【導讀】試判斷)(tX為二階矩過程。二階矩過程的相關函數(shù)),(21ttR也一定存在。說明在討論二階矩過程中，常假定均值為零，定義1設隨機變量序列{，n=1,2,…則稱{}均方收斂于X，}是二階矩隨機變量序列，的相關函數(shù)列按普通極限意義收斂。YXP，則稱X與Y相等。則稱在點t均方連續(xù)。若對某一確定的),(?????),(tsR為其相關函數(shù)，

　　

【正文】 )(s i n tt ??? ???? s in2?返回 首頁 第三節(jié) 平穩(wěn)正態(tài)過程與正交增量過程 一、 平穩(wěn)正態(tài)過程 定義 1 若正態(tài)隨機過程 { )( tX , ),( ?????t } ，滿足mtXE ?)]([)()]()([),( 2121 ?BtXtXEttR ??21 tt ???則稱 為平穩(wěn)正態(tài)過程。 )(tX注 平穩(wěn)正態(tài)過程一定是嚴平穩(wěn)過程。 證 由于 首頁 正態(tài)過程 的 n維特征函數(shù)為 由過程的平穩(wěn)性得 )(tX所以對任一 ，有 ),,( 2121 nnttt ???? ?? ；?????? ?? ? ??? ??lkknknlnkk ttKim ??? ),(21e xp11 11]})(][)({[),( mtXmtXEttK lklk ???22 )(),( mBmttR lk ???? ?lk tt ????),,( 2121 nnttt ??????? ?? ；???),,( 2121 nnttt ???? ?? ；? 首頁 即 是一個嚴平穩(wěn)過程。 即特征函數(shù)不因時間推移而改變。 由特征函數(shù)與分布函數(shù)的唯一確定性，必有 這表明的一切有限維分布也不隨時間推移而改變， )(tX說明 ),,( 2121 nn xxxtttF ?? ；??? ???),,( 2121 nn xxxtttF ?? ；?對正態(tài)過程，寬平穩(wěn)過程一定是嚴平穩(wěn)過程；嚴平穩(wěn)過程也一定是寬平穩(wěn)過程。 首頁 則 稱為正交增量過程。 二、正交增量過程 定義 2 有 )(tX定理 1 且 若二階矩過程 { )( tX ， Tt ? } 對于任意的4321 tttt ??? 4321 , tttt T?0)]}()()][()({[ 3412 ??? tXtXtXtXE設 { )( tX ， ],[ bat ? } 為均值為零的正交增量過程，),( tsR 、 )( tD 為其相關函數(shù)和方差，X （ a ） = 0則 )],[ m i n (),( tsDtsR ? 首頁 證 取 其中 at ?1 ， stt ?? 32 ， tt ?4 ，ts ?則有 0)]}()()[({ ?? sXtXsXE即 )]([)]()([ 2 sXEtXsXE ?所以 )( tX 的相關函數(shù))()]([)]()([),( 2 sDsXEtXsXEtsR ???同樣 若 st ?可得 )](),( tDtsR ?故 )],[ m i n (),( tsDtsR ? 返回 首頁 第四節(jié) 遍歷性定理 介紹從一次試驗所獲得的一個樣本函數(shù)來決定隨機過程的均值和自相關函數(shù)，從而就可以得到該過程的全部信息，即遍歷性問題。 定義 1 一、基本概念 稱 為沿整個時間數(shù)軸上的時間均值； 稱 為沿整個時間數(shù)軸上的時間相關函數(shù) 設 { )( tX , ?????? t } 為隨機過程，???????? T T dttXtX TT )()( 2 1l . i . m)(tX?? ????? ??? T T dttXtXtXtX TT )()()()( 2 1l . i . m ??)(tX首頁 定義 2 若 則稱 的 均值具有遍歷性 ； 則稱 的 自相關函數(shù)具有遍歷性 如果 均值、相關函數(shù)都具有遍歷性 )(tX)(tX設 )( tX 是一個均方連續(xù)平穩(wěn)過程，XmtXEtX ???? )]([)(若 )()]()([)()( ??? XRtXtXEtXtX ??????)(tX則稱 具有 遍歷性 ， )(tX 或者說 是 遍歷的 )(tX首頁 例 1 是否具有遍歷性。 解 試討論 )ωc o s ()( UtatX ?? ， ?????? t其中 a ， ω 是常數(shù)，U 是在 ]20[ ?， 上服從均勻的隨機變量。)]([ tXE )]ωc o s ([ UtaE ??dxxta ?? 2 1)ωc os (20 ?? ? 0?)]()([ tXtXE ??? ???? ? ??20 2 2 1)ωc os (])(ωc os [ dxxtxta?ωc os22a?首頁 故有 0??? )(tX ???????TTdtUtaTT)ωc os (2 1l . i . mTTUaT ωωs i nc osl . i . m??????? )()( tXtX ??? ???? ??? T T dtUtUtaTT )ωc os (])(ωc os [22 1l . i . m ??ωc os22a?)]([)( tXEtX ???)]()([)()( tXtXEtXtX ?? ?????即此過程是遍歷的。 首頁 例 2 研究隨機過程 的遍歷性 其中 Y為隨機變量，且 YtX ?)( ?????? t0)( ?YD ???)(YD解 因為 Y為隨機變量，且存在有限的二階矩， 所以 常數(shù)?? )()]([ YEtXE][)]()([ 2YEtXtXE ?? ?2)]([)( YEYD ?? ???由此知 是平穩(wěn)過程， )(tX 由于 YY dttX TTTT???? ????? 21l . i . m)( 不是常數(shù) 故 )]([)( tXEtX ??? 即 不是遍歷的 )(tX首頁 注 遍歷性隨機過程一定是平穩(wěn)過程，但平穩(wěn)過程不一定具備遍歷性。 引理 二、遍歷性定理 且 則 設 { )( tX , ?????? t } 為均方連續(xù)平穩(wěn)過程，mtXE ?)]([ ??? TTdttXY T )(2 1mtXEYE ?? )]([][2121 )()( 241 dtdtttKYD TTTTT ? ?? ???其中 2)()( mBK ?? ??21 tt ???首頁 證 由均方可積條件得 ])()( [2 1 ??? TTdttXYE ET mdttXETTT?? ??)]([2 1)( 2YE ])()(24 2211[1 ?????? TTTTdttXdttXTE2121 )]()([241 dtdttXtXETTTTT? ?? ??2121 )(241 dtdtttBTTTTT? ?? ???所以 ?)( YD )( 2YE 2)]([ YE?2121 )(241 dtdtttBTTTTT? ?? ??? 2m? 首頁 為應用方便，化簡上式 令 21221 ])([241 dtdtmttBTTTTT? ?? ????2121 )(241 dtdtttKTTTTT? ?? ???21 tt ??? 22 tt ?則 1),(),(221 ???ttt?于是 )(YD ? ???ddtKT TTT])([242021 ? ?? ?????? ? ddtKT TT ])([ 220? ????首頁 ? ??? dKTT T???? 02)()2(241 ???? dKTT? ?? 20 )()2(??? dKTTTT???? 22)(|)|2(241??? dmBTTTT????? 222 ))()(2||1(21定理 1 均值遍歷性定理 設 { )( tX , ?????? t } 是均方連續(xù)平穩(wěn)過程，則 )( tX 有均值遍歷性的充要條件為0))()(2 ||1(2l i m 2221 ??????????? dmBTTTTT其中 mtXE ?)]([ ， )( ?B 是相關函數(shù)， 21 tt ??? 。首頁 證 由引理得 從而 ?)( YD )( 2YE 2)]([ YE?? ? 2)]([)(2 1 tXEdttXE TTT?? ????? dmBTTTT????? 222 ))()(2||1(21? ? 0)]([)(l i m 22 1 ???????tXEdttXE TTT T0))()(2 ||1(2l i m 2221 ??????????? dmBTT TTT故 ??? )( tX )]([)(..21 tXEdttXmil TTT T??????0))()(2 ||1(2l i m 2221 ??????????? dmBTTTTT首頁 注 則 0))()(2 ||1(2l i m 2221 ??????????? dmBTT TTT可表示為 若 ???? t00))()(1(l i m021 ?????????? dmBTT TT定理 2 自相關函數(shù)遍歷性定理 設 { )( tX , ?????? t } 是均方連續(xù)平穩(wěn)過程，)()( tXtXZ ???則相關函數(shù) 具有遍歷性的充要條件為 )(?ZB0))()(2 ||1(2l i m 2221 ??????????? dmBTTTT zzT首頁 其中 證 注 則 )]()()()([)( tXtXtXtXEB Z ????? ??????)]()([ tXtXEm Z ???將定理 1 中的 )( tX 換成 )()( tXtX ?? 即可證明若 ???? t00))()(1(l i m021 ?????????? dmBTTTZZT首頁 三、均值函數(shù)與自相關函數(shù)的估計式 1 求相關函數(shù)常用的兩種方法： 已知 )( tX 表達式，用 ???? )()()( tXtXB ?? 求 )( ?B2 未知 的表達形式時，用統(tǒng)計試驗的數(shù)據(jù)求相關函數(shù)的近似值。 )(tX 在實際應用中， 的表達形式常常不能給出， 因此下面介紹第二種方法。 )(tX 如果試驗只在時間 [0， T]上給出了 的一個樣本函數(shù)，則均值和相關函數(shù)有以下近似估計式： )(tX首頁 用上式估計 m與 的方法，通常稱為數(shù)字方法， 或稱均值與相關函數(shù)的測量。 ??? T dttXTmm 0 )(1?dttXtXTTBB )()(01)(?)( ????? ??????)(?B其具體做法如下： 把 [0 ， T ] 等分為 N 個長 NTt ?? 的小區(qū)間，在時刻 tkt k ??? )21( （ Nk ,2,1 ?? ）對 )( tX 取樣，1 得樣本函數(shù)的 N個值 )( kk tXX ? ， Nk ,2,1 ??將上面的積分表示為和式 2 3 首頁 tXTm kNk?? ?? 11?kNkXN ???11?)(? ?B tXXT rkkrNkr?? ????11?rkkrNkXXrN ??????11其中 trr ??? ， mr ,2,1,0 ?? ， Nm ?根據(jù)這兩個估計式，可以算出 各不同數(shù)值時相關函數(shù)的一系列近似值，從而可以作出相關函數(shù)的近似曲線。 ?,2,1,0?r返回 首頁