【文章內(nèi)容簡介】 ??? kkknkttuX )])((212[1112?????? ? kkkknkttttA)0(212 22 ?? tA 22 tA?所以 ? t dttX0 )( ?? t t dtA0 22 22 tA?首頁 例 2 解 討論維納過程 的均方可積性。 且有 由于 )(tX因 )()( sXtX ? 服從 N （ 0 , )(2 st ?? ）分布，0)0( ?X),m i n (),( 2 tstsR ??ds dttsRu u ),(0 0? ?2?? ][0 0 dsts dsdtutu t ?? ? ?332 u??對一切有窮的 u存在， 故均方積分 dttXuY u )()( 0?? 存在。首頁 例 3 解 設(shè) 設(shè)隨機(jī)過程 { )( tX ， 0?t } 的相關(guān)函數(shù)為||),( tsMetsR ??? ?試求 )( tX 的積分的相關(guān)函數(shù)。dttXsY s )()( 0??所以 ),(21 ssR Y ? ??1 20 0 )(s s ds d ttsR ，? ? ??? 1 20 0 ||s s ts d s d teM ?? ?? ?????? ?? ????1 20 )(0 )(s ss sts ts dsdtedteM ??21 ss ?? ?12 )(21 1221 ????? ???? ssss eeeMsM ?????首頁 同樣可得 故得 當(dāng) 21 ss ? 時，),( 21 ssR Y ? ?12 )(22 2121 ????? ???? ssss eeeMsM ?????),( 21 ssR Y),m i n(2 21 ssM?? ? ?1||21221 ???? ???? ssss eeeM ????返回 首頁 第六節(jié) 均方黎曼 — 司蒂吉斯積分 一、定義 有界變差函數(shù) 設(shè) )( xf 是區(qū)間 [ a ， b ] 上的有界函數(shù)，對任意一組點(diǎn) ],[, 10 battt n ?? bttta n ????? ?10作和式 |)()(|),(10110 iniinf tftftttI ?? ?????則稱 f 是對分組點(diǎn) nttt , 10 ? 的變差 如果對一切可能的分組點(diǎn)，變差所形成的數(shù)集 有界， |),(|10 nf tttI ? 則稱 f 是在 [ a ， b ] 上的有界變差函數(shù) 首頁 Rieman— Stieltjes積分 記 設(shè) { )( tX , Tt ? } 為二階矩過程，)( tf 是在 [ a ， b ] 上的有界變差函數(shù)，],[ baT ?對區(qū)間 [ a ， b ] 進(jìn)行分割：bttta n ????? ?101???? iii ttt ni ??1 }1,m a x { nit i ?????作和式 nI 1 和 nI 2 ：)]()()[( 111 ????? ? iiinin tXtXtfI)]()()[( 112 ????? ? iiinin tftftXIiii ttt ????1如果均方極限 11 )(0l. i. m II n ??? 22 )(0l. i. m II n ???存在并與分割和 的取法無關(guān)， it? 首頁 則 均方黎曼 — 司蒂吉斯積分 1I 和 2I 分別稱為 )( tf 對 )( tX 和 )( tX 對 )( tf 的記為 ?? ba tdXtfI )()(1?? ba tdftXI )()(2二、 和 積分存在條件 1I 2I定理 1 設(shè) { )( tX , ],[ bat ? } 為二階矩過程，其相關(guān)函數(shù)為 ),( stR X首頁 則 存在 則 存在 （ 1） ?? ba tdXtfI )()(1?? ba tdftXI )()(2（ 2） 若 )( tf 是 [ a ， b ] 上連續(xù)有界函數(shù)，),( stR X 在 ],[],[ baba ? 上為有界變差，若 ),( stR X 在 ],[],[ baba ? 上連續(xù)，)( tf 是 ],[ ba 上的有界變差函數(shù)，定理 2 若1I 存在，則 2I 也存在。且有 12 )]()([ ItXtfI ba ??注 反之也成立。 首頁 定理 3 三、期望與二階矩 若 1I 和 2I 都存在，則有? ba tdXtf )()( batXtf )]()([? ?? ba tdftX )()(? ba tdftX )()( batXtf )]()([? ?? ba tdXtf )()(])([)(][ 1 ?? ba tXdEtfIE?? ba tdftXEIE )()]([][ 2][ 21IE ),()()( 2? ?? ba Xba stKdsftf][ 22IE ? ?? ba ba X sdftdfstK )()(),(返回 首頁 第七節(jié) 均方導(dǎo)數(shù)與均方積分的分布 一、特征函數(shù)族 問題 如何利用隨機(jī)過程的特征函數(shù)族，求出其均方導(dǎo)數(shù)及均方積分的特征函數(shù)族 定理 1 其有窮維特征函數(shù)族為 設(shè) { )( tX , ],[ bat ? } 為二階矩過程，),({ 11 nntt ??? ?? ；（ 1） 若 的均方導(dǎo)數(shù)存在， TX則對任意 Ttt n ?,1 ? ，Ththt nn ??? ,11 ? 有 ),( 11 nnX tt ??? ?? ；?；nnnhh thtthtthtn,,(l i m 2221110,1???? ? ?? ?),,22221111nnnnhhhhhh?????? ??? ?首頁 （ 2） 則對任意 Ttt n ?,1 ? ，有 若 TX 的均方積分 dttXtY ta )()( ?? 存在，),( 11 nnY tt ??? ?? ；,,( )()(1)1()1(1,101)(lim nmnmniniimuuuu ????????),), )1( 111)1(0111 11 ??? mm tttt ）（）（ （（ ?? ? )),), )( 1)()(01 nmnmnnnnnn tttt ??? （（）（ ?? ??其中 ],[ ita 的分點(diǎn)為 iimii tttta i ????? )()(1)(0 ?],[ )()( 1)( ikikik ttu ?? imk ??1)(m a x )( 1)(1)( ikikmkim ttii??? ???ni ,1 ?? 首頁 二、正態(tài)過程的均方導(dǎo)數(shù)、積分的性質(zhì) 性質(zhì) 1 設(shè) ),( )()(2)(1)( ?? nknnn XXXX ? 為 k 維正態(tài)隨機(jī)向量，且 )( nX 均方收斂于 ),( 21 ?? kXXXX ? ，即對每個 i有 0][l i m 2)( ???? inin XXE ki ??1則 X也是 k維正態(tài)隨機(jī)向量。 性質(zhì) 2 設(shè) { )( tX , Tt ? } 是正態(tài)過程，且在 T 上均方可微，則 { )( tX ? , Tt ? } 也是正態(tài)過程。首頁 性質(zhì) 3 則 也是正態(tài)過程 設(shè) { )( tX ， Tt ? } 是正態(tài)過程，且在 T 上均方可積，dssXtY ta )()( ?? ),( Tta ?三、正態(tài)過程的均方導(dǎo)數(shù)、積分的特征函數(shù) 定理 2 設(shè)正態(tài)過程 )( tX 的均值函數(shù)為 )( tm ，協(xié)方差為 ),( tsK（ 1） 若 )( tX 均方可微，則 ），（ )(,),()( 21 ntXtXtX ??? ? 的特征函數(shù)為 ),( 11 nnX tt ??? ?? ；?}),(21)(e xp{1,21???? ??????nkjkjkjnjjj tsttKtmi ???首頁 （ 2） 則 若 )( tX 均方可積， dssXtY ta )()( ?? ，），（ )(,),()( 21 ntYtYtY ? 的特征函數(shù)為),。,( 11 nnY tt ??? ??? ? ???? ???njtata kjnkjkjtajj kj ds dtttKdssmi1 1,}),(21)(e xp{ ???返回 首頁 第八節(jié) 均方微分方程 一、考察隨機(jī)微分方程 其中 是二階矩過程， 是二階矩隨機(jī)變量。 1 ??????????00 )(],[),()(XtXbaTttYtX)(tY 0X微分方程在均方意義下的唯一解是 ??? tt dssYXtX 0 )()( 02 微分方程解的均值和相關(guān)函數(shù) 首頁 （在 與 獨(dú)立時 ） 的均值函數(shù) 的相關(guān)函數(shù) )(tY0X)(tX??? tt dssYEXEtXE 0 )]([][)]([ 0)(tX),( tsR X ][ 20XE? ? ?? sttt dudvvuR0 0 ),()]()([),( tXsXEtsR X ?][][ 020 XEXE ?? ??????? ttduuYE0)(][ 0XE? ?????? ? stduuYE0)( ??????? ? ?sttt dudvvYuYE 0 0 )()(當(dāng) 0)]([ ?sYE][)]([ 0XEtXE ?注 有 此時有 首頁 微分方程的解 的均值函數(shù)與相關(guān)函數(shù)完全由 與 的相關(guān)函數(shù)所決定。 注 二、考察一階線性微分方程 )(tY0X)(tX?????????00 )()()()()(XtXtYtXtatX其中 是普通的函數(shù)， 是二階矩過程， 是二階矩隨機(jī)變量。 )(ta )(tY 0X1．方程的解 定理 1 一階線性微分方程的解為 ? ???? tt duuaduuadsesYeXtXtstt00)()(0 )()(首頁 證 顯然 00 )( XtX ?其次，利用求導(dǎo)驗證即可。 )(tX ? ??ttduuaetaX 0)(0 )(?? ts duuaetY )()(?? tt duuaeXta 0 )(0)[( ? ??ttduuadsesYts0])()( )(tY?)()( tXta? )(tY?? ???tt tduuadsesYts0])([)(首頁 2． 均值與相關(guān)函數(shù) 均值 相關(guān)函數(shù) )(tX)]([ tXE ??ttduuaeXE0)(0 ][? ??ttduuadsesYEts0)()]([),( 21 ttR X ????ttttduuaduuaeeXE 010)()(20 ][dsesYXEetstt duuattduua ???? ?22010)(0)()]([