九卷第二期 「 6」 馬愛(ài)江 單調(diào)有界數(shù)列必有極限與柯西收斂準(zhǔn)則等價(jià)性證明 新疆教育學(xué)院學(xué)報(bào) 2020年 第二十卷第四期 「 7」 李慶揚(yáng) 《 數(shù)值分析 》 華中理工大學(xué)出版社 1995 「 8」 王向東 《 數(shù)學(xué)分析的概念與方法 》 （上冊(cè)） 82106 上?？萍嘉墨I(xiàn)出版社 1989 「 9」 林新和 一類不滿足迫斂性條件數(shù)列收斂的判別法 呼倫貝爾學(xué)院學(xué)報(bào) 2020年 第十二卷第六期 「 10」 蔣林智 迫斂性在解決求極限問(wèn)題中的應(yīng)用討論 皖西學(xué)院學(xué)報(bào) 2020年 第二十二卷第二期 「 11」 萬(wàn)麗 一類迭代數(shù)列斂散性判別的新準(zhǔn)則 河北理科教學(xué)研究 2020年 第一期 「 12」 裴禮文 《數(shù)學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法 》 119高等教育出版社 1993年 5月 「 13」 董璽印 楊靜懿 楊公輔 鐘百根 著《微積分》 2736對(duì)外經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué)出版社 2020年 1月 「 14」 任親謀 著 《數(shù)學(xué)分析習(xí)題解析》 （上 冊(cè) ） 陜西師范大學(xué)出版社 2020年 「 15」 李偉 劉文燦 張戰(zhàn)亮 著 《數(shù)學(xué)分析習(xí)題課教程》 （上冊(cè)） 中國(guó)礦業(yè)大學(xué)出版社 1984年 黑河學(xué)院學(xué)士畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 15 致謝 在論文完成之 際，我謹(jǐn)向給予我教導(dǎo)和幫助過(guò)我的所有老師以及和我一起走過(guò) 的同學(xué)們致以衷心的感謝！深深感謝我的導(dǎo)師 —— 王宏 老師 對(duì)我的無(wú)私關(guān)懷和諄諄教誨。 數(shù)列收斂問(wèn)題始終是數(shù)學(xué)分析課程入門的重要概念，本文從數(shù)列收斂的極限定義與判別數(shù)列收斂的幾種方法入手進(jìn)行探討 。 實(shí)質(zhì)上定理 定理 6 都是在一個(gè)數(shù)列的前提下給出的，它們?cè)谂袆e數(shù)列是否收斂時(shí)也不用刻意地和常數(shù)聯(lián)系在一起就可以判別某些數(shù)列的收斂問(wèn)題，或解決極限的存在問(wèn)題，因此可以說(shuō)這兩個(gè)命題是收斂數(shù)列的一種判別法。因?yàn)樗呐甲恿?{ 2( 1)(2 ) kk ? }={2k }發(fā)散。 應(yīng)用子列的相關(guān)定理判別數(shù)列收斂 定 理 { na }收斂于 a ，則 {na }的任意子數(shù)列kna也收斂于 a . 它的等價(jià)命題是： 若數(shù)列 { na }有某一個(gè)子數(shù)列發(fā)散，或有某兩個(gè)收斂子數(shù)列，它們的極限不相等，則數(shù)列 {na }發(fā)散，且 lim limknnnka a a?? ???? 黑河學(xué)院學(xué)士畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 13 應(yīng)用該定理的這一等價(jià)命題很容易判別某些數(shù)列的發(fā)散性。 如果數(shù)列有一個(gè)子數(shù)列發(fā)散，或有兩個(gè)子數(shù)列收斂于不同的數(shù)，則這個(gè)數(shù)列一定發(fā)散。 如果這個(gè)子數(shù)列存在極限，就稱它為是原來(lái)數(shù)列的一個(gè)收斂子數(shù)列。 證明： ? n ， p ?N+，有 │ npy? ? ny │ =│ npy? ? 1npy?? ? 1npy?? ? 2npy?? ? ? ? 1ny? ? ny │ ≤│ npy? ? 1npy?? │ ? │ 1npy?? ? 2npy?? │ ? ? ? │ 1ny? ? ny │ ≤ 1npcr?? ? 2npcr?? ? ? ? ncr = ncr （ 1 ? r ? ? ? 1pr? ） = ncr 11 prr?? 1 nc rr? . 已知 lim 0nn r?? ?（ 0r 1），即 ? ? 0， ? N?N+， ? n N，有 nr ? . 于是， ? ? 0， ? N?N+， ? n N， ? p ?N+有 │ npy? ? ny │ 1 nc rr? 1cr?? . 其中 1cr? 是正常數(shù)，根據(jù)柯西收斂準(zhǔn)則，數(shù)列 { ny }收斂?？挛魇諗繙?zhǔn)則的優(yōu)點(diǎn)在于它不需要借助數(shù)列以外的任何數(shù)，只需根據(jù)數(shù)列自身各項(xiàng)之間的相互關(guān)系就能判別該數(shù)列的斂 散性。 柯西收斂準(zhǔn)則指出：數(shù)列收斂等價(jià)于數(shù)列中充分遠(yuǎn)（即自然數(shù) n 充分大）的任意兩項(xiàng)黑河學(xué)院學(xué)士畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 12 的距離能夠任意小。當(dāng)然柯西收斂準(zhǔn)則主要在于它在近代分析中有極其重要的理論意義。 注 用柯西收斂準(zhǔn)則來(lái)證明數(shù)列收斂和用極限定義來(lái)證明是很不一樣的。 證 用柯西收斂準(zhǔn)則來(lái)證 因?yàn)?1lim 02nn?? ?，所以 對(duì)任給的 ? 0都有 N，使當(dāng) n N 時(shí)， 12n ??。因此柯西收斂準(zhǔn)則不僅可以判別數(shù)列收斂性，而且在數(shù)學(xué)分析課程中貫穿始終，是實(shí)數(shù)完備性理論的基本定理之一。 柯西收斂準(zhǔn)則的應(yīng)用 【例 11】 研究任一無(wú)限十進(jìn)制小數(shù) 120. na b b b? 的 n位不足近 似（ n= 1， 2，?）所組成的數(shù)列 121 0 1 0 1 0nn bbba ? ? ? ?（其中 kb 為 0， 1， 2，? 9，中的一個(gè)數(shù)）的收斂問(wèn)題。 因此，該定理在幾何上就是說(shuō)：點(diǎn)列“聚集”在某點(diǎn)近旁的充分必要條件是此點(diǎn)列充分 靠后的點(diǎn)之間互相任意接近。它表示數(shù)軸上點(diǎn) na 與點(diǎn) ma 的距離小于 ? 。因?yàn)??????22 ,N ?? ???就有 2 01n ?? ? ??? 。 迫斂性定理的 應(yīng)用 【例 10】 求數(shù)列 nn??的極限。若 ? N?N+， ? nN，有 na ≤ nb ≤ nc ， 且 limnn a??=limnn c??=l ，則 limnn b??=l . 黑河學(xué)院學(xué)士畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 9 證明：已知 limnn a??=limnn c??=l ，即 ? ? 0，有 ① ? 1N ?N+， ? n 1N ，有│ na ? l │ ? ，從而 l ? ? na ， ② ? 2N ? ? +， ? n 2N ，有│ nc ? l │ ? ，從而 nc l ? ? . ? 0? ? max{ 1? ， 2N ， ? }， ? n 0? ，同時(shí)有 l ? ? na ≤ nb ≤ nc l ? ? ，從而 l ? ? nb l ? ? ， 或│ nb ? l │ ? ，即 limnn b?? =l . 推論：若有兩個(gè)數(shù)列 {nb }與 {nc }，且 ? N?N+， ? n N+，有 l ≤ nb ≤ nc ， 又 limnn c??=l ，則 limnn b??=l . 迫斂性 定理不僅指出了極限存在性 ,還給出了極限值 。于是，由定理知 nx 的極限存在，且此極限不超過(guò) 3 。1 ( 1 ) ! 1 1 1nx n n n k n nkn n n nnnn n n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ? ? 由此可知 1nnxx?? ， 從而 ??nx 是一個(gè)增數(shù)列。 黑河學(xué)院學(xué)士畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 8 證 下面我們證明數(shù)列 1(1 )nnx n??是增數(shù)列，而且有上界，從而由定理，即知它趨于有限極限。 該定理用來(lái)判別 數(shù)列 是否收斂 ，不用刻意地和常數(shù)聯(lián)系在 一起就可以判別某些數(shù)列 講解 的收斂問(wèn)題，或解決極限的存在問(wèn)題，為理論上探討數(shù)列的收斂問(wèn)題奠定了基礎(chǔ)，隨著在對(duì)數(shù)學(xué)的深入接觸中我們會(huì)發(fā)現(xiàn)用這個(gè)定理又導(dǎo)出實(shí)數(shù)完備性的基本定理。 首先數(shù)列 {}na 是單調(diào)上升： 1nnaa?? ，這可以用數(shù)學(xué)歸納法予以驗(yàn)證。同理可證有下界的遞減數(shù)列必有極限，且其極限即為它的下確界。又由 {}na 的遞增性，當(dāng) nN? 時(shí)有