可測(cè)函數(shù)列常見(jiàn)的幾種收斂(編輯修改稿)
2025-06-12 03:07 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 處收斂．反之則不然，如例2．而且還可以得到若是可測(cè)集上的可測(cè)函數(shù)列，則極限函數(shù)也是可測(cè)函數(shù)．應(yīng)用：從數(shù)學(xué)分析我們知道一致收斂的函數(shù)列對(duì)于求極限運(yùn)算和(R)積分運(yùn)算、微分運(yùn)算與(R)積分運(yùn)算等可以交換次序． 幾乎處處收斂與一致收斂的關(guān)系葉果洛夫(EopoB)定理[5]：．．有限的函數(shù)的可測(cè)函數(shù)，則對(duì)于任意的，存在子集，使在上一致收斂，且．注 定理中“”不可去掉如：例4定義在的函數(shù)列則在上處處收斂于1，但對(duì)于任何正數(shù)及任何可測(cè)集，當(dāng)時(shí)時(shí)，在上不一致收斂于1．這是因?yàn)?，?dāng)時(shí)時(shí)，不能全部含于中，必有，于是有．所以在上不一致收斂與1，也即定理中“”不可去掉[4]．由定義我們知道一致收斂必是幾乎處處收斂的，反之則不成立．但它們又有密切的關(guān)系，即使上述定理告訴我們幾乎處處收斂“基本上”是一致收斂的(在除去一個(gè)測(cè)度為任意小集合的子集上)．應(yīng)用 由上述定理我們還可以得到“魯津定理”：．有限的可測(cè)函數(shù)，則對(duì)于任意的，存在閉子集，使在上是連續(xù)函數(shù)，且．也就是說(shuō)：．有限的可測(cè)函數(shù)“基本上”是連續(xù)的(在除去一個(gè)測(cè)度為任意小集合的子集上)．．有限的可測(cè)函數(shù)．例5 取，將等分，定義兩個(gè)函數(shù)：，．然后將四等分、八等分等等．一般的，對(duì)于每個(gè)，作個(gè)函數(shù)：．我們把，先按后按的順序逐個(gè)的排成一列： 在這個(gè)序列中是第個(gè)函數(shù)．可以證明這個(gè)函數(shù)列是依測(cè)度收斂于零的
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