【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 可導(dǎo) ,在 0xx? 處二階可導(dǎo) ,且 四川民族學(xué)院本科學(xué)生畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 ) 4 0)( 0 ?? xf , 0)(39。39。 0 ?xf . （ 1）若 0)(39。39。 0 ?xf ,則 f 在 0x 取得極大值 。 （ 2）若 0)(39。39。 0 ?xf ,則 f 在 0x 取得極小值 . 定理 3（極值的第三充分條件） 設(shè) f 在 0x 的某個(gè)鄰域內(nèi) ,存在直到 1?n 階導(dǎo)函數(shù) ,在 0x 處 n 階可導(dǎo) ,且 ,則0)(),1,2,1(0)( 0)(0)( ???? xfnkxf kk ?,則 （ i）當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí) ,f 在 0x 取得極值 ,且當(dāng) 0)( 0)( ?xf n 時(shí)取極大值 , 0)( 0)( ?xf n 時(shí)取極小值 。 （ ii）當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí) ,f 在 0x 處不取極值 . 函數(shù)極值的求解方法 函數(shù)極值的求解方法有很多 ,根據(jù)定義我們可以用導(dǎo)數(shù)法進(jìn)行求解 ,但當(dāng)函數(shù)較為復(fù)雜 , 導(dǎo)及不可導(dǎo)點(diǎn)不好數(shù)與駐點(diǎn)求或函數(shù)較為復(fù)雜時(shí) ,我們可以采用以下方法進(jìn)行求解 . 極值的一般求法（利用區(qū)間的單調(diào)性或者定義 ） 例 1 求函數(shù) 5156)( 23 ???? xxxxf 的極值 [4]. 解 ∵ 5156)( 23 ???? xxxxf , ∴ 15123)(39。 2 ??? xxxf 令 15123)(39。 2 ??? xxxf =3 )5)(1( ?xx =0 解得 5,1 21 ??? xx 當(dāng) x 變化時(shí) , )(39。),( xfxf 的變化情況如下表 : x )5,( ??? 5 （ 5,1） 1 （ 1,+? ） )(39。 xf + 0 0 + )(xf ↗ 105 ↘ 3 ↗ 第二章 函數(shù)極值的相關(guān)理論 5 因此 ,當(dāng) x =5 時(shí) , )(xf 有極大值 ,并且 極大值為 ??)5(f 105, 當(dāng) x =1 時(shí) , )(xf 有極小值 , 并且極小值為 3)1( ??f . 函數(shù) 5156)( 23 ???? xxxxf 的 圖像 (如右圖 2— 1). 圖 2— 1 利用極值的第一、第二、第三的充分條件求極值 例 2 求 3 2)52()( xxxf ?? 的極值點(diǎn)與極值 (由極值的第一充分條件 )[1]. 解 32353 2 52)52()( xxxxxf ???? 在 ),( ???? 上連續(xù) ,且當(dāng) 0?x 時(shí) ,有 33132 1310310310)( xxxxxf ????? ?. 易見 , 1?x 為 f 的穩(wěn)定點(diǎn) , 0?x 為 f 的不可導(dǎo)點(diǎn) .這兩點(diǎn)是否是極值點(diǎn) ,需作進(jìn)一步討論 .現(xiàn)列表如下（表中↗表示遞增 ,↘表示遞減） : x （ 0,?? ） 0 （ 0,1） 1 （ 1,+? ） 39。y + 不存在 — 0 + y ↗ 0 ↘ 3 ↗ 由上表可見 : 點(diǎn) 0?x 為 f 的極大值點(diǎn) , 極大值 0)0( ?f 。 1?x 為 f 的極小值點(diǎn) , 極小值 3)1( ??f （如右圖 2— 2） 圖 2— 2 例 3 求 )(xf = xx 82 4? 的極值點(diǎn)與極值 [1]. 四川民族學(xué)院本科學(xué)生畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 ) 6 （由極值的第二充分條件） . 解 當(dāng) 0?x 時(shí) ,23 88)(39。 xxxf ??. 令23 88)(39。 xxxf ??=0,求得穩(wěn)定點(diǎn) ?x 1. 又因?yàn)? 32 1624)(39。39。 xxxf ??,即 ?)1(39。39。f 40? 0. 由 定理 2（極值的第二充分條件）得 ,故 1?x 為 f 的極小值點(diǎn) ,極小值 ?)1(f 10. 三元函數(shù)求極值 例 4 討論三元函數(shù) zyxzyxzyxfu 642),( 222 ??????? 的極值 [12]. 解 先求出三個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)令它們?yōu)?0. 即 ??????????????062042022zuyuxuzyx 求出的穩(wěn)定點(diǎn)??????????321zyx . 因?yàn)? )3)(62()2)(42()22)(1( ???????? zzyyxx = 222 )3(2)2(2)1(2 ????? zyx 由推論知 zyxzyxzyxfu 642),( 222 ??????? 在點(diǎn) (1,2,3)處得極小值 . 1436)2(4)1(23)2()1()3,2,1( 222 ????????????????? fu 極小值 故 u 的最小值為 14.第三章 函數(shù)最值的相關(guān)理論 7 第三章 .函數(shù)最值的相關(guān)理論 函數(shù)最值的定義 函數(shù)最值 設(shè)函數(shù) )(xf 在 X 區(qū)間上有定義 ,如果存在一點(diǎn) Xx?0 ,使得 )(0xf 不小于其他所有的 )(xf ,亦即 )(0xf ? )(xf , Xx? , 則稱 )(0xf 是在 X 上的最大值 ,又可記為 )(0xf = )}(max{ xf 。 同樣使得 )(0xf 不大于其他所有的 )(xf ,亦即 )(0xf ? )(xf , Xx? , 則稱 )(0xf 是在 X 上的最小值 ,又可 )(0xf = )}(min{ xf . 注意 函數(shù) )(xf 在 X 上未必一定有最大（?。┲?. 例如函數(shù) ][)( xxxf ?? 在區(qū)間 ??1,0 上無最大值但有最小值 ,最小值為 0。又如函數(shù)xxxf ?? ][)( 在區(qū)間 ? ?1,0 上有最大值為 0,但無最小值 。而函數(shù) xy 1? 在 )1,0( 內(nèi)既無最大值又無最小值 . 函數(shù)最值與上（下）確界的關(guān)系 設(shè)函數(shù) )(xf 在 X 上有定義 ,則它的 所有函數(shù)值組成一個(gè)數(shù)集 ,這個(gè)數(shù)集有它的上確界 ? 和下確界 ? ,即 四川民族學(xué)院本科學(xué)生畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 ) 8 ? ?)(sup xfXx??? , ? ?)(inf xfXx??? , 例如同樣的函數(shù) ][)( xxxf ?? 在 ? ?1,0 的上確界為 1,下確界為 0. 容易知道 ,函數(shù) )(xf 在 X上的最大（?。┲狄欢ㄊ撬趨^(qū)間上的上（下）確界 ,但反過來 ,上（下 ）確界未必是最大（?。┲?,這是因?yàn)楹瘮?shù)可能不存在最大（小）值 .例如函數(shù) ][)( xxxf ?? 在 ? ?1,0 內(nèi)有上確界 1,但無最大值 . 函數(shù)最值的求解方法 導(dǎo)數(shù)法 閉區(qū)間上可導(dǎo)函數(shù)的最值來源于區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值和函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上的極值 ,而極值又來源于 0)(39。 ?xf 的根處的函數(shù)值 .所以建議求可導(dǎo)函數(shù)在閉區(qū)間 [a,b]上的最值可分以下兩步步驟進(jìn)行 : 。 [a,b]內(nèi)令 0)(39。 ?xf 的 x 的值（稱之為 ” 駐點(diǎn) ” )。 )(39。xf 的正負(fù) ,以此判斷函數(shù)曲線的走向（ 0)(39。 ?xf 為上升 , 0)(39。 ?xf 為下降） ,左邊上升、右邊下降的駐點(diǎn)處的函數(shù)值為極大值 ,反之為極小值 。 ,分段討論 ,并可以列表、畫圖表達(dá) 。 ,將所有極大值和函數(shù)定義域區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值一起比較 ,取最大的 ,則為最大值 .最小值亦然 . 一般的求導(dǎo)數(shù)的方法 例 1 求函數(shù) 42)( 23 ???? xxxxf 在閉區(qū)間 [3,3]上的最大值和最小值 [10]. 解 先求導(dǎo)數(shù)得 : 143)(39。 2 ??? xxxf .令 143)(39。 2 ??? xxxf =0 解得 1,31 21 ?? xx 第三章 函數(shù)最值的相關(guān)理論 9 計(jì)算得 34)3( ???f , 16)3( ?f , ?)31(f 2715 , 4)1( ?f 可知 271531 ?）（極大值f, 41 ?）（極小值f 比較得 34)(min ??xf , 16)(max ?xf 故函數(shù) 42)( 23 ???? xxxxf 在閉區(qū)間 ? ?3,3? 上的最大值是 16,最小值是 34. 轉(zhuǎn)化法 在函數(shù)最值法不易直接求解的情況下 ,應(yīng)注意觀察題型結(jié)構(gòu) ,分析題設(shè)特點(diǎn) ,把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為熟知的、易解的問題 ,通過其他途徑求解 .下面二例的解法作為參考 . 例 2 求函數(shù) 2cos2 1sin2 ??? xxy 的最值 . 解 原函數(shù)可化為 : )a r c t a ns i n (1221 2 yxyy ???? 則有 ? ?222 )a rc t a ns i n(12)21( yxyy ???? 又由于 ? ? 1)a r c ta ns in (0 2 ??? yx 所以有 222 )12()21( yy ??? 解得 43?? 故 y 有最小值 ,即 43min ??y. 幾何法求最值（主要是運(yùn)用幾點(diǎn)間的距離求最大和最?。? 例 3 已知直線 03???yx ,求函數(shù) 22)1( yxS ??? + 22)1( yx ?? 的最值 . 解 此題的幾何意義是在直線 03???yx 上求一點(diǎn) M ,使得 M 到點(diǎn) )0,1(? , )0,1( 的距離之和最小 .(如下圖 3— 1） 四川民族學(xué)院本科學(xué)生畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 ) 10 設(shè) :點(diǎn) BA, 的坐標(biāo)分別為 )0,1(? , )0,1( ,直線 l 的方程為 03???yx .由幾何光學(xué)原理知當(dāng)點(diǎn)光源從 A 射出后 ,經(jīng)鏡面 l 反射到點(diǎn) B ,這時(shí) NBBMAM ?? 就是所求的最小值 . 設(shè)點(diǎn) B 關(guān)于光線 l 的對(duì)稱點(diǎn)為 ),( 11 yxN ,于是 minS = NBBMAM ?? ,由 ????????????????0322 111101111yx xy 化簡(jiǎn)得 ??? ?????? 05 011111 yx yx 解得 2,3 11 ??? yx 所以 minSNBBMAM ?? = 22 )02()13( ???? = 52 圖 3— 1 最值不等式的 證明 定理 設(shè) cbxaxx mmxf ???? 2)( ( Nmma ??? ,1,